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第4講　萬有引力與航天 板塊一　主干梳理夯實基礎(chǔ) 【知識點1】　開普勒行星運動定律?、? 1．定律內(nèi)容 開普勒第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。 開普勒第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間掃過相等的面積。 開普勒第三定律：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等，即＝k。 2．使用條件：適用于宇宙中一切環(huán)繞相同中心天體的運動，也適用于以行星為中心的衛(wèi)星。 【知識點2】　萬有引力定律及應(yīng)用　Ⅱ 1．內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都是相互吸引的，引力的大小與兩物體的質(zhì)量的乘積成正比，與兩物體間距離的二次方成反比。 2．公式：F＝G，其中G為萬有引力常量，G＝6.6710－11 Nm2/kg2，其值由卡文迪許通過扭秤實驗測得。公式中的r是兩個物體之間的距離。 3．使用條件：適用于兩個質(zhì)點或均勻球體；r為兩質(zhì)點或均勻球體球心間的距離。 【知識點3】　環(huán)繞速度?、? 1．第一宇宙速度又叫環(huán)繞速度，其數(shù)值為7.9 km/s。 2．第一宇宙速度是人造衛(wèi)星在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運動時具有的速度。 3．第一宇宙速度是人造衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是人造衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度。 4．第一宇宙速度的計算方法。 (1)由G＝m，解得：v＝； (2)由mg＝m解得：v＝。 【知識點4】　第二宇宙速度和第三宇宙速度?、? 1．第二宇宙速度(脫離速度) 使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度，其數(shù)值為11.2 km/s。 2．第三宇宙速度(逃逸速度) 使物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度，其數(shù)值為16.7 km/s。 【知識點5】　經(jīng)典時空觀和相對論時空觀?、? 1．經(jīng)典時空觀 (1)在經(jīng)典力學(xué)中，物體的質(zhì)量不隨運動速度改變； (2)在經(jīng)典力學(xué)中，同一物理過程發(fā)生的位移和對應(yīng)時間的測量結(jié)果在不同的參考系中是相同的。 2．相對論時空觀 (1)在狹義相對論中，物體的質(zhì)量隨物體的速度的增加而增加，用公式表示為m＝； (2)在狹義相對論中，同一物理過程發(fā)生的位移和對應(yīng)時間的測量結(jié)果在不同的參考系中是不同的。 板塊二　考點細研悟法培優(yōu) 考點1開普勒第三定律[深化理解] 1．微元法解讀開普勒第二定律，行星在近日點、遠日點時速度方向與連線垂直，若行星在近日點、遠日點到太陽的距離分別為a、b，取足夠短的時間Δt，則行星在Δt時間內(nèi)可看作勻速直線運動，由Sa＝Sb知vaΔta＝vbΔtb，可得va＝。行星到太陽的距離越大，行星的速率越小，反之越大。 2．開普勒第三定律雖然是對行星繞太陽運動的總結(jié)，但實踐表明該定律也適用于其他天體的運動，如月球繞地球的運動，衛(wèi)星(或人造衛(wèi)星)繞行星的運動。 3．天體雖做橢圓運動，但它們的軌道十分接近圓。為簡化運算，一般把天體的運動當成勻速圓周運動來研究，橢圓的半長軸即為圓的半徑。則天體的運動遵從牛頓運動定律及勻速圓周運動的規(guī)律，如v＝ωr，F(xiàn)＝ma＝＝mrω2等。 例1　如圖所示，某行星沿橢圓軌道運行，遠日點離太陽的距離為a，近日點離太陽的距離為b，過遠日點時行星的速率為va，則過近日點時的速率為(　　) A．vb＝va B．vb＝va C．vb＝va D．vb＝va 該題涉及開普勒哪條定律？其內(nèi)容是什么？ 提示：開普勒第二定律。對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。 嘗試解答　選C。 若行星從軌道的A點經(jīng)足夠短的時間t運動到A′點，則與太陽的連線掃過的面積可看作扇形，其面積SA＝；若行星從軌道的B點也經(jīng)時間t運動到B′點，則與太陽的連線掃過的面積SB＝；根據(jù)開普勒第二定律得＝，即vb＝va，C正確。 總結(jié)升華 繞太陽沿橢圓軌道運行的行星在近日點線速度最大，越靠近近日點線速度越大，線速度大小與行星到太陽的距離成反比。 　木星的公轉(zhuǎn)周期約為12年，若把地球到太陽的距離作為1天文單位，則木星到太陽的距離約為(　　) A．2天文單位 B．4天文單位 C．5.2天文單位 D．12天文單位 答案　C 解析　木星、地球都環(huán)繞太陽按橢圓軌道運動，近似計算時可當成圓軌道處理，因此它們到太陽的距離可當成是繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道半徑，根據(jù)開普勒第三定律＝得r木＝r地≈5.2天文單位。 考點2天體質(zhì)量和密度的估算[拓展延伸] 1．自力更生法：利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R。 (1)由G＝mg得天體質(zhì)量M＝。 (2)天體密度ρ＝＝＝。 2．借助外援法：測出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的半徑r和周期T。 (1)由G＝m得天體的質(zhì)量M＝。 (2)若已知天體的半徑R，則天體的密度 ρ＝＝＝。 (3)若衛(wèi)星繞天體表面運行時，可認為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝，可見，只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的周期T，就可估算出中心天體的密度。 例2　[2017邢臺市四模]為研究太陽系內(nèi)行星的運動，需要知道太陽的質(zhì)量，已知地球半徑為R，地球質(zhì)量為m，太陽與地球中心間距為r，地球表面的重力加速度為g，地球繞太陽公轉(zhuǎn)的周期為T。則太陽的質(zhì)量為(　　) A. B. C. D. (1)知道地球繞太陽公轉(zhuǎn)的周期T和太陽與地球中心間距r，能求太陽質(zhì)量嗎？ 提示：能。利用＝mr。 (2)太陽質(zhì)量的四個選項中沒有引力常量G，可以考慮用哪一信息替代？ 提示：地球表面重力加速度g＝。 嘗試解答　選D。 地球繞太陽做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，有＝mr，所以M＝，地球表面物體m0的重力來源于萬有引力，有＝m0g，所以G＝，把G代入M＝，得M＝＝，D正確。 總結(jié)升華 估算天體質(zhì)量和密度時應(yīng)注意的問題 (1)利用萬有引力提供天體做圓周運動的向心力估算天體質(zhì)量時，估算的只是中心天體的質(zhì)量，并非環(huán)繞天體的質(zhì)量。 (2)區(qū)別天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r，只有在天體表面附近的衛(wèi)星才有r≈R；計算天體密度時，V＝πR3中的R只能是中心天體的半徑。 1.若已知月球繞地球運動可近似看作勻速圓周運動，并且已知月球的軌道半徑為r，它繞地球運動的周期為T，引力常量是G，由此可以知道(　　) A．月球的質(zhì)量m＝ B．地球的質(zhì)量M＝ C．月球的平均密度ρ＝ D．地球的平均密度ρ′＝ 答案　B 解析　對月球有＝r，可得地球質(zhì)量M＝，月球質(zhì)量無法求出，其密度也無法計算，故B正確，A、C錯誤；因不知道地球自身半徑，故無法計算密度，故D錯誤。 2．[2017唐山一模]美國航天局與歐洲航天局合作，發(fā)射的火星探測器已經(jīng)成功登錄火星。荷蘭企業(yè)家巴斯蘭斯多普發(fā)起的“火星一號”計劃打算將總共24人送上火星，創(chuàng)建一塊長期殖民地。若已知萬有引力常量G，那么在下列給出的各種情景中，能根據(jù)測量的數(shù)據(jù)求出火星密度的是(　　) A．在火星表面使一個小球做自由落體運動，測出落下的高度H和時間t B．火星探測器貼近火星表面做勻速圓周運動，測出運行周期T C．火星探測器在高空繞火星做勻速圓周運動，測出距火星表面的高度H和運行周期T D．觀察火星繞太陽的勻速圓周運動，測出火星的直徑D和運行周期T 答案　B 解析　由＝mg，ρ＝得：ρ＝，由H＝gt2得出g，卻不知火星半徑，A錯誤。由＝mr，ρ＝得：ρ＝。當r＝R時ρ＝，B正確，不知火星半徑，C錯誤。D選項中心天體是太陽，據(jù)給出的數(shù)據(jù)無法計算火星質(zhì)量，也就不能計算火星密度，故D錯誤。 考點3人造衛(wèi)星的運動規(guī)律[深化理解] 1．人造衛(wèi)星的運動規(guī)律 (1)一種模型：無論自然天體(如地球、月亮)還是人造天體(如宇宙飛船、人造衛(wèi)星)都可以看作質(zhì)點，圍繞中心天體(視為靜止)做勻速圓周運動。 (2)兩條思路 ①萬有引力提供向心力，即G＝ma。 ②天體對其表面的物體的萬有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分別是天體的半徑、表面重力加速度)，公式gR2＝GM應(yīng)用廣泛，被稱為“黃金代換”。 (3)地球衛(wèi)星的運行參數(shù)(將衛(wèi)星軌道視為圓) 物理量 推導(dǎo)依據(jù) 表達式 最大值或最小值 線速度 G＝m v＝ 當r＝R時有最大值，v＝7.9 km/s 角速度 G＝mω2r ω＝ 當r＝R時有最大值 周期 G＝m2r T＝2π 當r＝R時有最小值，約85 min 向心 加速度 G＝ma向 a向＝ 當r＝R時有最大值，最大值為a＝g 軌道 平面 圓周運動的圓心與中心天體中心重合 共性：半徑越小，運動越快，周期越小 2．地球同步衛(wèi)星的特點 (1)軌道平面一定：軌道平面和赤道平面重合。 (2)周期一定：與地球自轉(zhuǎn)周期相同，即T＝24 h＝86400 s。 (3)角速度一定：與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同。 (4)高度一定：據(jù)G＝mr得r＝＝4.23104 km，衛(wèi)星離地面高度h＝r－R≈6R(為恒量)。 (5)繞行方向一定：與地球自轉(zhuǎn)的方向一致。 3．極地衛(wèi)星和近地衛(wèi)星 (1)極地衛(wèi)星運行時每圈都經(jīng)過南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實現(xiàn)全球覆蓋。 (2)近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星，其運行的軌道半徑可近似認為等于地球的半徑，其運行線速度約為7.9 km/s。 (3)兩種衛(wèi)星的軌道平面一定通過地球的球心。 例3　[2017廣東深圳一模]人造衛(wèi)星a的圓形軌道離地面高度為h，地球同步衛(wèi)星b離地面高度為H，hm，即萬有引力大于所需要的向心力，衛(wèi)星將做近心運動，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變小，當衛(wèi)星進入新的軌道穩(wěn)定運行時，由v＝可知其運行速度比原軌道時大。 衛(wèi)星的發(fā)射和回收就是利用這一原理。 2．衛(wèi)星變軌時一些物理量的定性分析 如圖所示： (1)速度：設(shè)衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ、Ⅲ上運行時的速率分別為v1、v4，在軌道Ⅱ上過P、Q點時的速率分別為v2、v3，在P點加速，則v2>v1；在Q點加速，則v4>v3。又因v1>v4，故有v2>v1>v4>v3。 (2)加速度：因為在P點不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經(jīng)過，P點到地心的距離都相同，衛(wèi)星的加速度都相同，設(shè)為aP。同理，在Q點加速度也相同，設(shè)為aQ。又因Q點到地心的距離大于P點到地心的距離，所以aQOB，則(　　) A．星球A的質(zhì)量一定大于B的質(zhì)量 B．星球A的線速度一定大于B的線速度 C．雙星間距離一定，雙星的質(zhì)量越大，其轉(zhuǎn)動周期越大 D．雙星的質(zhì)量一定，雙星之間的距離越大，其轉(zhuǎn)動周期越大 答案　BD 解析　設(shè)雙星質(zhì)量分別為mA、mB，軌道半徑為RA、RB兩者間距為L，周期為T，角速度為ω，由萬有引力定律可知：＝mAω2RA　①，＝mBω2RB?、冢琑A＋RB＝L?、郏散佗谑娇傻茫?，而AO>OB，故mARB，則vA>vB，B正確。聯(lián)立①②③得G(mA＋mB)＝ω2L3，又因為T＝，可知D正確，C錯誤。