《2018-2019高中數(shù)學(xué) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 習(xí)題課 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用學(xué)案 蘇教版選修1 -1.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019高中數(shù)學(xué) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 習(xí)題課 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用學(xué)案 蘇教版選修1 -1.docx（16頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

習(xí)題課　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.2.理解函數(shù)的極值、最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.3.掌握函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用. 知識點(diǎn)一　函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 定義在區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)y＝f(x) f′(x)的正負(fù) f(x)的單調(diào)性 f′(x)>0 單調(diào)遞增 f′(x)<0 單調(diào)遞減 知識點(diǎn)二　求函數(shù)y＝f(x)的極值的方法 解方程f′(x)＝0，當(dāng)f′(x0)＝0時(shí)， (1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是極大值. (2)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，那么f(x0)是極小值. 知識點(diǎn)三　函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上最大值與最小值的求法 1.求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值. 2.將函數(shù)y＝f(x)的極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值. 1.函數(shù)y＝xlnx在上是減函數(shù).(　√　) 2.若函數(shù)y＝ax－lnx在內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍為(2，＋∞).(　　) 3.設(shè)函數(shù)f(x)＝x(x－c)2在x＝2處有極大值，則c＝2.(　　) 4.函數(shù)f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值為.(　√　)  類型一　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性 例1　已知函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，其中g(shù)(x)的函數(shù)圖象在點(diǎn)(1，g(1))處的切線平行于x軸. (1)確定a與b的關(guān)系； (2)若a≥0，試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性. 考點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 解　(1)依題意得g(x)＝lnx＋ax2＋bx， 則g′(x)＝＋2ax＋b. 由函數(shù)g(x)的圖象在點(diǎn)(1，g(1))處的切線平行于x軸得g′(1)＝1＋2a＋b＝0， ∴b＝－2a－1. (2)由(1)得 g′(x)＝＝. ∵函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)， ∴當(dāng)a＝0時(shí)，g′(x)＝－. 由g′(x)＞0得0＜x＜1，由g′(x)＜0得x＞1，即函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減； 當(dāng)a＞0時(shí)，令g′(x)＝0得x＝1或x＝， 若＜1，即a＞，由g′(x)＞0得x＞1或0＜x＜， 由g′(x)＜0得＜x＜1， 即函數(shù)g(x)在，(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； 若＞1，即0＜a＜，由g′(x)＞0得x＞或0＜x＜1，由g′(x)＜0得1＜x＜， 即函數(shù)g(x)在(0,1)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； 若＝1，即a＝，在(0，＋∞)上恒有g(shù)′(x)≥0， 即函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增. 綜上可得，當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減； 當(dāng)00，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； ②當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減； ③當(dāng)00，故f(x)在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增. 綜上所述，當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； 當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減； 當(dāng)00. 要使g(x)＝0在[1,3]上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根， 則解得－20，得x<－4或x>4. ∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－4,4)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－4)和(4，＋∞)， ∴f(x)極大值＝f(－4)＝128，f(x)極小值＝f(4)＝－128. (3)由(2)知，函數(shù)在[1,4]上單調(diào)遞減，在[4,5]上單調(diào)遞增，則f(4)＝－128，f(1)＝－47，f(5)＝－115，∴函數(shù)的最大值為－47，最小值為－128. 1.已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)內(nèi)有最小值，則a的取值范圍為________. 考點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值 答案　(0,1) 解析　f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，顯然a>0，f′(x)＝3(x＋)(x－)，由已知條件0<<1，解得00，f(x)是增函數(shù)，當(dāng)x>2時(shí)，f′(x)<0，f(x)是減函數(shù)，所以x＝2是f(x)的極大值點(diǎn)，極大值為f(2)＝2ln2－2. 5.已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸相切于點(diǎn)(1,0)，則函數(shù)f(x)的極大值為________，極小值為________. 考點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 答案　　0 解析　∵f′(x)＝3x2－2px－q， ∴f′(1)＝3－2p－q＝0.① 又f(1)＝1－p－q＝0，② 由①②解得p＝2，q＝－1， ∴f(x)＝x3－2x2＋x，∴f′(x)＝3x2－4x＋1. 令3x2－4x＋1＝0，解得x1＝，x2＝1. 當(dāng)x<時(shí)，f′(x)>0； 當(dāng)1時(shí)，f′(x)>0， ∴當(dāng)x＝時(shí)，f(x)有極大值為；當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)有極小值為0. 6.若函數(shù)y＝a(x3－x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________. 考點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 答案　(0，＋∞) 解析　y′＝a(3x2－1)，令y′＝0，得x＝.由函數(shù)y＝a(x3－x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，得導(dǎo)函數(shù)y′＝a(3x2－1)的圖象是開口向上的拋物線，所以a>0. 7.若函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在區(qū)間(1,4)上為減函數(shù)，在區(qū)間(6，＋∞)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________. 考點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 答案　[5,7] 解析　函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝x2－ax＋a－1. 令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1. 當(dāng)a－1≤1，即a≤2時(shí)，函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，不合題意. 當(dāng)a－1>1，即a>2時(shí)，函數(shù)f(x)在(－∞，1)上為增函數(shù)，在(1，a－1)上為減函數(shù)，在(a－1，＋∞)上為增函數(shù). 依題意有當(dāng)x∈(1,4)時(shí)，f′(x)≤0， 當(dāng)x∈(6，＋∞)時(shí)，f′(x)≥0， 所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7， 所以a的取值范圍為[5,7]. 8.已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值，若m，n∈[－1,1]，則f(m)＋f′(n)的最小值是________. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 答案　－13 解析　由題意求導(dǎo)得f′(x)＝－3x2＋2ax， 由函數(shù)f(x)在x＝2處取得極值知f′(2)＝0， 即－34＋2a2＝0，∴a＝3. 由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x， 易知f(x)在(－1,0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增， ∴當(dāng)m∈[－1,1]時(shí)，f(m)min＝f(0)＝－4. 又∵f′(x)＝－3x2＋6x的圖象開口向下，且對稱軸為x＝1， ∴當(dāng)n∈[－1,1]時(shí)，f′(n)min＝f′(－1)＝－9. 故f(m)＋f′(n)的最小值為－13. 9.若函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的極大值為6，極小值為2，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是________. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 答案　(－1,1) 解析　令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝， 則f(x)，f′(x)隨x的變化情況如下表： x (－∞，－) － (－，) (，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 從而解得 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1,1). 10.設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若對于任意的x∈(0,1]都有f(x)≥0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 答案　[4，＋∞) 解析　∵x∈(0,1]，∴f(x)≥0可化為a≥－. 令g(x)＝－，則g′(x)＝， 令g′(x)＝0，得x＝. 當(dāng)00； 當(dāng)0)， 則f′(x)＝－－＋ ＝＝. 令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(舍去). 當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上為減函數(shù)；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù). 故f(x)在x＝1處取得極小值f(1)＝3. 12.已知函數(shù)f(x)＝ax＋lnx，其中a為常數(shù). (1)當(dāng)a＝－1時(shí)，求f(x)的最大值； (2)若f(x)在區(qū)間(0，e]上的最大值為－3，求a的值. 考點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值 題點(diǎn)　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值 解　(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝－x＋lnx， f′(x)＝－1＋＝， 當(dāng)00；當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)<0. ∴f(x)在(0,1)上是增函數(shù)，在(1，＋∞)上是減函數(shù). ∴f(x)max＝f(1)＝－1. (2)∵f′(x)＝a＋，當(dāng)x∈(0，e]時(shí)，∈， ①若a≥－，則f′(x)≥0，f(x)在(0，e]上是增函數(shù)， ∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0不合題意； ②若a<－，則由f′(x)>0， 即a＋>0，得0，且當(dāng)x∈[1,4a]時(shí)，|f′(x)|≤12a恒成立，試確定a的取值范圍. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 解　(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x3－3x2－9x＋1，且f′(x)＝3x2－6x－9， 由f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝3. 當(dāng)x<－1時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)－13時(shí)，f′(x)>0. 因此x＝3是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為f(3)＝－26. (2)f′(x)＝3x2－6ax－9a2的圖象是一條開口向上且對稱軸為直線x＝a的拋物線， 因此，若1，則|f′(a)|＝12a2>12a， 故當(dāng)x∈[1,4a]時(shí)，|f′(x)|≤12a不恒成立. 所以使|f′(x)|≤12a(x∈[1,4a])恒成立的a的取值范圍為. 三、探究與拓展 14.設(shè)f(x)＝x3＋x，x∈R，若當(dāng)0≤θ≤時(shí)，f(msinθ)＋f(1－m)>0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 答案　(－∞，1) 解析　因?yàn)閒(x)＝x3＋x，x∈R， 故f′(x)＝3x2＋1>0， 則f(x)在x∈R上為單調(diào)增函數(shù)， 又因?yàn)閒(－x)＝－f(x)，故f(x)也為奇函數(shù)， 由f(msinθ)＋f(1－m)>0， 即f(msinθ)>－f(1－m)＝f(m－1)， 得msinθ>m－1，即m(sinθ－1)>－1， 因?yàn)?≤θ≤， 故當(dāng)θ＝時(shí)，0>－1恒成立； 當(dāng)θ∈時(shí)，m<恒成立， 即m0)上的最小值； (2)若函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值； (3)若函數(shù)y＝f(x)＋g(x)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1，x2(x1ln 2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 解　(1)令f′(x)＝lnx＋1＝0得x＝， ①當(dāng)00)，則h′(x)＝＋1－＝＝(x＋2)(x－1)(x>0)， 易知h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以a＝h(x)min＝h(1)＝3. (3)由題意得，y＝f(x)＋g(x)＝xlnx－x2＋ax－2，則其導(dǎo)函數(shù)為y′＝lnx－2x＋1＋a， 由題意知y′＝lnx－2x＋1＋a＝0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1，x2， 等價(jià)于a＝－lnx＋2x－1有兩個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，且x10)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn). 由G′(x)＝－＋2(x>0)，得G(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 畫出函數(shù)G(x)圖象的大致形狀(如圖). 由圖象易知，當(dāng)a>G(x)min＝G＝ln2時(shí)，x1，x2存在，且x2－x1的值隨著a的增大而增大. 而當(dāng)x2－x1＝ln2時(shí)， 則有 兩式相減可得ln＝2(x2－x1)＝2ln2， 得x2＝4x1，代入上述方程組解得x1＝，x2＝ln2， 此時(shí)實(shí)數(shù)a＝ln2－ln－1， 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.