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計數(shù)原理 一、選擇題（本大題共12小題，共60分） 1. 如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為( ) A. 24 B. 18 C. 12 D. 9 （正確答案）B 解：從E到F，每條東西向的街道被分成2段，每條南北向的街道被分成2段， 從E到F最短的走法，無論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同， 每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，故共有C42C22=6種走法． 同理從F到G，最短的走法，有C31C22=3種走法． ∴小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為63=18種走法． 故選：B． 從E到F最短的走法，無論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，由組合數(shù)可得最短的走法，同理從F到G，最短的走法，有C31=3種走法，利用乘法原理可得結論． 本題考查排列組合的簡單應用，得出組成矩形的條件和最短走法是解決問題的關鍵，屬基礎題 2. 某企業(yè)有4個分廠，新培訓了一批6名技術人員，將這6名技術人員分配到各分廠，要求每個分廠至少1人，則不同的分配方案種數(shù)為( ) A. 1080 B. 480 C. 1560 D. 300 （正確答案）C 解：先把6名技術人員分成4組，每組至少一人． 若4個組的人數(shù)按3、1、1、1分配，則不同的分配方案有C63=20種不同的方法． 若4個組的人數(shù)為2、2、1、1，則不同的分配方案有C62C422!?C212!=45種不同的方法． 故所有的分組方法共有20+45=65種． 再把4個組的人分給4個分廠，不同的方法有65A44=1560種， 故選：C． 先把6名技術人員分成4組，每組至少一人，再把這4個組的人分給4個分廠，利用乘法原理，即可得出結論． 本題考查組合知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，正確分組是關鍵． 3. 如圖所示的五個區(qū)域中，中心區(qū)域是一幅圖畫，現(xiàn)要求在其余四個區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇.要求每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為( ) A. 84 B. 72 C. 64 D. 56 （正確答案）A 解：分兩種情況： (1)A、C不同色(注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不與A、C同色，所以D可以從剩余的2中顏色中任意取一色)：有4322=48種； (2)A、C同色(注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不與A、C同色，所以D可以從剩余的3中顏色中任意取一色)：有4313=36種． 共有84種， 故選：A 每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，然后分類研究，A、C不同色；A、C同色兩大類 本題考查了區(qū)域涂色、種植花草作物是一類題目.分類要全要細． 4. 用數(shù)字1，2，3，4，5組成的無重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為( ) A. 8 B. 24 C. 48 D. 120 （正確答案）C 解：由題意知本題需要分步計數(shù)， 2和4排在末位時，共有A21=2種排法， 其余三位數(shù)從余下的四個數(shù)中任取三個有A43=432=24種排法， 根據(jù)由分步計數(shù)原理得到符合題意的偶數(shù)共有224=48(個)． 故選C． 本題需要分步計數(shù)，首先選擇2和4排在末位時，共有A21種結果，再從余下的其余三位數(shù)從余下的四個數(shù)中任取三個有A43種結果，根據(jù)由分步計數(shù)原理得到符合題意的偶數(shù)． 本題考查分步計數(shù)原理，是一個數(shù)字問題，這種問題是最典型的排列組合問題，經(jīng)常出現(xiàn)限制條件，并且限制條件變化多樣，是一個易錯題． 5. 6把椅子排成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為( ) A. 144 B. 120 C. 72 D. 24 （正確答案）D 解：使用“插空法“.第一步，三個人先坐成一排，有A33種，即全排，6種；第二步，由于三個人必須隔開，因此必須先在1號位置與2號位置之間擺放一張凳子，2號位置與3號位置之間擺放一張凳子，剩余一張凳子可以選擇三個人的左右共4個空擋，隨便擺放即可，即有C41種辦法.根據(jù)分步計數(shù)原理，64=24． 故選：D． 使用“插空法“.第一步，三個人先坐成一排，有A33種，即全排，6種；第二步，由于三個人必須隔開，因此必須先在1號位置與2號位置之間擺放一張凳子，2號位置與3號位置之間擺放一張凳子，剩余一張凳子可以選擇三個人的左右共4個空擋，隨便擺放即可，即有C41種辦法.根據(jù)分步計數(shù)原理可得結論． 本題考查排列知識的運用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是關鍵． 6. 將4個紅球與2個藍球(這些球只有顏色不同，其他完全相同)放入一個33的格子狀木柜里(如圖所示)，每個格至多放一個球，則“所有紅球均不位于相鄰格子”的放法共有( )種． 7. A. 30 B. 36 C. 60 D. 72 （正確答案）C 解：第一類，當4個紅球在4個頂角的位置時，藍球放在剩下5個格種任選兩個，故有C52=10種，如圖 第二類，當有一個紅球再最中間時，其它三個紅球只能放在頂角位置，有出C43=4種，藍球放在剩下5個格種任選兩個，C43C52=40種，如圖 第三類，當4個紅球放在每外圍三個格的中間時，藍球在剩下5個格種任選兩個有C52=10種，如圖 根據(jù)分類計數(shù)原理，故有10+40+10=60． 故選：C． 對紅球的位置分類討論：第一類，當4個紅球在4個頂角的位置時，藍球放在剩下5個格種任選兩個；第二類，當有一個紅球再最中間時，其它三個紅球只能放在頂角位置，藍球放在剩下5個格種任選兩個；第三類，當4個紅球放在每外圍三個格的中間時，藍球放在剩下5個格種任選兩個，即可得出． 本題主要考查了分類計數(shù)原理，關鍵是如何分類，屬于中檔題． 8. 4名學生參加3項不同的競賽，每名學生必須參加其中的一項競賽，有( )種不同的結果． A. 34 B. A43 C. C43 D. 43 （正確答案）A 解：由題意知本題是一個分步計數(shù)問題， 首先第一名學生從三種不同的競賽中選有三種不同的結果， 第二名學生從三種不同的競賽中選有3種結果， 同理第三個和第四個同學從三種競賽中選都有3種結果， ∴根據(jù)分步計數(shù)原理得到共有3333=34 故選A． 本題是一個分步計數(shù)問題，首先第一名學生從三種不同的競賽中選有三種不同的結果，第二名學生從三種不同的競賽中選有3種結果，同理第三個和第四個同學從三種競賽中選都有3種結果，相乘得到結果數(shù)． 解答此題，先考慮學生問題還是競賽問題才能很好地完成這件事，易把兩問結果混淆；另外，每位學生選定競賽或每項競賽選定學生這一做法對完成整個事件的影響理解錯誤導致原理弄錯，其原因是對題意理解不清，對事情完成的方式有錯誤的認識． 9. 某班新年聯(lián)歡會原定的6個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了3個新節(jié)目，如果將這3個節(jié)目插入節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為( ) A. 504 B. 210 C. 336 D. 120 （正確答案）A 解：∵由題意知將這3個節(jié)目插入節(jié)目單中，原來的節(jié)目順序不變， ∴三個新節(jié)目一個一個插入節(jié)目單中， 原來的6個節(jié)目形成7個空，在這7個位置上插入第一個節(jié)目，共有7種結果， 原來的6個和剛插入的一個，形成8個空，有8種結果，同理最后一個節(jié)目有9種結果 根據(jù)分步計數(shù)原理得到共有插法種數(shù)為789=504， 故選A． 由題意知將這3個節(jié)目插入節(jié)目單中，原來的節(jié)目順序不變，三個新節(jié)目一個一個插入節(jié)目單中，原來的6個節(jié)目形成7個空，在這7個位置上插入第一個節(jié)目，共有7種結果；用同樣的方法插入第二個和第三個節(jié)目，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得到結果． 本題考查分步計數(shù)原理，是一個實際問題，解題時注意題目條件中對于原來6個節(jié)目的順序要求不變，所以采用插入法． 10. 從5名學生中選出4名分別參加A，B，C，D四科競賽，其中甲不能參加A，B兩科競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為( ) A. 24 B. 48 C. 72 D. 120 （正確答案）C 解：∵從5名學生中選出4名分別參加A，B，C，D四科競賽，其中甲不能參加A，B兩科競賽， ∴可分為以下幾步： (1)先從5人中選出4人，分為兩種情況：有甲參加和無甲參加． 有甲參加時，選法有：C43=4種； 無甲參加時，選法有：C44=1種. (2)安排科目 有甲參加時，先排甲，再排其它人.排法有：A21A33=12種. 無甲參加時，排法有A44=24種. 綜上，412+124=72． ∴不同的參賽方案種數(shù)為72． 故答案為：72． 本題可以先從5人中選出4人，分為有甲參加和無甲參加兩種情況，再將甲安排參加C、D科目，然后安排其它學生，通過乘法原理，得到本題的結論 本題是一道排列組合題，要考慮特殊元素，本題還考查了分類討論的數(shù)學思想，本題有一定難度，屬于中檔題． 11. 考生甲填報某高校專業(yè)意向，打算從5個專業(yè)中挑選3個，分別作為第一、第二、第三志愿，則不同的填法有( ) A. 10種 B. 60種 C. 125種 D. 243種 （正確答案）B 解：從中選3個并分配到3個志愿中，故有A53=60種， 故選：B． 從中選3個并分配到3個志愿中，問題得以解決． 本題考查了簡單的排列組合問題，關鍵是分清是排列還是組合，屬于基礎題． 12. 某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目，2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是( ) A. 72 B. 120 C. 144 D. 168 （正確答案）B 解：分2步進行分析： 1、先將3個歌舞類節(jié)目全排列，有A33=6種情況，排好后，有4個空位， 2、因為3個歌舞類節(jié)目不能相鄰，則中間2個空位必須安排2個節(jié)目， 分2種情況討論： ①將中間2個空位安排1個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目，有C21A22=4種情況， 排好后，最后1個小品類節(jié)目放在2端，有2種情況， 此時同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是642=48種； ②將中間2個空位安排2個小品類節(jié)目，有A22=2種情況， 排好后，有6個空位，相聲類節(jié)目有6個空位可選，即有6種情況， 此時同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是626=72種； 則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是48+72=120種． 故選：B． 根據(jù)題意，分2步進行分析：①先將3個歌舞類節(jié)目全排列，②因為3個歌舞類節(jié)目不能相鄰，則分2種情況討論中間2個空位安排情況，由分步計數(shù)原理計算每一步的情況數(shù)目，進而由分類計數(shù)原理計算可得答案． 本題考查計數(shù)原理的運用，注意分步方法的運用，既要滿足題意的要求，還要計算或分類簡便． 13. 某公司慶祝活動需從甲、乙、丙等5名志愿者中選2名擔任翻譯，2名擔任向導，還有1名機動人員，為來參加活動的外事人員提供服務，并且翻譯和向導都必須有一人選自甲、乙、丙，則不同的選法有( ) A. 20 B. 22 C. 24 D. 36 （正確答案）D 解：∵翻譯和向導都必須有一人選自甲、乙、丙， ∴有A32=6種方法， 其余3人全排，有A33=6種方法， 根據(jù)乘法原理，有66=36種方法， 故選D． 翻譯和向導先個安排1人，其余3人全排，即可得出結論． 本題考查計數(shù)原理運用，注意要根據(jù)題意，進而按一定順序分情況討論，對于有限制條件的元素要首先安排． 二、填空題（本大題共4小題，共20分） 14. 用1，2，3三個數(shù)字組成一個五位數(shù)，要求相鄰的位置的數(shù)字不能相同，則不同的五位數(shù)共有______ 種(以數(shù)字作答)． （正確答案）42 解：第一類：其中一個數(shù)字用3次，另外兩個數(shù)字用1次，把3個相同的數(shù)字排除一排，再將另外兩個數(shù)字插入到所形成的2個空中(不包含兩端)共有A22C31=6種， 第二類，其中一個數(shù)字用1次，另外兩個數(shù)字用2次，若把相同的兩個數(shù)字互相間隔，(例如2323)，再把另一個數(shù)字插入前4個數(shù)字所形成的5個空中的任意一個空，有C31A22A51=30種， 若若把相同的兩個數(shù)字有只有一組相鄰，(例如2332)，把另一個數(shù)字插入前相鄰的數(shù)字中間，有C31A22=6種， 根據(jù)分類計數(shù)原理，共有6+30+6=42種， 故答案為：42． 根據(jù)重復數(shù)字的個數(shù)，分兩類，第一類：其中一個數(shù)字用3次，另外兩個數(shù)字用1次，第二類，其中一個數(shù)字用1次，另外兩個數(shù)字用2次，根據(jù)分類計數(shù)原理可得． 本題考查了分類計數(shù)原理，關鍵是分類，屬于中檔題． 15. 用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，其中能被3整除的四位數(shù)有______個. （正確答案）96 解：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)能被3整除，符合題意的有： 一類：含0、3則需1、4 和2、5各取1個，可組成C21C21C31A33； 二類：含0或3中一個均不適合題意； 三類：不含0，3，由1、2、4、5可組成A44個， 共有C21C21C31A33+A44=96個． 故答案為：96． 各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)能被3整除，符合題意的有：一類：含0、3則需1、4 和2、5各取1個，可組成C21C21C31A33；二類：含0或3中一個均不適合題意；三類：不含0，3，由1、2、4、5可組成A44個，相加得到結果． 本題考查排列組合的實際應用，本題是一個數(shù)字問題，解題的關鍵是注意0不能在首位，注意分類和分步的應用． 16. 學校安排4名教師在六天里值班，每天只安排一名教師，每人至少安排一天，至多安排兩天，且這兩天要相連，那么不同的安排方法種數(shù)是______(用數(shù)字作答) （正確答案）144 解：由題意知本題是一個簡單計數(shù)問題， 排四名老師時：有12，34，5，6和12，3，45，6和12，3，4，56和1，23，45，6和1，23，4，56和1，2，34，56，共6種情形． ∴根據(jù)分步計數(shù)原理知四名時有6(4321)=144， 故答案為：144． 本題是一個簡單計數(shù)問題，分為排三名老師時和排四名老師時兩大類結果，分別列舉出這兩種情況的結果，用分步計數(shù)表示出結果數(shù)，再用分類加法得到結果． 本題考查計數(shù)問題，對于復雜一點的計數(shù)問題，有時分類以后，每類方法并不都是一步完成的，必須在分類后又分步，綜合利用兩個原理解決，即類中有步，步中有類． 17. 在冬奧會志愿者活動中，甲、乙等5人報名參加了A，B，C三個項目的志愿者工作，因工作需要，每個項目僅需1名志愿者，且甲不能參加A，B項目，乙不能參加B，C項目，那么共有______種不同的志愿者分配方案.(用數(shù)字作答) （正確答案）21 解：若甲，乙都參加，則甲只能參加C項目，乙只能參見A項目，B項目有3種方法， 若甲參加，乙不參加，則甲只能參加C項目，A，B項目，有A32=6種方法， 若甲參加，乙不參加，則乙只能參加A項目，B，C項目，有A32=6種方法， 若甲不參加，乙不參加，有A33=6種方法， 根據(jù)分類計數(shù)原理，共有3+6+6+6=21種． 由題意可以分為四類，根據(jù)分類計數(shù)原理可得． 本題考查了分類計數(shù)原理，關鍵是分類，屬于中檔題． 三、解答題（本大題共3小題，共40分） 18. 設n∈N*，對1，2，……，n的一個排列i1i2……in，如果當sit，則稱(is,it)是排列i1i2……in的一個逆序，排列i1i2……in的所有逆序的總個數(shù)稱為其逆序數(shù).例如：對1，2，3的一個排列231，只有兩個逆序(2,1)，(3,1)，則排列231的逆序數(shù)為2.記fn(k)為1，2，…，n的所有排列中逆序數(shù)為k的全部排列的個數(shù)． (1)求f3(2)，f4(2)的值； (2)求fn(2)(n≥5)的表達式(用n表示)． （正確答案）解：(1)記μ(abc)為排列abc得逆序數(shù)，對1，2，3的所有排列，有 μ(123)=0，μ(132)=1，μ(231)=2，μ(321)=3， ∴f3(0)=1，f3(1)=f3(2)=2， 對1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，將數(shù)字4添加進去，4在新排列中的位置只能是最后三個位置． 因此，f4(2)=f3(2)+f3(1)+f3(0)=5； (2)對一般的n(n≥4)的情形，逆序數(shù)為0的排列只有一個：12…n，∴fn(0)=1． 逆序數(shù)為1的排列只能是將排列12…n中的任意相鄰兩個數(shù)字調換位置得到的排列，fn(1)=n-1． 為計算fn+1(2)，當1，2，…，n的排列及其逆序數(shù)確定后，將n+1添加進原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三個位置． 因此，fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n． 當n≥5時，fn(2)=[fn(2)-fn-1(2)]+[fn-1(2)-fn-2(2)]+…+[f5(2)-f4(2)]+f4(2) =(n-1)+(n-2)+…+4+f4(2)=n2-n-22． 因此，當n≥5時，fn(2)=n2-n-22． (1)由題意直接求得f3(2)的值，對1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，將數(shù)字4添加進去，4在新排列中的位置只能是最后三個位置，由此可得f4(2)的值； (2)對一般的n(n≥4)的情形，可知逆序數(shù)為0的排列只有一個，逆序數(shù)為1的排列只能是將排列12…n中的任意相鄰兩個數(shù)字調換位置得到的排列，fn(1)=n-1． 為計算fn+1(2)，當1，2，…，n的排列及其逆序數(shù)確定后，將n+1添加進原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三個位置，可得fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n，則當n≥5時，fn(2)=[fn(2)-fn-1(2)]+[fn-1(2)-fn-2(2)]+…+[f5(2)-f4(2)]+f4(2)，則fn(2)(n≥5)的表達式可求． 本題主要考查計數(shù)原理、排列等基礎知識，考查運算求解能力和推理論證能力，是中檔題． 19. 男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1名，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？ (1)男運動員3名，女運動員2名； (2)至少有1名女運動員； (3)隊長中至少有1人參加； (4)既要有隊長，又要有女運動員． （正確答案）解：(1)由題意知本題是一個分步計數(shù)問題， 首先選3名男運動員，有C63種選法． 再選2名女運動員，有C42種選法． 共有C63?C42=120種選法． (2)法一(直接法)：“至少1名女運動員”包括以下幾種情況： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男． 由分類加法計數(shù)原理可得有C41?C64+C42?C63+C43?C62+C44?C61=246種選法． 法二(間接法)：“至少1名女運動員”的反面為“全是男運動員”． 從10人中任選5人，有C105種選法，其中全是男運動員的選法有C65種. 所以“至少有1名女運動員”的選法有C105-C65=246種． (3)法一(直接法)：“只有男隊長”的選法為C84種； “只有女隊長”的選法為C84種； “男、女隊長都入選”的選法為C83種； ∴共有2C84+C83=196種． 法二(間接法)：“至少要有一名隊長”的反面是“一個隊長都沒有”． 從10人中任選5人，有C105種選法，其中一個隊長都沒有有C85種選法． ∴“至少1名隊長”的選法有C105-C85=196種選法． (4)當有女隊長時，其他人選法任意，共有C94種選法． 不選女隊長時，必選男隊長，共有C84種選法． 其中不含女運動員的選法有C54種， ∴不選女隊長時共有C84-C54種選法． 既有隊長又有女運動員的選法共有C94+C84-C54=191種． (1)本題是一個分步計數(shù)問題，首先選3名男運動員，有C63種選法.再選2名女運動員，有C42種選法.利用乘法原理得到結果． (2)至少1名女運動員包括以下幾種情況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.分別寫出這幾種結果，利用分類加法原理得到結果.本題也可以從事件的對立面來考慮，寫出所有的結果減去都是男運動員的結果數(shù)． (3)只有男隊長的選法為C84種，只有女隊長的選法為C84種，男、女隊長都入選的選法為C83種，把所有的結果數(shù)相加． (4)當有女隊長時，其他人選法任意，共有C94種選法.不選女隊長時，必選男隊長，共有C84種選法.其中不含女運動員的選法有C54種，得到結果． 本題考查分步計數(shù)原理，考查分類計數(shù)原理，在比較復雜的題目中，會同時出現(xiàn)分類和分步，本題是一個比較綜合的題目． 20. (1)用紅、黃、藍、白四種不同顏色的鮮花布置如圖一所示的花圃，要求同一區(qū)域上用同一種顏色鮮花，相鄰區(qū)域用不同顏色鮮花，問共有多少種不同的擺放方案？ (2)用紅、黃、藍、白、橙五種不同顏色的鮮花布置如圖二所示的花圃，要求同一區(qū)域上用同一種顏色鮮花，相鄰區(qū)域使用不同顏色鮮花． ①求恰有兩個區(qū)域用紅色鮮花的概率； ②記花圃中紅色鮮花區(qū)域的塊數(shù)為S，求它的分布列及其數(shù)學期望E(S)． （正確答案）解：(1)根據(jù)分步計數(shù)原理，擺放鮮花的不同方案有：4322=48種 (2)①設M表示事件“恰有兩個區(qū)域用紅色鮮花”， 如圖二，當區(qū)域A、D同色時，共有54313=180種； 當區(qū)域A、D不同色時，共有54322=240種；因此，所有基本事件總數(shù)為：180+240=420種.(由于只有A、D，B、E可能同色，故可按選用3色、4色、5色分類計算，求出基本事件總數(shù)為A53+2A54+A55=420種)它們是等可能的.又因為A、D為紅色時，共有433=36種；B、E為紅色時，共有433=36種；因此，事件M包含的基本事件有：36+36=72種.所以，P(M)=72420=635 ②隨機變量ξ的分布列為： ξ 0 1 2 P 635 2335 635 所以，E(ξ)=0635+12335+2635=1 (1)對于圖一根據(jù)分布計數(shù)原理依次擺放鮮花，可直接解得． (2)對于圖二求恰有兩個區(qū)域用紅色鮮花的概率.設M表示事件“恰有兩個區(qū)域用紅色鮮花”，把圖二5個區(qū)域中的4個區(qū)域用A、B、D、E分別表示出來，然后分類討論出①當區(qū)域A、D同色時和②當區(qū)域A、D不同色時的總的排列種數(shù).再求出有兩個區(qū)域同用紅色的種數(shù)，列出分布列，利用期望的公式求出期望． 此題主要考查分布乘法計數(shù)原理和簡單的排列組合問題在實際中的應用，題中涉及到分類討論思想，在高考中屬于常用思想，同學們需要多加注意．