2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.2 二項(xiàng)分布及其應(yīng)用 2.2.3 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc
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2.2.3 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型.2.掌握二項(xiàng)分布公式.3.能利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題. 知識(shí)點(diǎn)一 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 思考1 要研究拋擲硬幣的規(guī)律,需做大量的擲硬幣試驗(yàn).其前提是什么? 答案 條件相同. 思考2 試驗(yàn)結(jié)果有哪些? 答案 正面向上或反面向上,即事件發(fā)生或者不發(fā)生. 思考3 各次試驗(yàn)的結(jié)果有無(wú)影響? 答案 無(wú),即各次試驗(yàn)相互獨(dú)立. 梳理 (1)定義:在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn). (2)基本特征: ①每次試驗(yàn)是在同樣條件下進(jìn)行. ②每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果:發(fā)生與不發(fā)生. ③各次試驗(yàn)之間相互獨(dú)立. ④每次試驗(yàn),某事件發(fā)生的概率都是一樣的. 知識(shí)點(diǎn)二 二項(xiàng)分布 在體育課上,某同學(xué)做投籃訓(xùn)練,他連續(xù)投籃3次,每次投籃的命中率都是0.8,用Ai(i=1,2,3)表示第i次投籃命中這個(gè)事件,用Bk表示僅投中k次這個(gè)事件. 思考1 用Ai如何表示B1,并求P(B1). 答案 B1=(A12 3)∪(1A23)∪(1 2A3), 因?yàn)镻(A1)=P(A2)=P(A3)=0.8, 且A12 3,1A23,1 2A3兩兩互斥, 故P(B1)=0.80.22+0.80.22+0.80.22 =30.80.22=0.096. 思考2 試求P(B2)和P(B3). 答案 P(B2)=30.20.82=0.384, P(B3)=0.83=0.512. 思考3 由以上問題的結(jié)果你能得出什么結(jié)論? 答案 P(Bk)=C0.8k0.23-k(k=0,1,2,3). 梳理 在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p, 則P(X=k)=Cpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n. 此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記作X~B(n,p),并稱p為成功概率. 1.有放回地抽樣試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).( √ ) 2.在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,各次試驗(yàn)的結(jié)果相互沒有影響.( √ ) 3.在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,各次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率可以不同.( ) 4.如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率P(X=k)=Cpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.( √ ) 類型一 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率 例1 甲、乙兩人各射擊一次,擊中目標(biāo)的概率分別是和,假設(shè)每次射擊是否擊中目標(biāo),相互之間沒有影響.(結(jié)果需用分?jǐn)?shù)作答) (1)求甲射擊3次,至少有1次未擊中目標(biāo)的概率; (2)求兩人各射擊2次,甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)1次的概率. 考點(diǎn) 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的計(jì)算 題點(diǎn) n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率 解 (1)記“甲射擊3次至少有1次未擊中目標(biāo)”為事件A1,由題意,知射擊3次,相當(dāng)于3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),故P(A1)=1-P(1)=1-3=. (2)記“甲射擊2次,恰有2次擊中目標(biāo)”為事件A2,“乙射擊2次,恰有1次擊中目標(biāo)”為事件B2,則P(A2)=C2=,P(B2)=C1=,由于甲、乙射擊相互獨(dú)立,故P(A2B2)==. 引申探究 1.在本例(2)的條件下,求甲、乙均擊中目標(biāo)1次的概率. 解 記“甲擊中目標(biāo)1次”為事件A3,“乙擊中目標(biāo)1次”為事件B3,則P(A3)=C=,P(B3)=, 所以甲、乙均擊中目標(biāo)1次的概率為P(A3B3)==. 2.在本例(2)的條件下,求甲未擊中,乙擊中2次的概率. 解 記“甲未擊中目標(biāo)”為事件A4,“乙擊中2次”為事件B4,則P(A4)=C2=,P(B4)=C2=,所以甲未擊中、乙擊中2次的概率為P(A4B4)==. 反思與感悟 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率求法的三個(gè)步驟 (1)判斷:依據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特征,判斷所給試驗(yàn)是否為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn). (2)分拆:判斷所求事件是否需要分拆. (3)計(jì)算:就每個(gè)事件依據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式計(jì)算. 跟蹤訓(xùn)練1 某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%,計(jì)算(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后面第2位): (1)“5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確”的概率; (2)“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的概率. 考點(diǎn) 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的計(jì)算 題點(diǎn) n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率 解 (1)記“預(yù)報(bào)一次準(zhǔn)確”為事件A,則P(A)=0.8, 5次預(yù)報(bào)相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn). “恰有2次準(zhǔn)確”的概率為 P=C0.820.23=0.051 2≈0.05, 因此5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率約為0.05. (2)“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的對(duì)立事件為“5次預(yù)報(bào)全部不準(zhǔn)確或只有1次準(zhǔn)確”. 其概率為P=C(0.2)5+C0.80.24=0.006 72. 所以所求概率為1-P=1-0.006 72≈0.99. 所以“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的概率約為0.99. 類型二 二項(xiàng)分布 例2 已知某種從太空飛船中帶回來(lái)的植被種子每粒成功發(fā)芽的概率都為,某植物研究所分兩個(gè)小組分別獨(dú)立開展該種子的發(fā)芽試驗(yàn),每次試驗(yàn)種一粒種子,如果某次沒有發(fā)芽,則稱該次試驗(yàn)是失敗的. (1)第一小組做了3次試驗(yàn),記該小組試驗(yàn)成功的次數(shù)為X,求X的分布列; (2)第二小組進(jìn)行試驗(yàn),到成功了4次為止,求在第4次成功之前共有3次失敗的概率. 考點(diǎn) 二項(xiàng)分布的計(jì)算及應(yīng)用 題點(diǎn) 求二項(xiàng)分布的分布列 解 (1)由題意,得隨機(jī)變量X可能取值為0,1,2,3, 則X~B. 即P(X=0)=C03=, P(X=1)=C12=, P(X=2)=C21=, P(X=3)=C3=. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P (2)第二小組第7次試驗(yàn)成功,前面6次試驗(yàn)中有3次失敗,3次成功,每次試驗(yàn)又是相互獨(dú)立的, 因此所求概率為P=C33=. 反思與感悟 (1)當(dāng)X服從二項(xiàng)分布時(shí),應(yīng)弄清X~B(n,p)中的試驗(yàn)次數(shù)n與成功概率p. (2)解決二項(xiàng)分布問題的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn) ①對(duì)于公式P(X=k)=Cpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),必須在滿足“獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”時(shí)才能應(yīng)用,否則不能應(yīng)用該公式. ②判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布,關(guān)鍵有兩點(diǎn):一是對(duì)立性,即一次試驗(yàn)中,事件發(fā)生與否兩者必有其一;二是重復(fù)性,即試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了n次. 跟蹤訓(xùn)練2 某一中學(xué)生心理咨詢中心服務(wù)電話接通率為,某班3名同學(xué)商定明天分別就同一問題詢問該服務(wù)中心.且每人只撥打一次,求他們中成功咨詢的人數(shù)X的分布列. 考點(diǎn) 二項(xiàng)分布的計(jì)算及應(yīng)用 題點(diǎn) 求二項(xiàng)分布的分布列 解 由題意可知X~B, 所以P(X=k)=Ck3-k,k=0,1,2,3, 即P(X=0)=C03=; P(X=1)=C2=; P(X=2)=C2=; P(X=3)=C3=. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P 類型三 二項(xiàng)分布的綜合應(yīng)用 例3 一名學(xué)生每天騎自行車上學(xué),從家到學(xué)校的途中有5個(gè)交通崗,假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的,并且概率都是. (1)求這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)ξ的分布列; (2)求這名學(xué)生在首次遇到紅燈或到達(dá)目的地停車前經(jīng)過的路口數(shù)η的分布列; (3)求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率. 考點(diǎn) 二項(xiàng)分布的計(jì)算及應(yīng)用 題點(diǎn) 二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用 解 (1)由ξ~B,則P(ξ=k)=Ck5-k,k=0,1,2,3,4,5. 即P(ξ=0)=C05=; P(ξ=1)=C4=; P(ξ=2)=C23=; P(ξ=3)=C32=; P(ξ=4)=C4=; P(ξ=5)=C5=. 故ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 5 P (2)η的分布列為P(η=k)=P(前k個(gè)是綠燈,第k+1個(gè)是紅燈)=k,k=0,1,2,3,4, 即P(η=0)=0=; P(η=1)==; P(η=2)=2=; P(η=3)=3=; P(η=4)=4=; P(η=5)=P(5個(gè)均為綠燈)=5. 故η的分布列為 η 0 1 2 3 4 5 P (3)所求概率為P(ξ≥1)=1-P(ξ=0) =1-5=. 反思與感悟 對(duì)于概率問題的綜合題,首先,要準(zhǔn)確地確定事件的性質(zhì),把問題化歸為古典概型、互斥事件、獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)四類事件中的某一種;其次,要判斷事件是A+B還是AB,確定事件至少有一個(gè)發(fā)生,還是同時(shí)發(fā)生,分別應(yīng)用相加或相乘事件公式;最后,選用相應(yīng)的求古典概型、互斥事件、條件概率、獨(dú)立事件、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求解. 跟蹤訓(xùn)練3 一個(gè)口袋內(nèi)有n(n>3)個(gè)大小相同的球,其中3個(gè)紅球和(n-3)個(gè)白球,已知從口袋中隨機(jī)取出1個(gè)球是紅球的概率為p.若6p∈N,有放回地從口袋中連續(xù)4次取球(每次只取1個(gè)球),在4次取球中恰好2次取到紅球的概率大于,求p與n的值. 考點(diǎn) 二項(xiàng)分布的計(jì)算及應(yīng)用 題點(diǎn) 二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用 解 由題設(shè)知,Cp2(1-p)2>. ∵p(1-p)>0, ∴不等式化為p(1-p)>, 解得
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