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模塊綜合測評 (滿分：150分　時間：120分鐘) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．已知a∈R，則“a＜2”是“a2＜2a”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 B　[∵a2＜2a?a(a－2)＜0?0＜a＜2. ∴“a＜2”是“a2＜2a”的必要不充分條件．] 2．已知命題p：?x>0，總有(x＋1)ex>1，則﹁p為(　　) A．?x0≤0，使得(x0＋1)e≤1 B．?x0>0，使得(x0＋1)e≤1 C．?x>0，總有(x＋1)e≤1 D．?x≤0，總有(x＋1)e≤1 B　[命題p為全稱命題，所以﹁p為?x0>0，使得(x0＋1)e≤1.故選B．] 3．若橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，則雙曲線－＝1的離心率為(　　) A．　　 　B．　 　　C．　 　　D． B　[由題意，1－＝＝，∴＝，而雙曲線的離心率e2＝1＋＝1＋＝，∴e＝.] 4．已知空間向量a＝(t,1，t)，b＝(t－2，t,1)，則|a－b|的最小值為(　　) A． B． C．2 D．4 C　[|a－b|＝≥2，故選C．] 5．橢圓＋＝1與橢圓＋＝1有(　　) A．相同短軸 B．相同長軸 C．相同離心率 D．以上都不對 D　[對于＋＝1，有a2>9或a2<9，因此這兩個橢圓可能長軸相同，也可能短軸相同，離心率是不確定的，因此A，B，C均不正確，故選D．] 6．長方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，則二面角C1ABC為(　　) 【導學號：46342198】 A． B． C． D． D　[以A為原點，直線AB，AD，AA1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則平面ABC的一個法向量為＝(0,0,1)，平面ABC1的一個法向量為＝(0,1，－1)，∴cos〈，〉＝＝－，∴〈，〉＝，又二面角C1ABC為銳角，即π－π＝，故選D．] 7．命題“?x∈[1,2]，x2－a≤0”為真命題的一個充分不必要條件是(　　) A．a(chǎn)≥4 B．a(chǎn)≤4 C．a(chǎn)≥5 D．a(chǎn)≤5 C　[∵?x∈[1,2]，1≤x2≤4，∴要使x2－a≤0為真，則a≥x2，即a≥4，本題求的是充分不必要條件，結(jié)合選項，只有C符合，故選C．] 8．設斜率為2的直線l過拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點F，且和y軸交于點A，若△OAF(O為坐標原點)的面積為4，則拋物線的方程為(　　) A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝4x D．y2＝8x B　[由已知可得，拋物線的焦點坐標為.又直線l的斜率為2，故直線l的方程為y＝2，則|OA|＝，故S△OAF＝＝4，解得a＝8，故拋物線的方程為y2＝8x.] 9．已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，C(1,1,2)，O為坐標原點，點D在直線OC上運動，則當取最小值時，點D的坐標為(　　) A． B． C． D． C　[點D在直線OC上運動，因而可設＝(a，a,2a)，則＝(1－a,2－a,3－2a)，＝(2－a,1－a,2－2a)，＝(1－a)(2－a)＋(2－a)(1－a)＋(3－2a)(2－2a)＝6a2－16a＋10，所以a＝時取最小值，此時＝.] 10．過橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左頂點A的斜率為k的直線交橢圓C 于另一點B，且點B在x軸上的射影恰好為右焦點F，若橢圓的離心率為，則k的值為(　　) A．－ B． C． D． C　[由題意知點B的橫坐標是c，故點B的坐標為，則斜率k＝＝＝＝＝(1－e)＝，故選C．] 11．若F1，F(xiàn)2為雙曲線C：－y2＝1的左、右焦點，點P在雙曲線C上，∠F1PF2＝60，則點P到x軸的距離為(　　) A． B． C． D． B　[設|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，點P到x軸的距離為|yP|，則S△F1PF2＝r1r2sin 60＝r1r2，又4c2＝r＋r－2r1r2cos 60＝(r1－r2)2＋2r1r2－r1r2＝4a2＋r1r2，得r1r2＝4c2－4a2＝4b2＝4，所以S△F1PF2＝r1r2sin 60＝＝2c|yP|＝|yP|，得|yP|＝，故選B．] 12．拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，準線為l，A，B是拋物線上的兩個動點，且滿足∠AFB＝.設線段AB的中點M在l上的投影為N，則的最大值是(　　) 【導學號：46342199】 A． B． C． D． C　[如圖．設|AF|＝r1，|BF|＝r2，則|MN|＝.在△AFB中，因為|AF|＝r1，|BF|＝r2且∠AFB＝，所以由余弦定理，得|AB|＝＝，所以＝＝＝≤＝，當且僅當r1＝r2時取等號．故選C．] 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上) 13．已知點P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．對于下列結(jié)論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正確的是________(填序號)． ①②③　[∵＝－2－2＋4＝0，∴⊥，即AP⊥AB，①正確；∵＝－4＋4＝0，∴⊥，即AP⊥AD，②正確；由①②可得是平面ABCD的法向量，③正確；由③可得⊥，④錯誤．] 14．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線平行于直線l：y＝2x＋10，雙曲線的一個焦點在直線l上，則雙曲線的方程為________． －＝1　[由已知得＝2，所以b＝2a.在y＝2x＋10中令y＝0得x＝－5，故c＝5，從而a2＋b2＝5a2＝c2＝25，所以a2＝5，b2＝20，所以雙曲線的方程為－＝1.] 15．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，且橢圓C上的點到點Q(0,2)的距離的最大值為3，則橢圓C的方程為________． ＋y2＝1　[由e＝＝，得c2＝a2，所以b2＝a2－c2＝a2 設P(x，y)是橢圓C上任意一點，則＋＝1，所以x2＝a2(1－)＝a2－3y2.|PQ|＝＝＝， 當y＝－1時，|PQ|有最大值.由＝3，可得a2＝3， 所以b2＝1，故橢圓C的方程為＋y2＝1.] 16．四棱錐PABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD＝AB＝1，G為△ABC的重心，則PG與底面ABCD所成的角θ的正弦值為________. 【導學號：46342200】 　[如圖，分別以DA，DC，DP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，由已知P(0,0,1)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，則重心G，因此＝(0,0,1)，＝，所以sin θ＝|cos〈，〉|＝＝.] 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)設集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax＝1}．“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，試求滿足條件的實數(shù)a組成的集合． [解]　∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}， 由于“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，∴BA． 當B＝?時，得a＝0； 當B≠?時，由題意得B＝{1}或B＝{2}． 則當B＝{1}時，得a＝1；當B＝{2}時，得a＝. 綜上所述，實數(shù)a組成的集合是. 18．(本小題滿分12分)已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，離心率為，且過點(4，－)． (1)求雙曲線的方程； (2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：＝0. [解]　(1)由雙曲線的離心率為，可知雙曲線為等軸雙曲線，設雙曲線的方程為x2－y2＝λ，又雙曲線過點(4，－)，代入解得λ＝6，故雙曲線的方程為x2－y2＝6. (2)證明：由雙曲線的方程為x2－y2＝6，可得a＝b＝，c＝2，所以F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)．由點M(3，m)，得＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)，又點M(3，m)在雙曲線上，所以9－m2＝6，解得m2＝3，所以＝m2－3＝0. 19. (本小題滿分12分)如圖1，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k＞0)． 圖1 (1)求證：CD⊥平面ADD1A1； (2)若直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值為，求k的值. 【導學號：46342201】 [解]　(1)證明：取CD的中點E，連接BE，如圖(1)． (1) ∵AB∥DE，AB＝DE＝3k， ∴四邊形ABED為平行四邊形， ∴BE∥AD且BE＝AD＝4k. 在△BCE中，∵BE＝4k，CE＝3k，BC＝5k， ∴BE2＋CE2＝BC2，∴∠BEC＝90，即BE⊥CD． 又∵BE∥AD，∴CD⊥AD． ∵AA1⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴AA1⊥CD． 又AA1∩AD＝A，∴CD⊥平面ADD1A1. (2)以D為原點，，，的方向為x，y，z軸的正方向建立如圖(2)所示的空間直角坐標系，則A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)， (2) ∴＝(－4k,6k,0)，＝(0,3k,1)，＝(0,0,1)． 設平面AB1C的法向量n＝(x，y，z)，則由得 取y＝2，得n＝(3,2，－6k)． 設AA1與平面AB1C所成的角為θ，則 sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，解得k＝1，故所求k的值為1. 20. (本小題滿分12分)如圖2，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F作一條傾斜角為的直線與拋物線相交于A，B兩點． 圖2 (1)用p表示|AB|； (2)若＝－3，求這個拋物線的方程． [解]　(1)拋物線的焦點為F，過點F且傾斜角為的直線方程為y＝x－. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 得x2－3px＋＝0， ∴x1＋x2＝3p，x1x2＝， ∴|AB|＝x1＋x2＋p＝4p. (2)由(1)知，x1x2＝，x1＋x2＝3p， ∴y1y2＝＝x1x2－(x1＋x2)＋＝－＋＝－p2，∴＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－＝－3，解得p2＝4，∴p＝2. ∴這個拋物線的方程為y2＝4x. 21．(本小題滿分12分)如圖3所示，四棱錐PABCD的底面是邊長為1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝，E為PD上一點，PE＝2ED． 圖3 (1)求證：PA⊥平面ABCD； (2)在側(cè)棱PC上是否存在一點F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F點的位置，并證明；若不存在，說明理由． [解]　(1)證明：∵PA＝AD＝1，PD＝， ∴PA2＋AD2＝PD2， 即PA⊥AD． 又PA⊥CD，AD∩CD＝D，∴PA⊥平面ABCD． (2)以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系． 則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)， E，＝(1,1,0)，＝.設平面AEC的法向量為n＝(x，y，z)， 則 即令y＝1， 則n＝(－1,1，－2)． 假設側(cè)棱PC上存在一點F，且＝λ(0≤λ≤1)， 使得BF∥平面AEC，則n＝0. 又∵＝＋＝(0,1,0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)， ∴n＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝， ∴存在點F，使得BF∥平面AEC，且F為PC的中點． 22. (本小題滿分12分)如圖4，在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，頂點B的坐標為(0，b)，連接BF2并延長交橢圓于點A，過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C，連接F1C． 圖4 (1)若點C的坐標為，且BF2＝，求橢圓的方程； (2)若F1C⊥AB，求橢圓離心率e的值. 【導學號：46342202】 [解]　(1)∵BF2＝，而BF＝OB2＋OF＝b2＋c2＝2＝a2， ∵點C在橢圓上，C， ∴＋＝1， ∴b2＝1，∴橢圓的方程為＋y2＝1. (2)直線BF2的方程為＋＝1，與橢圓方程＋＝1聯(lián)立方程組， 解得A點坐標為， 則C點的坐標為， 又F1為(－c,0)，k＝＝， 又kAB＝－，由F1C⊥AB，得＝－1， 即b4＝3a2c2＋c4，所以(a2－c2)2＝3a2c2＋c4，化簡得e＝＝.