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課時分層作業(yè)(七) 橢圓的簡單幾何性質(zhì)
(建議用時：40分鐘)
[基礎達標練]
一、選擇題
1．焦點在x軸上，長、短半軸長之和為10，焦距為4，則橢圓的方程為( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
A [由題意知，解得
因此所求橢圓的方程為＋＝1.]
2．橢圓＋＝1與＋＝1(0
b>0)，A，B分別為橢圓的左頂點和上頂點，F(xiàn)為右焦點，且AB⊥BF，則橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.
D [在Rt△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2.將b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0, 解得e＝，因為0b>0)
由題意得解得
因此所求橢圓方程為＋＝1.]
8．已知P(m，n)是橢圓x2＋＝1上的一個動點，則m2＋n2的取值范圍是________.
【導學號：97792066】
[1,2] [因為P(m，n)是橢圓x2＋＝1上的一個動點，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2.]
三、解答題
9．設橢圓＋＝1(a＞b＞0)與x軸交于點A，以OA為邊作等腰三角形OAP，其頂點P在橢圓上，且∠OPA＝120，求橢圓的離心率．
[解] 不妨設A(a,0)，點P在第一象限內(nèi)，由題意知，點P的橫坐標是，設P，由點P在橢圓上，得＋＝1，y2＝b2，即P，又∠OPA＝120，所以∠POA＝30，故tan∠POA＝＝，所以a＝3b，所以e＝＝＝＝.
10．已知在平面直角坐標系xOy中的一個橢圓的中心在原點，左焦點為F1(－，0)，且右頂點為D(2,0)．設點A的坐標是.
(1)求該橢圓的標準方程．
(2)若P是橢圓上的動點，求線段PA的中點M的軌跡方程.
【導學號：97792067】
[解] (1)因為a＝2，c＝，所以b＝＝1.
所以橢圓的標準方程為＋y2＝1.
(2)設P(x0，y0)，M(x，y)，由中點坐標公式，
得所以
又因為＋y＝1，所以＋2＝1，即為中點M的軌跡方程．
[能力提升練]
1．已知F是橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點，A為右頂點，P是橢圓上一點，且PF⊥x軸，若|PF|＝|AF|，則該橢圓的離心率是( )
A. B. C. D.
B [由于PF⊥x軸，
則令x＝－c，代入橢圓方程，解得，
y2＝b2＝，y＝，
又|PF|＝|AF|，即＝(a＋c)，
即有4(a2－c2)＝a2＋ac，
即有(3a－4c)(a＋c)＝0，
則e＝＝，故選B.]
2．“m＝3”是“橢圓＋＝1的離心率為”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
A [橢圓＋＝1的離心率為，
當04時，＝，得m＝，
即“m＝3”是“橢圓＋＝1的離心率為”的充分不必要條件．]
3．已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C上的點到焦點的距離的最大值為3，最小值為1，則橢圓C的標準方程為________．
＋＝1 [由題意知，解得
則b2＝3，故所求橢圓方程為＋＝1.]
4．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點為F，右頂點為A，點B在橢圓上，且BF⊥x軸，直線AB交y軸于點P.若＝2，則橢圓的離心率是________．
[由＝2，得|AO|＝2|FO|(O為坐標原點)，即a＝2c，則離心率e＝.]
5．已知點A，B分別是橢圓＋＝1的左、右頂點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF.
(1)求點P的坐標；
(2)設M是橢圓長軸AB上的一點，且M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值.
【導學號：97792068】
[解] (1)由已知可得A(－6,0)，B(6,0)，F(xiàn)(4,0)，
設點P的坐標是(x，y)，
則＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)．
由已知得
則2x2＋9x－18＝0，解得x＝或x＝－6.
由于y>0，所以只能取x＝，于是y＝.
所以點P的坐標是.
(2)直線AP的方程是x－y＋6＝0.
設點M的坐標是(m,0)，
則M到直線AP的距離是，又B(6,0)，
于是＝|m－6|，
又－6≤m≤6，解得m＝2，
設橢圓上的點(x，y)到點M的距離為d，有
d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2
＝＋15，
由于－6≤x≤6，所以當x＝時，d取最小值為.
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