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微積分建立的時代背景和歷史意義 微積分的概念微積分的發(fā)展微積分的建立微積分創(chuàng)立的現(xiàn)實意義牛頓與萊布尼茨數(shù)學史料 微積分建立的時代背景和歷史意義 1 微積分學是微分學和積分學的總稱 微積分是研究函數(shù)的微分 積分以及有關概念和應用的數(shù)學分支科學 微積分中的基本概念是函數(shù) 極限 實數(shù) 導數(shù) 積分等 其中極限是微積分的基石 2 研究函數(shù) 從量的方面研究事物運動變化是微積分的基本方法 這種方法叫做數(shù)學分析 微積分的概念 4 微分學的主要內(nèi)容包括 極限理論 導數(shù) 微分等 3 本來從廣義上說 數(shù)學分析包括微積分 函數(shù)論等許多分支學科 但是現(xiàn)在一般已習慣于把數(shù)學分析和微積分等同起來 數(shù)學分析成了微積分的同義詞 一提數(shù)學分析就知道是指微積分 微積分的基本概念和內(nèi)容包括微分學和積分學 5 積分學的主要內(nèi)容包括 定積分 不定積分等 微積分的概念 6 微積分的產(chǎn)生和發(fā)展被譽為 近代技術文明產(chǎn)生的關鍵事件之一 它引入了若干極其成功的 對以后許多數(shù)學的發(fā)展起決定性作用的思想 恩格斯稱之為 17世紀自然科學的三大發(fā)明之一 7 微積分的建立 無論是對數(shù)學還是對其他科學以至于技術的發(fā)展都產(chǎn)生了巨大的影響 充分顯示了數(shù)學對于人的認識發(fā)展 改造世界的能力的巨大促進作用 微積分的概念 1 中國數(shù)學家的極限 積分思想 割圓求周 三國劉徽 圓周率 球體積 球表面積的研究 祖沖之 祖暅 一尺之棰 日取其半 萬世不竭 戰(zhàn)國莊周 樸素 典型的極限概念 微積分的萌芽 2 外國數(shù)學家的極限 積分思想 公元前三世紀 古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積 球和球冠面積 螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中 就隱含著近代積分學的思想 歐幾里得 公元前330年 前275年 是古希臘數(shù)學家 以其所著的 幾何原本 聞名于世 其中對不可約量及面積與體積的研究 包含了窮竭法的萌芽 微積分的萌芽 1 到了十六世紀 有許多科學問題需要解決 由于航海 機械制造 軍事上的需要 運動的研究成了自然科學的中心議題 于是在數(shù)學中開始研究各種變化過程中的量 變量 之間的依賴關系 變量的引進 形成了數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點 2 到了十七世紀 生產(chǎn)的發(fā)展提出了許多技術上的新要求 這些科學問題的解決 對數(shù)學提出了新的要求 也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素 微積分的發(fā)展 3 十七世紀的許多著名的數(shù)學家 天文學家 物理學家都為解決問題作了大量的研究工作 如法國的費爾瑪 笛卡兒 羅伯瓦 笛沙格 英國的巴羅 瓦里士 德國的開普勒 意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論 為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻 微積分的發(fā)展 第一類是研究物體運動的時候直接出現(xiàn)的 也就是求即時速度的問題 第二類問題是求曲線的切線的問題 4 十七世紀中葉其他科學提出的四種亟待解決的數(shù)學問題 天文學 力學等涉及許多非勻速運動 大多數(shù)也不是直線運動 傳統(tǒng)的數(shù)學方法無能為力 要求新的數(shù)學工具 不僅是幾何學的問題 而且也是許多其他科學問題的要求 如物體作曲線運動 光的折射和反射 第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題 第四類問題是求曲線長 曲線圍成的面積 曲面圍成的體積 物體的重心 一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力 天文學和力學都有關 例如求行星運動的近日點遠日點 拋射體的最大射程和高度等 4 十七世紀中葉其他科學提出的四種亟待解決的數(shù)學問題 1 十七世紀下半葉 在前人工作的基礎上 英國大科學家牛頓和德國數(shù)學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作 雖然這只是十分初步的工作 他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關的問題聯(lián)系在一起 一個是切線問題 微分學的中心問題 一個是求積問題 積分學的中心問題 微積分的建立 2 牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量 因此這門學科早期也稱為無窮小分析 這正是現(xiàn)在數(shù)學中分析學這一大分支名稱的來源 牛頓研究微積分著重于從運動學來考慮 萊布尼茨卻是側重于幾何學來考慮的 微積分的建立 1 微積分學的創(chuàng)立 極大地推動了數(shù)學的發(fā)展 過去很多初等數(shù)學束手無策的問題 運用微積分 往往迎刃而解 顯示出微積分學的非凡威力 2 一門科學的創(chuàng)立決不是某一個人的業(yè)績 他必定是經(jīng)過多少人的努力后 在積累了大量成果的基礎上 最后由某個人或幾個人總結完成的 微積分也是這樣 微積分創(chuàng)立的歷史意義 3 不幸的事 由于人們在欣賞微積分的宏偉功效之余 在提出誰是這門學科的創(chuàng)立者的時候 竟然引起了一場悍然大波 造成了歐洲大陸的數(shù)學家和英國數(shù)學家的長期對立 英國數(shù)學在一個時期里閉關鎖國 囿于民族偏見 過于拘泥在牛頓的 流數(shù)術 中停步不前 因而數(shù)學發(fā)展整整落后了一百年 微積分創(chuàng)立的歷史意義 4 其實 牛頓和萊布尼茨分別是自己獨立研究 在大體上相近的時間里先后完成的 比較特殊的是牛頓創(chuàng)立微積分要比萊布尼茨早10年左右 但是正式公開發(fā)表微積分這一理論 萊布尼茨卻要比牛頓發(fā)表早三年 他們的研究各有長處 也都各有短處 那時候 由于民族偏見 關于發(fā)明優(yōu)先權的爭論竟從1699年始延續(xù)了一百多年 微積分創(chuàng)立的歷史意義 5 應該指出 這是和歷史上任何一項重大理論的完成都要經(jīng)歷一段時間一樣 牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的 他們在無窮和無窮小量這個問題上 其說不一 十分含糊 牛頓的無窮小量 有時候是零 有時候不是零而是有限的小量 萊布尼茨的也不能自圓其說 這些基礎方面的缺陷 最終導致了第二次數(shù)學危機的產(chǎn)生 微積分創(chuàng)立的歷史意義 6 微積分是與應用聯(lián)系著發(fā)展起來的 最初牛頓應用微積分學及微分方程為了從萬有引力定律導出了開普勒行星運動三定律 此后 微積分學極大的推動了數(shù)學的發(fā)展 同時也極大的推動了天文學 力學 物理學 化學 生物學 工程學 經(jīng)濟學等自然科學 社會科學及應用科學各個分支中的發(fā)展 并在這些學科中有越來越廣泛的應用 特別是計算機的出現(xiàn)更有助于這些應用的不斷發(fā)展 微積分創(chuàng)立的歷史意義 牛頓 是英國偉大的數(shù)學家 物理學家 天文學家和自然哲學家 1642年12月25日生于英格蘭林肯郡格蘭瑟姆附近的沃爾索普村 1727年3月20日在倫敦病逝 牛頓1661年入英國劍橋大學三一學院 1665年獲文學士學位 隨后兩年在家鄉(xiāng)躲避瘟疫 這兩年里 他制定了一生大多數(shù)重要科學創(chuàng)造的藍圖 1667年回劍橋后當選為三一學院院委 次年獲碩士學位 1669年任盧卡斯教授直到1701年 1696年任皇家造幣廠監(jiān)督 并移居倫敦 1703年任英國皇家學會會長 1706年受女王安娜封爵 他晚年潛心于自然哲學與神學 牛頓在科學上最卓越的貢獻是微積分和經(jīng)典力學的創(chuàng)建 牛頓 牛頓在1671年寫了 流數(shù)法和無窮級數(shù) 這本書直到1736年才出版 它在這本書里指出 變量是由點 線 面的連續(xù)運動產(chǎn)生的 否定了以前自己認為的變量是無窮小元素的靜止集合 他把連續(xù)變量叫做流動量 把這些流動量的導數(shù)叫做流數(shù) 牛頓在流數(shù)術中所提出的中心問題是 已知連續(xù)運動的路徑 求給定時刻的速度 微分法 已知運動的速度求給定時間內(nèi)經(jīng)過的路程 積分法 牛頓 萊布尼茨 萊布尼茨 德國數(shù)學家 哲學家 和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人 1646年7月1日生于萊比錫 1716年11月14日卒于德國的漢諾威 他父親是萊比錫大學倫理學教授 家庭豐富的藏書引起他廣泛的興趣 1661年入萊比錫大學學習法律 又曾到耶拿大學學習幾何 1666年在紐倫堡阿爾特多夫取得法學博士學位 他當時寫的論文 論組合的技巧 已含有數(shù)理邏輯的早期思想 后來的工作使他成為數(shù)理邏輯的創(chuàng)始人 1667年他投身外交界 曾到歐洲各國游歷 1676年到漢諾威 任腓特烈公爵顧問及圖書館的館長 并常居漢諾威 直到去世 萊布尼茨的多才多藝在歷史上很少有人能和他相比 他的著作包括數(shù)學 歷史 語言 生物 地質(zhì) 機械 物理 法律 外交等各個方面 萊布尼茨是一個博才多學的學者 1684年 他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認為是最早的微積分文獻 這篇文章有一個很長而且很古怪的名字 一種求極大極小和切線的新方法 它也適用于分式和無理量 以及這種新方法的奇妙類型的計算 就是這樣一片說理也頗含糊的文章 卻有劃時代的意義 他以含有現(xiàn)代的微分符號和基本微分法則 1686年 萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學的文獻 他是歷史上最偉大的符號學者之一 他所創(chuàng)設的微積分符號 遠遠優(yōu)于牛頓的符號 這對微積分的發(fā)展有極大的影響 現(xiàn)在我們使用的微積分通用符號就是當時萊布尼茨精心選用的 萊布尼茨 就到這里吧