《2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 考點測試17 定積分與微積分基本定理 理（含解析）.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 考點測試17 定積分與微積分基本定理 理（含解析）.docx（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

考點測試17　定積分與微積分基本定理 高考概覽 考綱研讀 1．了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念 2．了解微積分基本定理的含義 一、基礎(chǔ)小題 1．計算：(ex＋2x)dx＝(　　) A．1 B．e－1 C．eD．e＋1 答案　C 解析　(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)10＝e．故選C． 2．若dx＝3＋ln 2(a>1)，則a的值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 答案　A 解析　dx＝(x2＋ln x)a1＝a2＋ln a－1＝3＋ln 2，即a＝2． 3．設(shè)f(x)＝ (e為自然對數(shù)的底數(shù))，則f(x)dx＝(　　) A．－B．－C．D． 答案　D 解析　依題意得，f(x)dx＝x2dx＋dx＝x310＋ln xe1＝＋1＝． 4．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象為如圖所示的折線ABC，則 －1[(x＋1)f(x)]dx＝(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 答案　D 解析　由圖易知f(x)＝ 所以－1[(x＋1)f(x)]dx＝－1(x＋1)(－x－1)dx＋0(x＋1)(x－1)dx＝－1(－x2－2x－1)dx＋0(x2－1)dx＝－x3－x2－x0－1＋x3－x10＝－－＝－1，故選D． 5．設(shè)f(x)是一條連續(xù)的曲線，且為偶函數(shù)，在對稱區(qū)間[－a，a]上的定積分為－af(x)dx，由定積分的幾何意義和性質(zhì)，得－af(x)dx可表示為(　　) A．－－af(x)dx B．2－af(x)dx C．f(x)dx D．－af(x)dx 答案　B 解析　偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱， 故－af(x)dx對應(yīng)的幾何區(qū)域關(guān)于y軸對稱， 因而其可表示為2－af(x)dx，應(yīng)選B． 6．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若f(x)dx＝3f(x0)，則x0等于(　　) A．1 B．C．D．2 答案　C 解析　f(x)dx＝(ax2＋b)dx＝30＝9a＋3b，∴9a＋3b＝3(ax＋b)，即x＝3，x0＝，故選C． 7．給出如下命題： ①dx＝dt＝b－a(a，b為常數(shù)，且a0)． 其中正確命題的個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　由于dx＝a－b，dt＝b－a，所以①錯誤；由定積分的幾何意義知，－1dx和dx都表示半徑為1的圓的面積，所以都等于，所以②正確；只有當(dāng)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)時，才有－af(x)dx＝2f(x)dx，所以③錯誤．故選B． 8．由拋物線y＝－x2＋4x－3及其在點M(0，－3)和點N(3，0)處的兩條切線所圍成的圖形的面積為(　　) A．B．C．D．2 答案　A 解析　由y＝－x2＋4x－3，得y′＝－2x＋4，∴y′x＝0＝4，在M點處的切線方程為y＝4x－3；y′x＝3＝－2，在N點處的切線方程為y＝－2x＋6．又兩切線交點的橫坐標(biāo)為x＝，故所求面積S＝∫0[4x－3－(－x2＋4x－3)]dx＋ [－2x＋6－(－x2＋4x－3)]dx＝∫0x2dx＋ (x2－6x＋9)dx＝x30＋x3－3x2＋9x3＝． 9．曲線y＝sinx，y＝cosx與直線x＝0，x＝所圍成的平面區(qū)域的面積為(　　) A．∫0(sinx－cosx)dx B．2∫0(sinx－cosx)dx C．2∫0(cosx－sinx)dx D．∫0(cosx－sinx)dx 答案　C 解析　當(dāng)x∈時，cosx≥sinx，當(dāng)x∈時，sinx>cosx，故所求平面區(qū)域的面積為＋∫(sinx－cosx)dx，數(shù)形結(jié)合知∫0(cosx－sinx)dx＝∫(sinx－cosx)dx．故選C． 10．一列火車在平直的鐵軌上行駛，由于遇到緊急情況，火車以速度v(t)＝5－t＋(t的單位：s，v的單位：m/s)緊急剎車至停止．在此期間火車?yán)^續(xù)行駛的距離是(　　) A．55ln10 mB．55ln11 m C．(12＋55ln 7) mD．(12＋55ln 6) m 答案　B 解析　令5－t＋＝0，注意到t>0，得t＝10，即經(jīng)過的時間為10 s；行駛的距離s＝∫dt＝100＝55ln 11，即緊急剎車后火車運行的路程為55ln11 m． 11．∫0sin2dx＝________． 答案?。? 解析　∫0sin2dx＝∫0dx ＝x－sinx0＝－． 12．由曲線y＝2－x2，直線y＝x及x軸所圍成的封閉圖形(圖中的陰影部分)的面積是________． 答案?。? 解析　把陰影部分分成兩部分(y軸左側(cè)部分和右側(cè)部分)求面積．易得S＝－(2－x2)dx＋(2－x2－x)dx＝0－＋2x－－10＝2－＋2－－＝＋． 二、高考小題 13．(2014山東高考)直線y＝4x與曲線y＝x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為(　　) A．2B．4C．2 D．4 答案　D 解析　由得x＝0或x＝2或x＝－2(舍)． ∴S＝(4x－x3)dx＝20＝4． 14．(2014湖北高考)若函數(shù)f(x)，g(x)滿足－1f(x)g(x)dx＝0，則稱f(x)，g(x)為區(qū)間[－1，1]上的一組正交函數(shù)．給出三組函數(shù)： ①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2． 其中為區(qū)間[－1，1]上的正交函數(shù)的組數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　由①得f(x)g(x)＝sinxcosx＝sinx，是奇函數(shù)，所以－1f(x)g(x)dx＝0，所以①為區(qū)間[－1，1]上的正交函數(shù)；由②得f(x)g(x)＝x2－1，所以－1f(x)g(x)dx＝－1(x2－1)dx＝1－1＝－，所以②不是區(qū)間[－1，1]上的正交函數(shù)；由③得f(x)g(x)＝x3，是奇函數(shù)，所以－1f(x)g(x)dx＝0，所以③為區(qū)間[－1，1]上的正交函數(shù)．故選C． 15．(2014湖南高考)已知函數(shù)f(x)＝sin(x－φ)，且∫0f(x)dx＝0，則函數(shù)f(x)的圖象的一條對稱軸是(　　) A．x＝B．x＝ C．x＝D．x＝ 答案　A 解析　由∫0f(x)dx＝∫0sin(x－φ)dx＝－cos(x－φ)0＝－cos＋cosφ＝0，得cosφ＝sinφ． 從而有tanφ＝，則φ＝nπ＋，n∈Z， 從而有f(x)＝sin ＝(－1)nsin，n∈Z． 令x－＝kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z，即f(x)的圖象的對稱軸是x＝kπ＋，k∈Z．故選A． 16．(2015天津高考)曲線y＝x2與直線y＝x所圍成的封閉圖形的面積為________． 答案　 解析　曲線y＝x2與直線y＝x所圍成的封閉圖形如圖中陰影部分所示，由解得x＝0或x＝1，所以S＝(x－x2)dx＝10＝－＝． 17．(2015陜西高考)如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊界呈拋物線型(圖中虛線所示)，則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為________． 答案　 解析　建立直角坐標(biāo)系，如圖． 過B作BE⊥x軸于點E， ∵∠BAE＝45，BE＝2，∴AE＝2． 又OE＝5，∴A(3，0)，B(5，2)． 設(shè)拋物線的方程為x2＝2py(p>0)， 代入點B的坐標(biāo)，得p＝， 故拋物線的方程為y＝x2． 從而曲邊三角形OEB的面積為 x2dx＝50＝． 又S△ABE＝22＝2， 故曲邊三角形OAB的面積為， 從而圖中陰影部分的面積為． 又易知等腰梯形ABCD的面積為2＝16， 則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為 ＝． 18．(2014遼寧高考)正方形的四個頂點A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，1)分別在拋物線y＝－x2和y＝x2上，如圖所示．若將一個質(zhì)點隨機投入正方形ABCD中，則質(zhì)點落在圖中陰影區(qū)域的概率是________． 答案　 解析　由對稱性可知S陰影＝S正方形ABCD－4x2dx＝22－4＝，所以所求概率為＝． 三、模擬小題 19．(2018安徽淮南一模)求曲線y＝x2與y＝x所圍成的封閉圖形的面積S，正確的是(　　) A．S＝(x2－x)dx B．S＝(x－x2)dx C．S＝(y2－y)dy D．S＝(y－)dy 答案　B 解析　兩函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)是(0，0)，(1，1)，故對x積分時，積分上限是1，下限是0，由于在[0，1]上，x≥x2，故曲線y＝x2與y＝x所圍成的封閉圖形的面積S＝(x－x2)dx(同理可知對y積分時，S＝(－y)dy)． 20．(2018湖北孝感模擬)已知－mdx＝，則m的值為(　　) A．B．C．－D．－1 答案　B 解析　由微積分基本定理得－mdx＝(ln x－mx)e1＝m＋1－me，結(jié)合題意得m＋1－me＝，解得m＝．故選B． 21．(2018河南鄭州一模)汽車以v＝(3t＋2) m/s做變速運動時，在第1 s至第2 s之間的1 s內(nèi)經(jīng)過的路程是(　　) A．5 mB．mC．6 mD．m 答案　D 解析　根據(jù)題意，汽車以v＝(3t＋2) m/s做變速運動時，汽車在第1 s至第2 s之間的1 s內(nèi)經(jīng)過的路程s＝(3t＋2)dt＝＋2t21＝m，故選D． 22．(2018山西聯(lián)考)函數(shù)y＝x2－1的圖象如圖所示，則陰影部分的面積是(　　) A．(x2－1)dx B．(x2－1)dx C．|x2－1|dx D．(x2－1)dx＋(1－x2)dx 答案　C 解析　所求面積為(1－x2)dx＋(x2－1)dx＝ |x2－1|dx． 23．(2018河北五校聯(lián)考)若f(x)＝ f[f(1)]＝1，則a的值為(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 答案　A 解析　因為f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝3t2dt＝t3a0＝a3，所以由f[f(1)]＝1得：a3＝1，a＝1，故選A． 24．(2018寧夏質(zhì)檢)已知＋＝2，若φ∈0，，則(x2－2x)dx＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　C 解析　由＋＝2?sinφ＋cosφ＝2sinφcosφ?sinφ＋＝sin2φ，因為φ∈0，，所以φ＝，所以tanφ＝1，故(x2－2x)dx＝(x2－2x)dx＝－x21－1＝． 25．(2018陜西模擬)(2x＋)dx＝________． 答案　1＋ 解析　dx表示以原點為圓心， 以1為半徑的圓的面積的， ∴dx＝． 又∵2xdx＝x210＝1， ∴(2x＋)dx＝2xdx＋dx＝1＋． 26．(2018河北衡水中學(xué)六調(diào))曲線y＝x3－3x和直線y＝x所圍成的圖形的面積是________． 答案　8 解析　由得交點的坐標(biāo)分別為(0，0)，(2，2)，(－2，－2)，作出草圖如圖， 可知曲線y＝x3－3x和直線y＝x圍成圖形的面積S＝2[x－(x3－3x)]dx＝2(4x－x3)dx＝22x2－x420＝2(8－4)＝8． 一、高考大題 本考點在近三年高考中未涉及此題型． 二、模擬大題 1．(2018云南月考)用min{a，b}表示a，b兩個數(shù)中的較小的數(shù)，設(shè)f(x)＝min{x2，}，那么由函數(shù)y＝f(x)的圖象、x軸、直線x＝和直線x＝4所圍成的封閉圖形的面積是多少？ 解　如圖所示，所求圖形的面積為陰影部分的面積，即所求的面積S＝x2dx＋dx＝x31＋x41＝＋＝． 2． (2018甘肅天水月考)在區(qū)間[0，1]上給定曲線y＝x2．試在此區(qū)間內(nèi)確定點t的值，使圖中的陰影部分的面積S1與S2之和最小，并求最小值． 解　面積S1等于邊長為t與t2的矩形面積去掉曲線y＝x2與x軸、直線x＝t所圍成的面積，即S1＝tt2－x2dx＝t3． S2的面積等于曲線y＝x2與x軸，x＝t，x＝1圍成的面積去掉矩形面積，矩形邊長分別為t2，1－t， 即S2＝x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋． 所以陰影部分面積S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)． 令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0時，得t＝0或t＝． t＝0時，S＝；t＝時，S＝；t＝1時，S＝． 所以當(dāng)t＝時，S最小，且最小值為．