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課時(shí)分層作業(yè)(九)　定積分的概念 (建議用時(shí)：40分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．下列結(jié)論中成立的個(gè)數(shù)是(　　) A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 C　[由定積分的概念可知②③正確，①錯(cuò)誤，故選C.] 2．關(guān)于定積分a＝ (－2)dx的敘述正確的是(　　) A．被積函數(shù)為y＝2，a＝6 B．被積函數(shù)為y＝－2，a＝6 C．被積函數(shù)為y＝－2，a＝－6 D．被積函數(shù)為y＝2，a＝－6 C　[由定積分的概念可知，被積函數(shù)為y＝－2，由定積分的幾何意義可知a＝－6.故選C.] 3．變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度為v(t)≥0，初始t＝0時(shí)所在位置為s0，則當(dāng)t1秒末它所在的位置為(　　) B　[由位移是速度的定積分，同時(shí)不可忽視t＝0時(shí)物體所在的位置，故當(dāng)t1秒末它所在的位置為s0＋∫t10v(t)dt.] 4．若f(x)dx＝1，g(x)dx＝－3，則 [2f(x)＋g(x)]dx＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062085】 A．2 B．－3 C．－1 D．4 C　[ [2f(x)＋g(x)]dx＝2f(x)dx＋g(x)dx＝21－3＝－1.] 5．若f(x)為偶函數(shù)，且f(x)dx＝8，則f(x)dx等于(　　) A．0 B．4 C．8 D．16 D　[∵被積函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，∴在y軸兩側(cè)的函數(shù)圖象對(duì)稱，從而對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積相等．] 二、填空題 6．若 [f(x)＋g(x)]dx＝3， [f(x)－g(x)]dx＝1，則 [2g(x)]dx＝________. [解析]　 [2g(x)]dx＝ [(f(x)＋g(x))－(f(x)－g(x))]dx＝ [f(x)＋g(x)]dx－ [f(x)－g(x)]dx ＝3－1＝2. [答案]　2 7．曲線y＝與直線y＝x，x＝2所圍成的圖形面積用定積分可表示為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062086】 [解析]　如圖所示，陰影部分的面積可 [答案]　 8．物體運(yùn)動(dòng)的速度和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為v(t)＝2t(t的單位：h，v的單位：km/h)，近似計(jì)算在區(qū)間[2,8]內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的路程時(shí)，把區(qū)間6等分，則過(guò)剩近似值(每個(gè)ξi均取值為小區(qū)間的右端點(diǎn))為__________km. [解析]　以小區(qū)間右端點(diǎn)時(shí)的速度作為小區(qū)間的平均速度，可得過(guò)剩近似值為s＝(23＋24＋25＋26＋27＋28)1＝66(km)． [答案]　66 三、解答題 9．已知，求下列定積分的值． (1) (2x＋x2)dx；(2) (2x2－x＋1)dx. [解]　(1) (2x＋x2)dx ＝2xdx＋x2dx ＝2＋＝e2＋. (2) (2x2－x＋1)dx＝ 2x2dx－xdx＋1dx， 因?yàn)橐阎? 又由定積分的幾何意義知：1dx等于直線x＝0，x＝e，y＝0，y＝1所圍成的圖形的面積， 所以1dx＝1e＝e， 故 (2x2－x＋1)dx ＝2－＋e＝e3－e2＋e. 10．利用定積分的幾何意義求下列定積分． (1) dx；(2) (2x＋1)dx； (3) (x3＋3x)dx. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062087】 [解]　(1)曲線y＝表示的幾何圖形為以原點(diǎn)為圓心以3為半徑的上半圓如圖①所示． 其面積為S＝π32＝π. 由定積分的幾何意義知dx＝π. (2)曲線f(x)＝2x＋1為一條直線. (2x＋1)dx表示直線f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3圍成的直角梯形OABC的面積，如圖②. 其面積為S＝(1＋7)3＝12. 根據(jù)定積分的幾何意義知 (2x＋1)dx＝12. (3)∵y＝x3＋3x在區(qū)間[－1,1]上為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， ∴曲邊梯形在x軸上方部分面積與x軸下方部分面積相等．由定積分的幾何意義知 (x3＋3x)dx＝0. [能力提升練] 1．已知f(x)＝x3－x＋sin x，則f(x)dx的值為(　　) A．等于0 B．大于0 C．小于0 D．不確定 A　[由題意知f(x)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)有 f(x)dx＝－f(x)dx，而f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＝0.] 2．與定積分|sin x|dx相等的是(　　) C　[當(dāng)x∈(0，π]時(shí)，sin x≥0； 當(dāng)x∈時(shí)，sin x＜0. ∴由定積分的性質(zhì)可得 3．定積分dx的值為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062088】 [解析]　因?yàn)閥＝， 所以(x－1)2＋y2＝1，它表示以(1,0)為圓心，1為半徑的圓．定積分dx就是該圓的面積的四分之一，所以定積分dx＝. [答案]　 4．汽車以v＝(3t＋2)m/s做變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，第1 s到第2 s間的1 s內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程是________m. [解析]　由題意知，所求路程為直線x＝1，x＝2，y＝0與y＝3x＋2所圍成的直角梯形的面積，故s＝(5＋8)1＝6.5(m)． [答案]　6.5 5．如圖155所示，拋物線y＝x2將圓x2＋y2≤8分成兩部分，現(xiàn)在向圓上均勻投點(diǎn)，這些點(diǎn)落在圓中陰影部分的概率為＋， 求. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062089】 圖155 [解]　解方程組 得x＝2. ∴陰影部分的面積為 . ∵圓的面積為8π， ∴由幾何概型可得陰影部分的面積是 8π＝2π＋. 由定積分的幾何意義得， ＝π＋.