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課時作業(yè) 54 幾何概型
一、選擇題
1．(2018武漢調研)在長為16 cm的線段MN上任取一點P，以MP、NP為鄰邊作一矩形，則該矩形的面積大于60 cm2的概率為( )
A. B.
C. D.
解析：本題考查幾何概型．設MP＝x，則NP＝16－x，由x(16－x)＞60，解得6＜x＜10，所以所求概率P＝＝，故選A.
答案：A
2．(2018貴陽一模)已知函數(shù)f(x)＝kx＋1，其中實數(shù)k的值隨機選自區(qū)間[－2,1]，則對任意的x∈[0,1]，f(x)≥0的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：當x＝0時，k∈[－2,1]；當x∈(0,1]時，k≥－，而x∈(0,1]?－∈(－∞，－1]，故k≥－1，從而k∈[－1,1]．因此所求概率為＝.故選C.
答案：C
3．(2018湖南省五市十校高三聯(lián)考)在矩形ABCD中，AB＝2AD，在CD上任取一點P，△ABP的最大邊是AB的概率是( )
A. B.
C.－1 D.－1
解析：分別以A，B為圓心，AB的長為半徑畫弧，交CD于P1，P2，則當P在線段P1P2間運動時，能使得△ABP的最大邊是AB，易得＝－1，即△ABP的最大邊是AB的概率是－1.
答案：D
4．(2018武漢市武昌區(qū)調研)在區(qū)間[0,1]上隨機取一個數(shù)x，則事件“l(fā)og0.5(4x－3)≥0”發(fā)生的概率為( )
A. B.
C. D.
解析：因為log0.5(4x－3)≥0，所以0<4x－3≤1，即
成立的概率為( )
A. B.
C. D．1
解析：依題意，當θ∈[0，π]時，θ＋∈[，]，由sin>得≤θ＋<，0≤θ<.因此，所求的概率等于π＝，選B.
答案：B
7．(2018深圳調研)設實數(shù)a∈(0,1)，則函數(shù)f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋1有零點的概率為( )
A. B.
C. D.
解析：本題考查幾何概型．由函數(shù)f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋1有零點，可得Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋1)＝4a－3≥0，解得a≥，即有≤a＜1，結合幾何概型的概率計算公式可得所求的概率為P＝＝，故選D.
答案：D
8．在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為( )
A. B．1－
C. D．1－
解析：點P到點O的距離大于1的點位于以O為球心，以1為半徑的半球外．記“點P到點O的距離大于1”為事件M，則P(M)＝＝1－.
答案：B
9．(2018安徽淮南一模)《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，也是古代東方數(shù)學的代表作．書中有如下問題：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長分別為8步和15步，問其內切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內投豆子，則豆子落在其內切圓內的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：依題意，直角三角形的斜邊長為17.設內切圓半徑為r，則由等面積法，可得815＝(8＋15＋17r)，解得r＝3，∴向此三角形內投豆子，豆子落在其內切圓內的概率是P＝＝.
答案：A
10．(2018太原模擬)如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形(陰影部分)圍成一個大正方形，中間空出一個小正方形組成的圖形，若在大正方形內隨機取一點，該點落在小正方形的概率為，則圖中直角三角形中較大銳角的正弦值為( )
A. B.
C. D.
解析：本題考查幾何概型．設大正方形邊長為a，直角三角形中較大銳角為θ，θ∈，則小正方形的面積為a2－4acosθasinθ＝a2－a2sin2θ，則由題意，得＝，解得sin2θ＝.因為θ∈，所以sinθ＋cosθ＝＝?、?，sinθ－cosθ＝＝?、?由①＋②解得sinθ＝，故選B.
答案：B
二、填空題
11．(2018黃山一模)向面積為S的△ABC內任意投擲一點P，則△PBC的面積小于的概率為________．
解析：∵S△PBC
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