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專題強化訓練(三) 導數(shù)及其應用
(建議用時：45分鐘)
[基礎達標練]
1．一物體作直線運動，位移s(單位：m)與時間t(單位：s)之間的函數(shù)關系為s(t)＝－2t2＋8t，則這一物體在t＝1 s時的加速度為 ( )
A．4 m/s2 B．－4 m/s2
C．6 m/s2 D．－6 m/s2
B [由導數(shù)的概念可求得速度v(單位：m/s)與時間t(單位：s)的函數(shù)關系為v(t)＝－4t＋8，它在t＝1時的導數(shù)就是這一物體在t＝1時的加速度a，所以a＝v′(1)，又v′(t)＝－4，所以a＝－4.]
2．函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c為實數(shù)，當a2－3b<0時，f(x)在R上 ( )
A．是增函數(shù) B．是減函數(shù)
C．是常函數(shù) D．既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)
A [f′(x)＝3x2＋2ax＋b，方程3x2＋2ax＋b＝0的判別式Δ＝(2a)2－43b＝4(a2－3b)．因為a2－3b<0，所以Δ＝4(a2－3b)<0，所以f′(x)在R上恒大于0，故f(x)在R上是增函數(shù)．]
3．函數(shù)f(x)＝x2－ln x的極值點為( )
【導學號：97792176】
A．0,1，－1 B．
C．－ D．，－
B [f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝3x－＝.
令f′(x)＝0得x＝或x＝－(舍去)，
當x>時，f′(x)>0，當0
0時，令g(x)＝mx＋m－1，
只需g(0)≥0，得m≥1.
即實數(shù)m的取值范圍為[1，＋∞)．
三、解答題
9．已知函數(shù)g(x)＝1－.
(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當0，得x>1；
令g′(x)<0，得0g(y)，
即1－>1－，
所以<，即<.
10．如圖33，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為2r，短半軸長為r(r>0)，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點在橢圓上，設CD＝2x，梯形面積為S.
圖33
(1)求面積S以x為自變量的函數(shù)關系式，并寫出其定義域；
(2)求面積S的最大值．
[解] (1)依題意，設AB的中點為O，以O為原點建立平面直角坐標系xOy，如圖所示，
設C的坐標為(x，y)，則x，y滿足方程＋＝1(y>0)，
解得y＝2(00；當0)，x∈[1,4]，f(x)的最大值為3，最小值為－6，則a＋b＝( )
A. B. C. D.
C [f′(x)＝4ax3－12ax2.令f′(x)＝0，得x＝3或x＝0(舍去)．當1≤x<3時，f′(x)<0，當30，故x＝3為極小值點，也是最小值點．∵f(3)＝b－27a，f(1)＝b－3a，f(4)＝b，∴f(x)的最小值為f(3)＝b－27a，最大值為f(4)＝b，∴，解得，∴a＋b＝.]
3．函數(shù)y＝xex在其極值點處的切線方程為__________．
y＝－ [由題知y′＝ex＋xex，令y′＝0，解得x＝－1，代入函數(shù)解析式可得極值點的坐標為，又極值點處的切線為平行于x軸的直線，故方程為y＝－.]
4．若函數(shù)f(x)＝2x2－ln x在定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(k－1，k＋1)上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是__________．
[由題意可知函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝4x－＝.由f′(x)>0，得函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為；由f′(x)<0，得函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為.由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(k－1，k＋1)上不是單調(diào)函數(shù)，所以k－1<0)．
(1)若曲線y＝f(x)在點A(2，f(2))處的切線斜率為2，求實數(shù)a的值；
(2)當x>0時，求證：f(x)≥a；
(3)若在區(qū)間(1，e)上，>1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
【導學號：97792178】
[解] (1)∵f′(x)＝，∴f′(2)＝＝2，∴a＝4.
(2)證明：令g(x)＝f(x)－a，則g(x)＝aln x－1＋，
g′(x)＝a.
令g′(x)>0，即a>0，解得x>1，
令g′(x)<0，即a<0，解得x<1，又x>0，∴00，解得xa.
當a≥e時，h(x)在(1，e)上是增函數(shù)，∴h(x)>h(1)＝0；
當1
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