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第2課時 排列與組合 1．若A2n3＝10An3，則n＝(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B．8 C．9 D．10 答案　B 解析　原式等價于2n(2n－1)(2n－2)＝10n(n－1)(n－2)，整理得n＝8. 2．(2017東北四市聯考)甲、乙兩人要在一排8個空座上就坐，若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座，則有多少種坐法(　　) A．10 B．16 C．20 D．24 答案　C 解析　一排共有8個座位，現有兩人就坐，故有6個空座．∵要求每人左右均有空座，∴在6個空座的中間5個空中插入2個座位讓兩人就坐，即有A52＝20種坐法． 3．(2017廣東汕頭模擬)某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有(　　) A．4種 B．10種 C．18種 D．20種 答案　B 解析　分兩類：第一類是取出1本畫冊，3本集郵冊，此時贈送方法有C41＝4種；第二類是取出2本畫冊，2本集郵冊，此時贈送方法有C42＝6種，故贈送方法共有4＋6＝10種． 4．用0到9這10個數字，可以組成沒有重復數字的三位偶數的個數為(　　) A．324 B．328 C．360 D．648 答案　B 解析　首先應考慮“0”是特殊元素，當0排在末位時，有A92＝98＝72個，當0不排在末位時，有A41A81A81＝488＝256個，于是由分類加法計算原理，得符合題意的偶數共有72＋256＝328個． 5．5名成人帶兩個小孩排隊上山，小孩不排在一起也不排在頭尾，則不同的排法種數有(　　) A．A55A42種 B．A55A52種 C．A55A62種 D．A77－2A66種 答案　A 解析　先排大人，有A55種排法，再排小孩，有A42種排法(插空法)．故有A42A55種不同的排法． 6．(2018山東臨沂重點中學模擬)馬路上有七盞路燈，晚上用時只亮三盞燈，且任意兩盞亮燈不相鄰，則不同的開燈方案共有(　　) A．60種 B．20種 C．10種 D．8種 答案　C 分析　先安排四盞不亮的路燈，再利用“插入法”，插入三盞亮的路燈，即可得結果． 解析　根據題意，可分兩步： 第一步，先安排四盞不亮的路燈，有1種情況； 第二步，四盞不亮的路燈排好后，有5個空位，在5個空位中任意選3個，插入三盞亮的路燈，有C53＝10(種)情況． 故不同的開燈方案共有101＝10(種)，故選C. 解題技巧　破解此類題的關鍵點：一是“定元”，確定要求不相鄰的元素及其個數；二是“插空”，先排無位置要求的幾個元素(注意是“有序”還是“無序”)，再把規(guī)定不相鄰的元素插入無位置要求的元素的兩端和元素之間的空位；三是“計數”，根據兩個計數原理求出不同的排列總數． 易錯提醒　本題的易錯點有兩處：一是“有序”“無序”識別不清，如本題，先安排四盞不亮的路燈時誤以為“有序”，得到A44種不同的排法，導致結果出錯；二是插入的空位漏算頭尾兩處，導致出錯． 7．(2014四川，理)六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有(　　) A．192種 B．216種 C．240種 D．288種 答案　B 解析　根據甲、乙的位置要求分類解決，分兩類． 第一類：甲在左端，有A55＝54321＝120種方法； 第二類：乙在最左端，有4A44＝44321＝96種方法． 所以共有120＋96＝216種方法． 8．用數字0，1，2，3，4，5可以組成沒有重復數字，并且比20 000大的五位偶數共有(　　) A．288個 B．240個 C．144個 D．126個 答案　B 解析　對個位是0和個位不是0兩類情形分類計算；對每一類情形按“個位——最高位——中間三位”分步計數：①個位是0并且比20 000大的五位偶數有14A43＝96個；②個位不是0并且比20 000大的五位偶數有23A43＝144個；故共有96＋144＝240個．本題考查兩個基本原理，是典型的源于教材的題目． 9．若把英語單詞“error”中字母的拼寫順序寫錯了，則可能出現錯誤的種數是(　　) A．20種 B．19種 C．10種 D．9種 答案　B 解析　“error”由5個字母組成，其中3個相同，這相當于5個人站隊，只要給e、o選定位置，其余三個相同的字母r，位置固定，即所有拼寫方式為A52，error拼寫錯誤的種數為A52－1＝19. 10．有5列火車分別準備停在某車站并行的5條軌道上，若快車A不能停在第3道上，貨車B不能停在第1道上，則5列火車不同的?？糠椒〝禐?　　) A．56 B．63 C．72 D．78 答案　D 解析　若沒有限制，5列火車可以隨便停，則有A55種不同的?？糠椒?；快車A停在第3道上，則5列火車不同的停靠方法為A44種；貨車B停在第1道上，則5列火車不同的?？糠椒锳44種；快車A停在第3道上，且貨車B停在第1道上，則5列火車不同的?？糠椒锳33種．故符合要求的5列火車不同的?？糠椒〝禐锳55－2A44＋A33＝120－48＋6＝78. 11．(2018滄州七校聯考)身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人，身穿藍色衣服的有一人，現將這五人排成一行，要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰，則不同的排法種數共有(　　) A．24 B．28 C．36 D．48 答案　D 解析　分類計數原理，按紅紅之間有藍無藍兩類來分． (1)當紅紅之間有藍時，則有A22A42＝24種； (2)當紅紅之間無藍時，則有C21A22C21C31＝24種． 因此，這五個人排成一行，穿相同顏色衣服的人不能相鄰，則有48種排法．故選D. 12．安排7位工作人員在10月1日到10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在10月1日和10月2日的不同的安排方法共有__________種． 答案　2 400 解析　共有A52A55＝2 400種不同的安排方法． 13．一份試卷有10道考題，分為A，B兩組，每組5題，要求考生選答6題，但每組最多選4題，則每位考生有________種選答方案． 答案　200 解析　分三類：A組4題B組2題，A組3題B組3題，A組2題B組4題．共有C54C52＋C53C53＋C52C54＝50＋100＋50＝200種． 14．(2017滄州七校聯考)由0，1，2，…，9這十個數字組成的無重復數字的四位數中，個位數字與百位數字之差的絕對值等于8的個數為________個． 答案　210 解析　若個位數和百位數是0，8，則方法數是A22A82＝112；若個位數和百位數是1，9，則由于首位不能排0，則方法數是A22C71C71＝98，故總數是112＋98＝210. 15．(2017四川成都二診)各大學在高考錄取時采取專業(yè)志愿優(yōu)先的錄取原則．一考生從某大學所給的7個專業(yè)中，選擇3個作為自己的第一、二、三專業(yè)志愿，其中甲、乙兩個專業(yè)不能同時兼報，則該考生不同的填報專業(yè)志愿的方法有________種． 答案　180 解析　從7個專業(yè)選3個，有C73＝35種選法，甲、乙同時兼報的有C22C51＝5種選法，則專業(yè)共有35－5＝30種選法，則按照專業(yè)順序進行報考的方法種數為A3330＝180. 16．用0，1，2，…，9十個數字組成五位數，其中3個奇數與2個偶數且數字不重復的五位數有________個． 答案　11 040 解析　一類：含有數字0：C53C41C41A44＝3 840. 二類：沒有數字0：C53C42A55＝7 200. 由分類加法計數原理得：共有11 040. 17．甲、乙兩人從4門課程中各選2門，求 (1)甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有多少種？ (2)甲、乙所選的課程中至少有一門不同的選法有多少種？ 答案　(1)24　(2)30 解析　(1)甲、乙兩人從4門課程中各選2門，且甲、乙所選課程中恰有1門相同的選法種數共有C42C21C21＝24種． (2)甲、乙兩人從4門課程中各選兩門不同的選法種數為C42C42，又甲乙兩人所選的兩門課程都相同的選法種數為C42種，因此滿足條件的不同選法種數為C42C42－C42＝30種． 18．從1到9的9個數字中取3個偶數4個奇數，試問： (1)能組成多少個沒有重復數字的七位數？ (2)上述七位數中，3個偶數排在一起的有幾個？ (3)(1)中的七位數中，偶數排在一起，奇數也排在一起的有幾個？ 答案　(1)100 800個　(2)14 400個　(3)5 760個 解析　(1)分三步完成：第一步，在4個偶數中取3個，有C43種情況； 第二步，在5個奇數中取4個，有C54種情況； 第三步，3個偶數和4個奇數進行排列，有A77種情況．所以符合題意的七位數有C43C54A77＝100 800個． (2)上述七位數中，3個偶數排在一起的有C43C54A55A33＝14 400個． (3)上述七位數中，3個偶數排在一起，4個奇數也排在一起的有C43C54A33A44A22＝5 760個． 1．(2018廣東佛山一中月考)以正六邊形的頂點和中心為三角形的頂點，可以構造不同的三角形的個數為(　　) A．35 B．32 C．30 D．27 答案　B 解析　從7個點中選3個點有C73種情況，其中三點共線的情況有3種，故可以構造不同的三角形的個數為C73－3＝32. 2．(2018山東師大附中模擬)甲、乙、丙三人輪流值日，從周一到周六每人值班兩天，若甲不值周一，乙不值周六，則可以排出不同的值日表有(　　) A．50種 B．72種 C．48種 D．42種 答案　D 解析　C41C42C22＋C42C32C22＝42，故選D. 3．某電視臺從錄制的5個新聞報道和4個人物專訪中選出5個，準備在7月1日于7月5日中每天播出一個，若新聞報道不少于3個，則不同的播出方法共有(　　) A．81種 B．810種 C．9 600種 D．9 720種 答案　D 解析　(C53C42＋C54C41＋C55)A55＝9 720種． 4．(2017山東師大附中模擬)從5名男醫(yī)生，4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊方案共有(　　) A．70種 B．80種 C．100種 D．140種 答案　A 解析　從9名醫(yī)生中任選3名有C93＝84種，都是男醫(yī)生和都是女醫(yī)生的有C53＋C43＝14種，男、女醫(yī)生都有的選法為84－14＝70種． 5．(2016四川)用數字1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，其中奇數的個數為(　　) A．24 B．48 C．60 D．72 答案　D 解析　C31A44＝72.選D. 6．(名師原創(chuàng))“整治裸官”“小官巨貪”“拍蠅打虎”“境外追逃”“回馬槍”成為2016年中國反腐的5個焦點．某大學新聞系學生用2017年元旦的時間調查社會對這些熱點的關注度，若準備按順序分別調查其中的4個熱點，則“整治裸官”作為其中的一個調查熱點，但不作為第一個調查熱點的種數為________． 答案　72 解析　先從“小官巨貪”“拍蠅打虎”“境外追逃”“回馬槍”這4個熱點中選出3個，有C43種不同的選法；在調查時，“整治裸官”安排的順序有A31種可能情況，其余三個熱點順序有A33種，故不同調查順序的總數為C43A31A33＝72. 7．(2017天津)用數字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復數字，且至多有一個數字是偶數的四位數，這樣的四位數一共有________個．(用數字作答) 答案　1 080 解析　一個數字是偶數、三個數字是奇數的四位數有C41C53A44＝960(個)，四個數字都是奇數的四位數有A54＝120(個)，則至多有一個數字是偶數的四位數一共有960＋120＝1 080(個)． 8．從6男2女共8名學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，共有________種不同的選法．(用數字作答) 答案　660 解析　分兩步，第一步，選出4人，由于至少1名女生，故有C84－C64＝55種不同的選法；第二步，從4人中選出隊長、副隊長各1人，有A42＝12種不同的選法．根據分步乘法計數原理知共有5512＝660種不同的選法．