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山東省2018年普通高校招生(春季)考試 數學試題 卷一 一、選擇題(本大題20個小題，每小題3分，共60分。在每小題列出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請將符合題目要求的選項字母代號選出，并填涂在答題卡上) 1. 已知集合，，則等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析：根據交集的定義求解. 詳解：因為，，所以 選B. 點睛：集合的基本運算的關注點 (1)看元素組成．集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構成入手是解決集合運算問題的前提． (2)有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了，易于解決． (3)注意數形結合思想的應用，常用的數形結合形式有數軸、坐標系和Venn圖． 2. 函數f(x)=x+1+xx?1的定義域是（ ） A. (?1,+∞) B. (?1,1)∪(1,+∞) C. [?1,+∞) D. [?1,1)∪(1,+∞) 【答案】D 【解析】 分析：根據偶次根式下被開方數非負以及分母不為零列方程組，解方程組得定義域. 詳解：因為x+1≥0x?1≠0，所以x≥?1x≠1 所以定義域為[-1,1)∪(1,+∞)， 選D. 點睛：求具體函數定義域，主要從以下方面列條件：偶次根式下被開方數非負，分母不為零，對數真數大于零，實際意義等. 3. 奇函數y=f(x)的局部圖像如圖所示，則（ ） A. f(2)>0>f(4) B. f(2)<0f(4)>0 D. f(2)0>f(-2)，所以-f4>0>-f(2),即f(2)>0>f(4)， 選A. 點睛：奇函數在其關于原點對稱的區(qū)間上單調性相同，偶函數在其關于原點對稱的區(qū)間上單調性相反． 4. 不等式1+1g|x|<0的解集是（ ） A. (?110,0)∪(0,110) B. (?110,110) C. (?10,0)∪(0,10) D. (?10,10) 【答案】A 【解析】 分析：根據對數函數單調性化簡不等式，再根據絕對值定義解不等式. 詳解：因為1+1g|x|<0，所以1gx<-1 所以0<|x|<110 因此x∈(-110,0)∪(0,110)， 選A. 點睛：解對數不等式，不僅要注意單調性，而且要注意真數大于零的限制條件. 5. 在數列{an}中， a1=-1,a2=0，an+2=an+1+an，則an等于（ ） A. 0 B. -1 C. -2 D. -3 【答案】C 【解析】 分析：由遞推關系依次得a3，a4，a5. 詳解：因為an+2=an+1+an，所以a3=a1+a2=?1,a4=a3+a2=?1,a5=a4+a3=?2, 選C. 點睛：數列遞推關系式也是數列一種表示方法，可以按順序求出所求的項. 6. 在如圖所示的平面直角坐標系中，向量AB的坐標是（ ） A. (2,2) B. (?2,?2) C. (1,1) D. (?1,?1) 【答案】D 【解析】 分析：先根據圖形得A,B坐標，再寫出向量AB. 詳解：因為A(2,2),B(1,1)，所以AB=(?1,?1). 選D. 點睛：向量坐標表示：AB=(xB?xA,yB?yA).向量平行：a//b?x1y2=x2y1，向量垂直：a?b=0?x1x2+y1y2=0，向量加減： ab=(x1x2,y1y2). 7. (x+1)2+(y?1)2=1的圓心在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 分析：先根據圓方程得圓心坐標，再根據坐標確定象限. 詳解：因為(x+1)2+(y-1)2=1的圓心為(-1,1)，所以圓心在第二象限, 選B. 點睛:圓的標準方程(x?a)2+(y?b)2=r2中圓心(a,b)和半徑；圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中圓心(?D2,?E2)和半徑12D2+E2?4F. 8. 已知a,b∈R，則“a>b”是“2a>2b”的（ ） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】C 【解析】 分析：根據指數函數單調性可得兩者關系. 詳解：因為為單調遞增函數，所以a>b2a>2b 因此“a>b”是“2a>2b”的充要條件， 選C. 點睛：充分、必要條件的三種判斷方法． 1．定義法：直接判斷“若p則q”、“若q則p”的真假．并注意和圖示相結合，例如“p?q”為真，則p是q的充分條件． 2．等價法：利用p?q與非q?非p，q?p與非p?非q，p?q與非q?非p的等價關系，對于條件或結論是否定式的命題，一般運用等價法． 3．集合法：若A?B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A＝B，則A是B的充要條件． 9. 關于直線l:x?3y+2=0，下列說法正確的是（ ） A. 直線的傾斜角為60° B. 向量v=(3,1)是直線的一個方向向量 C. 直線經過點(1,?3) D. 向量n=(1,3)是直線的一個法向量 【答案】B 【解析】 分析：先根據方程得斜率，再根據斜率得傾斜角以及方法向量. 詳解：因為直線l:x-3y+2=0，所以斜率k=33∴傾斜角為α=π6，一個方向向量為(1,33），因此(3,1)也是直線的一個方向向量， 選B. 點睛：直線Ax+By+C=0斜率k=?AB,傾斜角為tanα=?AB，一個方向向量為(B,?A）. 10. 景區(qū)中有一座山，山的南面有2條道路，山的北面有3條道路，均可用于游客上山或下山，假設沒有其他道路，某游客計劃從山的一面走到山頂后，接著從另一面下山，則不同走法的種數是（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 20 【答案】C 【解析】 分析：根據乘法原理得不同走法的種數. 詳解：先確定從那一面上，有兩種選擇，再選擇上山與下山道路，可得不同走法的種數是223=12. 因此選C. 點睛：求解排列、組合問題常用的解題方法： (1)元素相鄰的排列問題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法. 11. 在平面直角坐標系中，關于x,y的不等式Ax+By+AB>0 (AB≠0)表示的區(qū)域(陰影部分)可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析：根據A,B符號討論不等式Ax+By+AB>0 (AB≠0)表示的區(qū)域，再對照選擇. 詳解：當A>0,B>0時，所以不等式Ax+By+AB>0 (AB≠0)表示的區(qū)域直線Ax+By+AB=0上方部分且含坐標原點，即B；當A>0,B<0時，所以不等式Ax+By+AB>0 (AB≠0)表示的區(qū)域直線Ax+By+AB=0下方部分且不含坐標原點；當A<0,B>0時，所以不等式Ax+By+AB>0 (AB≠0)表示的區(qū)域直線Ax+By+AB=0上方部分且不含坐標原點；當A<0,B<0時，所以不等式Ax+By+AB>0 (AB≠0)表示的區(qū)域直線Ax+By+AB=0下方部分且含坐標原點；選B. 點睛：討論不等式Ax+By+C>0 (AB≠0)表示的區(qū)域，一般對B的正負進行討論. 12. 已知兩個非零向量與b的夾角為銳角，則（ ） A. a?b>0 B. a?b<0 C. a?b≥0 D. a?b≤0 【答案】A 【解析】 分析：根據向量數量積可得結果. 詳解：因為a?b=|a|?|b|cos，兩個非零向量與b的夾角為銳角，所以a?b>0, 選A. 點睛：求平面向量數量積有三種方法：一是夾角公式a?b=|a|?|b|cosθ；二是坐標公式a?b=x1x2+y1y2；三是利用數量積的幾何意義. 13. 若坐標原點(0,0)到直線x?y+sin2θ=0的距離等于22，則角的取值集合是（ ） A. {θ|θ=kππ4,k∈Z} B. {θ|θ=kππ2,k∈Z} C. {θ|θ=2kππ4,k∈Z} D. {θ|θ=2kππ2,k∈Z} 【答案】A 【解析】 分析：先根據點到直線距離公式得角關系式，再解三角方程得結果. 詳解：因為坐標原點(0,0)到直線x-y+sin2θ=0的距離為|sin2θ|2=22，所以sin2θ=1，所以2θ=π2+2kπ(k∈Z),或2θ=-π2+2kπ(k∈Z)，即θ=π4+kπ(k∈Z),或θ=-π4+kπ(k∈Z)，選A. 點睛：由 ωx+φ=π2+kπ(k∈Z)求最值，最大值對應自變量滿足ωx+φ=π2+2kπ(k∈Z)，最小值對應自變量滿足ωx+φ=3π2+2kπ(k∈Z). 14. 關于x,y的方程x2+ay2=a2(a≠0)，表示的圖形不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析：先化方程為標準方程形式，再根據標準方程幾何條件確定可能圖像. 詳解：因為x2+ay2=a2(a≠0)，所以x2a2+y2a=1 所以當a2>a>0時，表示A; 當a20>a時，表示C; 選D. 點睛：對于mx2+ny2=1，有當m=n>0時，為圓；當m>0,n>0,m≠n時，為橢圓；當mn<0時，為雙曲線. 15. 在(x?2y)5的展開式中，所有項的系數之和等于（ ） A. 32 B. -32 C. 1 D. -1 【答案】D 【解析】 分析：令x=y=1，則得所有項的系數之和. 詳解：令x=y=1，則得所有項的系數之和為(1?2)5=?1.， 選D. 點睛：“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)n(a,b∈R)的式子求其展開式的各項系數之和，常用賦值法， 只需令x=1即可；對形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展開式各項系數之和，只需令x=y=1即可. 16. 設命題p:5≥3，命題q:{1}?{0,1,2}，則下列命題中為真命題的是（ ） A. p∧q B. p∧q C. p∧q D. p∨q 【答案】A 【解析】 分析：先確定p,q真假，再根據或且非判斷復合命題真假. 詳解：因為命題p:5≥3為真，命題q:{1}?{0,1,2}為真，所以p∧q為真，p∧q、p∧q 、p∨q為假， 選A. 點睛：若要判斷一個含有邏輯聯結詞的命題的真假，需先判斷構成這個命題的每個簡單命題的真假，再依據“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判斷即可. 17. 已知拋物線x2=ay(a≠0)的焦點為F，準線為，該拋物線上的點M到x軸的距離為5，且|MF|=7，則焦點F到準線的距離是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 分析：根據條件以及拋物線定義得|a|，即可得焦點F到準線的距離. 詳解：因為|MF|=7，點M到x軸的距離為5，所以|a|4=7?5∴|a|=8, 因此焦點F到準線的距離是|a|2=4，， 選C. 點睛：1.凡涉及拋物線上的點到焦點距離時，一般運用定義轉化為到準線距離處理． 2．若P(x0,y0)為拋物線y2=2px(p>0)上一點，由定義易得|PF|=x0+p2；若過焦點的弦AB AB的端點坐標為A(x1,y1),B(x2,y2)，則弦長為|AB|=x1+x2+p,x1+x2可由根與系數的關系整體求出；若遇到其他標準方程，則焦半徑或焦點弦長公式可由數形結合的方法類似地得到． 18. 某停車場只有并排的8個停車位，恰好全部空閑，現有3輛汽車依次駛入，并且隨機停放在不同車位，則至少有2輛汽車停放在相鄰車位的概率是（ ） A. 514 B. 1528 C. 914 D. 67 【答案】C 【解析】 分析：先求三輛車皆不相鄰的概率，再根據對立事件概率關系求結果. 詳解：因為三輛車皆不相鄰的情況有C63，所以三輛車皆不相鄰的概率為C63C83=514, 因此至少有2輛汽車停放在相鄰車位的概率是1?514=914, 選C. 點睛：古典概型中基本事件數的探求方法 (1)列舉法. (2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法. (3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化. (4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數目較多的題目. 19. 己知矩形ABCD，AB=2BC，把這個矩形分別以AB、BC所在直線為軸旋轉一周，所成幾何體的側面積分別記為S1、S2，則S1與S2的比值等于（ ） A. 12 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 分析：根據圓柱側面積公式分別求S1、S2，再求比值得結果. 詳解：設BC=a,AB=2a，所以S1=2π(2a)?a,S2=2π(a)?2a,∴S1:S2=1， 選B. 點睛：旋轉體的表面積問題注意其側面展開圖的應用，多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理． 20. 若由函數y=sin(2x+π2)的圖像變換得到y=sin(x2+π3)的圖像，則可以通過以下兩個步驟完成:第一步，把y=sin(2x+π2)圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變:第二步，可以把所得圖像沿x軸（ ） A. 向右移π3個單位 B. 向右平移5π12個單位 C. 向左平移π3個單位 D. 同左平移5π12個單位 【答案】A 【解析】 分析：根據圖像平移“左正右負”以及平移量為|φ1-φ2||ω|確定結果. 詳解：因為π3?π212=?π3，所以所得圖像沿x軸向右平移π3個單位, 選A. 點睛：三角函數的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個變換總是對字母x而言. 卷二 二、填空題(本大題5個小題，每小題4分，共20分。請將答案填在答題卡相應題號的橫線上) 21. 已知函數f(x)=x2+1,x>0?5,x≤0，則f[f(0)]的值等于__________． 【答案】?5 【解析】 分析：根據自變量對應解析式代入求值,再根據求得函數值對應解析式代入求結果. 詳解：因為f0=-5，所以ff0=f-5=-5. 點睛：求分段函數的函數值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當出現f(f(a))的形式時，應從內到外依次求值. 22. 已知θ∈(?π2,0)，若cosθ=32，則sinθ等于__________． 【答案】?12 【解析】 分析：根據平方關系得sin2θ，再根據范圍取負值. 詳解：因為sin2θ+cos2θ=1，所以sin2θ=1-34=14 因為θ∈(-π2,0)，所以sinθ=-12 點睛：三角函數求值的三種類型 (1)給角求值：關鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函數. (2)給值求值：關鍵是找出已知式與待求式之間的聯系及函數的差異. ①一般可以適當變換已知式，求得另外函數式的值，以備應用； ②變換待求式，便于將已知式求得的函數值代入，從而達到解題的目的. (3)給值求角：實質是轉化為“給值求值”，先求角的某一函數值，再求角的范圍，確定角. 23. 如圖所示，已知正方體ABCD?A1B1C1D1， E,F分別是D1B,A1C上不重合的兩個動點，給山下列四個結論： ①CE∥D1F； ②平面AFD∥平面B1EC1； ③AB1⊥EF； ④平面AED⊥平面ABB1A1. 其中，正確結論的序號是__________． 【答案】③④ 【解析】 分析：取E,F特殊位置可否定①②，根據線面垂直關系可得③④正確. 詳解：當E=D1，F=A1時CE∥D1F與平面AFD∥平面B1EC1不成立，所以①②錯； 因為AB1⊥平面BCD1A1，EF在平面BCD1A1內，所以AB1⊥EF； 因為AD⊥平面ABB1A1，所以平面AED⊥平面ABB1A1.因此③④正確. 點睛：垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型. (1)證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行. (2)證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直. (3)證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直. 24. 已知橢圓C的中心在坐標原點，一個焦點的坐標是(0,3)，若點(4,0)在橢圓C上，則橢圓C的離心率等于__________． 【答案】35 【解析】 分析：根據橢圓幾何條件得b=4,c=3,解得a,以及離心率. 詳解：因為b=4,c=3，所以a=5,e=35. 點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于a,b,c的方程或不等式，再根據a,b,c的關系消掉b得到a,c的關系式，而建立關于a,b,c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等. 25. 在一批棉花中隨機抽測了500根棉花纖維的長度(精確到1mm)作為樣本，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，由圖可知，樣本中棉花紅維的長度大于225mm的頻數是__________． 【答案】235 【解析】 分析：根據頻率分布直方圖得長度大于225mm的頻率，再根據頻數等于總數與頻率的乘積得結果. 詳解：因為長度大于225mm的頻率為(0.0044+0.0050)50=0.47，所以長度大于225mm的頻數是0.47500=235. 點睛：頻率分布直方圖中小長方形面積等于對應區(qū)間的概率,所有小長方形面積之和為1; 頻率分布直方圖中組中值與對應區(qū)間概率乘積的和為平均數; 頻率分布直方圖中小長方形面積之比等于對應概率之比,也等于對應頻數之比. 三、解答題(本大題5個小題，共40分) 26. 已知函數f(x)=x2+(m?1)x+4，其中m為常數. (1)若函數f(x)在區(qū)間(?∞,0)上單調遞減，求實數m的取值范圍: (2)若?x∈R，都有f(x)>0，求實數m的取值范圍. 【答案】（1）{m|m≤1}（2）{m|?30恒成立， 所以Δ=(m-1)2-26<0 整理得m2-2m-15<0 解得-30)在區(qū)間A上單調遞減(單調遞增)，則A?(?∞,?b2a]（A?[?b2a,+∞)）即區(qū)間A一定在函數對稱軸的左側(右側)． 27. 己知在等比數列{an}中，a2=14,aS=132. (1)求數列{an}的通項公式； (2)若數列{bn}滿足bn=an+n，求{bn}的前n項和Sn. 【答案】（1）2-n（2）Sn=1-(12)n+n2+n22 【解析】 分析：(1)根據條件列關于首項與公比的方程組，解得首項與公比后代入等比數列通項公式即可，(2)利用分組求和法，根據等差數列以及等比數列求和公式即得結果. 詳解：(1)由等比數列的定義可知，公比q5-2=a5a2=18 解得q=12 由a2=a1q得a1=12 因此，所求等比數列的通項公式為an=a1qn-1=12(12)n-1 =(12)n=2-n (2)由上題可知，an=2-n 因為n是等差數列，所以設Cn=n {an}的前n項和公式San=12[1-(12)n]1-12=1-(12)n {cn}的前n項和公式Scn=(1+n)n2=n+n22 所以Sn=1-(12)n+n2+n22 點睛：本題采用分組轉化法求和，將原數列轉化為一個等差數列與一個等比數列的和. 分組轉化法求和的常見類型主要有分段型（如an=n,n為奇數2n,n為偶數 ），符號型（如an=(-1)nn2 ），周期型?。ㄈ鏰n=sinnπ3 ） 28. 如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是矩形，MA⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且AB=NB=1，AD=MA=2. (1)求證: NC||面MAD； (2)求棱錐M?NAD的體積. 【答案】（1）見解析（2）23. 【解析】 分析：(1) 取MA中點H，根據平幾知識得四邊形NCDH為矩形，即得NC∥HD，再根據線面平行判定定理得結論， (2)先證AD垂直平面ABNM，再根據等體積法以及錐體體積公式得結果. 詳解： (1) NC∥平面MAD，取MA中點H， 連接NH,DH ∵MA⊥平面ABCD，AM=2， 四邊形ANCD為矩形 NB⊥平面BCD，NB=1 ∴NB∥HA∥CD，NB=HA=CD ∴四邊形NCDH為平行四邊形 ∴NC∥HD,NC?MAD HD?平面MAD ∴NC∥平面MAD (2)以平面NAM為底，AD為高 SNAM=1221=1，AD=2 V=1312=23 點睛:空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略 (1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解． (2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉換法、分割法、補形法等方法進行求解． 29. 如下圖所示，在ΔABC中，BC=7,2AB=3AC，P在BC上，且∠BAP=∠PAC=30°.求線段AP的長. 【答案】AP=6215 【解析】 分析：先根據余弦定理得AC，AB,再根據余弦定理求角B,由角平分線性質定理得PB，最后根據余弦定理求AP. 詳解： 由余弦定理可知 cos∠BAC=cos60°= 9t2+4-4923t2t=12 ∴t=7,AB=37，AC=27 由余弦定理可知 cosB=63+49-282737 =277 sinB=217 sin[π-(∠B+∠BAP)] =sin(B+30°)=sin∠APB sin∠APB=sinB? cos30°+cosB?sin30° =217?32+277?12 =5714 由正弦定理可知 APsinB=ABsin∠APB 所以AP217=375714 因此AP=6215 點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據正、余弦定理結合已知條件靈活轉化邊和角之間的關系，從而達到解決問題的目的. 30. 雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別是F1,F2，拋物線y2=2px(p>0)的焦點與點F2重合，點M(2,26)是拋物線與雙曲線的一個交點，如圖所示. (1)求雙曲線及拋物線的標準方程； (2)設直線與雙曲線的過一、三象限的漸近線平行，且交拋物線于A,B兩點，交雙曲線于點C，若點C是線段AB的中點，求直線的方程. 【答案】（1）y2=12x，x2?y28=1（2）y=22x?2 【解析】 分析：(1)先根據M坐標求p,得焦點坐標，再將M坐標代入雙曲線方程，聯立方程組解得a,b，(2)先求漸近線方程，設直線方程，分別與拋物線方程、雙曲線方程聯立方程組，利用韋達定理以及中點坐標公式列方程，解得直線的方程. 詳解： (1) y2=2px代入M(2,26)得 26=2p?2 解得p=6 因為焦點為(3,0) 所以c=3，雙曲線的焦點在x軸上 將x2a2-y29-a2=1代入M(2,26) 所以a2=1或a2=36 (舍去) 所以c2=9,b2=8 所以她物線的標準方程為y2=12x 曲線的標準方程為x2-y28=1 (2)漸近線y=bax y=22x 設直線，y=22x+m y=22x+my2=12x 別消去得 將代入得 ，解得或，經驗證，不合題意，故舍去. 所以 點睛：直線和圓錐曲線的位置關系，一般轉化為直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組，利用韋達定理或求根公式進行轉化，涉及弦長的問題中，應熟練地利用根與系數關系，設而不求法計算弦長；涉及垂直關系時也往往利用根與系數關系、設而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解.涉及中點弦問題往往利用點差法.