《2018年秋高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第2課時(shí) 一元二次不等式的應(yīng)用學(xué)案 新人教A版必修5.doc》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《2018年秋高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第2課時(shí) 一元二次不等式的應(yīng)用學(xué)案 新人教A版必修5.doc（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

第2課時(shí)　一元二次不等式的應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用(重點(diǎn)).2.理解三個(gè)“二次”之間的關(guān)系.3.會(huì)解一元二次不等式中的恒成立問(wèn)題(難點(diǎn))． [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．分式不等式的解法 主導(dǎo)思想：化分式不等式為整式不等式 類(lèi)型 同解不等式 >0(<0) 法一： 或 法二： f(x)g(x)>0(<0) ≥0(≤0) 法一： 或 法二： >a 先移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為上述兩種形式 思考：>0與(x－3)(x＋2)>0等價(jià)嗎？將>0變形為(x－3)(x＋2)>0，有什么好處？ [提示]　等價(jià)；好處是將不熟悉的分式不等式化歸為已經(jīng)熟悉的一元二次不等式． 2．(1)不等式的解集為R(或恒成立)的條件 不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0 a≠0 (2)有關(guān)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的方法 f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a 思考：x－1>0在區(qū)間[2,3]上恒成立的幾何意義是什么？區(qū)間[2,3]與不等式x－1>0的解集有什么關(guān)系？ [提示]　x－1>0在區(qū)間[2,3]上恒成立的幾何意義是函數(shù)y＝x－1在區(qū)間[2,3]上的圖象恒在x軸上方．區(qū)間[2,3]內(nèi)的元素一定是不等式x－1>0的解，反之不一定成立，故區(qū)間[2,3]是不等式x－1>0的解集的子集． 3．從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一元二次不等式模型的步驟： (1)閱讀理解，認(rèn)真審題，分析題目中有哪些已知量和未知量，找準(zhǔn)不等關(guān)系． (2)設(shè)出起關(guān)鍵作用的未知量，用不等式表示不等關(guān)系(或表示成函數(shù)關(guān)系)． (3)解不等式(或求函數(shù)最值)． (4)回扣實(shí)際問(wèn)題． 思考：解一元二次不等式應(yīng)用題的關(guān)鍵是什么？ [提示]　解一元二次不等式應(yīng)用題的關(guān)鍵在于構(gòu)造一元二次不等式模型，選擇其中起關(guān)鍵作用的未知量為x，用x來(lái)表示其他未知量，根據(jù)題意，列出不等關(guān)系再求解． [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．思考辨析 (1)不等式>1的解集為x<1.(　　) (2)求解m>f(x)恒成立時(shí)，可轉(zhuǎn)化為求解f(x)的最小值，從而求出m的范圍．(　　) [答案]　(1)　(2)　 提示：(1)>1?－1>0?<0?{x|0f(x)恒成立轉(zhuǎn)化為m>f(x)max，(2)錯(cuò)． 2．不等式≥5的解集是________． 　[原不等式?≥?≤0?解得00在R上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432292】 (0,8)　[因?yàn)閤2－ax＋2a>0在R上恒成立， 所以Δ＝a2－42a<0，所以00，y>0，x<40，y<40，xy≥300，整理得y＋x＝40，將y＝40－x代入xy≥300，整理得x2－40x＋300≤0，解得10≤x≤30.] [合 作 探 究攻 重 難] 分式不等式的解法 　解下列不等式： (1)<0； (2)≤1. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432293】 [解]　(1)<0?(x－3)(x＋2)<0?－23. 即知原不等式的解集為{x|x≤－1或x>3}． (2)不等式<3可改寫(xiě)為－3<0，即<0. 可將這個(gè)不等式轉(zhuǎn)化成2(x－1)(x＋1)<0， 解得－10恒成立，如何求實(shí)數(shù)a的取值范圍？ 提示：若a＝0，顯然f(x)>0不能對(duì)一切x∈R都成立．所以a≠0，此時(shí)只有二次函數(shù)f(x)＝ax2＋2x＋2的圖象與直角坐標(biāo)系中的x軸無(wú)交點(diǎn)且拋物線(xiàn)開(kāi)口向上時(shí)，才滿(mǎn)足題意，則解得a>. 2．若函數(shù)f(x)＝x2－ax－3對(duì)x∈[－3，－1]上恒有f(x)<0成立，如何求a的范圍？ 提示：要使f(x)<0在[－3，－1]上恒成立，則必使函數(shù)f(x)＝x2－ax－3在[－3，－1]上的圖象在x軸的下方，由f(x)的圖象可知，此時(shí)a應(yīng)滿(mǎn)足 即 解得a<－2. 故當(dāng)a∈(－∞，－2)時(shí)，有f(x)<0在x∈[－3，－1]時(shí)恒成立． 3．若函數(shù)y＝x2＋2(a－2)x＋4對(duì)任意a∈[－3,1]時(shí)，y<0恒成立，如何求x的取值范圍？ 提示：由于本題中已知a的取值范圍求x，所以我們可以把函數(shù)f(x)轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量是a的函數(shù)，求參數(shù)x的取值問(wèn)題，則令g(a)＝2xa＋x2－4x＋4. 要使對(duì)任意a∈[－3,1]，y<0恒成立，只需滿(mǎn)足即 因?yàn)閤2－2x＋4<0的解集是空集， 所以不存在實(shí)數(shù)x，使函數(shù)y＝x2＋2(a－2)x＋4對(duì)任意a∈[－3,1]，y<0恒成立． 　已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432295】 思路探究：對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上的函數(shù)值恒大于等于零的問(wèn)題，可以利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解． [解]　設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3－a在x∈[－2,2]時(shí)的最小值為g(a)，則 (1)當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸x＝－<－2，即a>4時(shí)，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，解得a≤，與a>4矛盾，不符合題意． (2)當(dāng)－∈[－2,2]，即－4≤a≤4時(shí)，g(a)＝3－a－≥0，解得－6≤a≤2，此時(shí)－4≤a≤2. (3)當(dāng)－>2，即a<－4時(shí)，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7，此時(shí)－7≤a<－4. 綜上，a的取值范圍為－7≤a≤2. 母題探究：1.(變結(jié)論)本例條件不變，若f(x)≥2恒成立，求a的取值范圍． [解]　若x∈[－2,2]，f(x)≥2恒成立可轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x∈[－2,2]時(shí)，f(x)min≥2 ? 或 或 解得a的取值范圍為[－5，－2＋2]． 2．(變條件)將例題中的條件“f(x)＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2,2]，f(x)≥0恒成立”變?yōu)椤安坏仁絰2＋2x＋a2－3>0的解集為R”求a的取值范圍． [解]　法一：∵不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集為R， ∴函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋a2－3的圖象應(yīng)在x軸上方， ∴Δ＝4－4(a2－3)<0， 解得a>2或a<－2. 法二：令f(x)＝x2＋2x＋a2－3，要使x2＋2x＋a2－3>0的解集為R，則a滿(mǎn)足f(x)min＝a2－4>0，解得a>2或a<－2. 法三：由x2＋2x＋a2－3>0，得a2>－x2－2x＋3， 即a2>－(x＋1)2＋4，要使該不等式在R上恒成立，必須使a2大于－(x＋1)2＋4的最大值，即a2>4，故a>2或a<－2. [規(guī)律方法]　 1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是：當(dāng)a＝0 時(shí)，b＝0，c>0； 當(dāng)a≠0時(shí)， 2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是：當(dāng)a＝0 時(shí)，b＝0，c<0； 當(dāng)a≠0時(shí)， 3．f(x)≤a恒成立?a≥[f(x)]max，f(x)≥a恒成立?a≤[f(x)]min. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，則A∩B等于(　　) A．{x|－1≤x<0}　　　　 B．{x|00時(shí)，相應(yīng)二次方程中的Δ＝a2－4a≤0，得{a|00的解集為_(kāi)_______． {x|－4－1}　[原式可轉(zhuǎn)化為(x＋1)(x＋2)2(x＋3)(x＋4)>0， 根據(jù)數(shù)軸穿根法，解集為－4－1.] 4．設(shè)x2－2x＋a－8≤0對(duì)于任意x∈(1,3)恒成立，則a的取值范圍是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432297】 (－∞，5]　[原不等式x2－2x＋a－8≤0轉(zhuǎn)化為a≤－x2＋2x＋8對(duì)任意x∈(1,3)恒成立，設(shè)f(x)＝－x2＋2x＋8，易知f(x)在[1,3]上的最小值為f(3)＝5. ∴a∈(－∞，5]．] 5．某文具店購(gòu)進(jìn)一批新型臺(tái)燈，若按每盞臺(tái)燈15元的價(jià)格銷(xiāo)售，每天能賣(mài)出30盞；若售價(jià)每提高1元，日銷(xiāo)售量將減少2盞．為了使這批臺(tái)燈每天能獲得400元以上的銷(xiāo)售收入，應(yīng)怎樣制定這批臺(tái)燈的銷(xiāo)售價(jià)格？ [解]　設(shè)每盞臺(tái)燈售價(jià)x元，則x≥15，并且日銷(xiāo)售收入為x[30－2(x－15)]，由題意知，當(dāng)x≥15時(shí)，有x[30－2(x－15)]>400，解得：15≤x<20. 所以為了使這批臺(tái)燈每天獲得400元以上的銷(xiāo)售收入，應(yīng)當(dāng)制定這批臺(tái)燈的銷(xiāo)售價(jià)格為x∈[15,20)．