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雙曲線
一、選擇題（本大題共12小題，共60分）
1. 已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是( )
A. (-1,3) B. (-1,3) C. (0,3) D. (0,3)
（正確答案）A
解：∵雙曲線兩焦點間的距離為4，∴c=2，
當焦點在x軸上時，
可得：4=(m2+n)+(3m2-n)，解得：m2=1，
∵方程x2m2+n-y23m2-n=1表示雙曲線，
∴(m2+n)(3m2-n)>0，可得：(n+1)(3-n)>0，
解得：-1
0，從而可求n的取值范圍．
本題主要考查了雙曲線方程的應(yīng)用，考查了不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．
2. 若雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線被圓(x-2)2+y2=4所截得的弦長為2，則C的離心率為( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 233
（正確答案）A
解：雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線不妨設(shè)為：bx+ay=0，
圓(x-2)2+y2=4的圓心(2,0)，半徑為：2，
雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線被圓(x-2)2+y2=4所截得的弦長為2，
可得圓心到直線的距離為：22-12=3=|2b|a2+b2，
解得：4c2-4a2c2=3，可得e2=4，即e=2．
故選：A．
通過圓的圓心與雙曲線的漸近線的距離，列出關(guān)系式，然后求解雙曲線的離心率即可．
本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，圓的方程的應(yīng)用，考查計算能力．
3. 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=52x，且與橢圓x212+y23=1有公共焦點，則C的方程為( )
A. x28-y210=1 B. x24-y25=1 C. x25-y24=1 D. x24-y23=1
（正確答案）B
【分析】
本題考查橢圓與雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線方程的求法，考查計算能力．
根據(jù)橢圓x212+y23=1得c=3，根據(jù)漸近線方程為y=52x，ba=52，結(jié)合c2=a2+b2，求得a，b，即可得到C的方程。
【解答】
解：橢圓x212+y23=1的焦點坐標(3,0)，則雙曲線的焦點坐標為(3,0)，可得c=3，
雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=52x，
可得ba=52，即c2-a2a2=54，可得ca=32，解得a=2，b=5，
所求的雙曲線方程為：x24-y25=1．
故選B．
4. 已知雙曲線x2a2-y25=1的右焦點與拋物線y2=12x的焦點重合，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于( )
A. 5 B. 3 C. 5 D. 42
（正確答案）A
解：∵拋物線y2=12x的焦點坐標為(3,0)，
依題意，5+a2=9，
∴a2=4．
∴雙曲線的方程為：x24-y25=1，
∴其漸近線方程為：y=52x，
∴雙曲線的一個焦點F(3,0)到其漸近線的距離等于d=|53-0|5+4=5．
故選A．
由雙曲線x2a2-y25=1的右焦點與拋物線y2=12x的焦點重合，先求出a2，再求出雙曲線的焦點坐標和漸近線方程，由此能求出結(jié)果．
本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，求得a2的值是關(guān)鍵，考查點到直線間的距離公式，屬于中檔題．
5. 雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩頂點為A1，A2，虛軸兩端點為B1，B2，兩焦點為F1，F(xiàn)2，若以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2，則雙曲線的離心率是( )
A. 5-1 B. 3+52 C. 5+12 D. 3+1
（正確答案）C
解：由題意可得A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0,b)，B2(0,-b)，
F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)，
且a2+b2=c2，菱形F1B1F2B2的邊長為b2+c2，
由以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2，切點分別為A，B，C，D．
由面積相等，可得12?2b?2c=12a?4b2+c2，
即為b2c2=a2(b2+c2)，
即有c4+a4-3a2c2=0，
由e=ca，可得e4-3e2+1=0，
解得e2=352，
可得e=1+52，或e=5-12(舍去)．
故選：A．
由題意可得頂點和虛軸端點坐標及焦點坐標，求得菱形的邊長，運用等積法可得12?2b?2c=12a?4b2+c2，再由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計算即可得到所求值．
本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用圓內(nèi)切等積法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．
6. 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=34x，且其右焦點為(5,0)，則雙曲線C的方程為( )
A. x29-y216=1 B. x216-y29=1 C. x23-y24=1 D. x24-y23=1
（正確答案）B
解：雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=34x，
可得ba=34；其右焦點為(5,0)，可得c=5，又c2=a2+b2，
解得a=4，b=3，
則雙曲線C的方程為：x216-y29=1．
故選：B．
利用已知條件列出方程，求解即可．
本題考查雙曲線方程的求法，雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
7. 已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：x2a2-y2b2=1的左、右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1=13，則E的離心率為( )
A. 2 B. 32 C. 3 D. 2
（正確答案）A
解：設(shè)|MF1|=x，則|MF2|=2a+x，
∵MF1與x軸垂直，
∴(2a+x)2=x2+4c2，
∴x=b2a
∵sin∠MF2F1=13，
∴3x=2a+x，
∴x=a，
∴b2a=a，
∴a=b，
∴c=2a，
∴e=ca=2．
故選：A．
設(shè)|MF1|=x，則|MF2|=2a+x，利用勾股定理，求出x=b2a，利用sin∠MF2F1=13，求得x=a，可得b2a=a，求出a=b，即可得出結(jié)論．
本題考查雙曲線的定義與方程，考查雙曲線的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)．
8. 已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1=13，則E的離心率為( )
A. 2 B. 32 C. 3 D. 2
（正確答案）D
【分析】
根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合直角三角形的勾股定理建立方程關(guān)系進行求解即可.本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合直角三角形的勾股定理，結(jié)合雙曲線離心率的定義是解決本題的關(guān)鍵．
【解答】解：∵MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1=13，
∴設(shè)MF1=m，則MF2=3m，
由雙曲線的定義得3m-m=2a，即m=a，
在直角三角形MF2F1中，9m2-m2=4c2，即2m2=c2，
即2a2=c2，
則e=2，
故選D．
9. 設(shè)雙曲線y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的離心率是3，則其漸近線的方程為( )
A. x22y=0 B. 22xy=0 C. x8y=0 D. 8xy=0
（正確答案）A
解：雙曲線y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的離心率是3，
可得ca=3，則ab=122．
雙曲線y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的離心率是3，則其漸近線的方程為：x22y=0．
故選：A．
利用雙曲線的離心率，這求出a，b的關(guān)系式，然后求漸近線方程．
本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．
10. 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P是雙曲線C右支上一點，且|PF2|=|F1F2|.若直線PF1與圓x2+y2=a2相切，則雙曲線的離心率為( )
A. 43 B. 53 C. 2 D. 3
（正確答案）B
解：解：設(shè)PF1與圓相切于點M，
因為|PF2|=|F1F2|，所以△PF1F2為等腰三角形，N為PF1的中點，
所以|F1M|=14|PF1|，
又因為在直角△F1MO中，|F1M|2=|F1O|2-a2=c2-a2，所以|F1M|=b=14|PF1|①
又|PF1|=|PF2|+2a=2c+2a ②，
c2=a2+b2 ③
由①②③可得c2-a2=(c+a2)2，
即為4(c-a)=c+a，即3c=5a，
解得e=ca=53．
故選：B．
先設(shè)PF1與圓相切于點M，利用|PF2|=|F1F2|，及直線PF1與圓x2+y2=a2相切，可得幾何量之間的關(guān)系，從而可求雙曲線的離心率的值．
本題考查直線與圓相切，考查雙曲線的定義，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，注意運用平面幾何的性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．
11. 已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點，且其準線被該雙曲線截得的弦長是23b，則該雙曲線的離心率為( )
A. 139 B. 109 C. 133 D. 103
（正確答案）D
解：由題意可知：拋物線的焦點F(c,0)，準線x=-c，
將x=-c代入雙曲線方程，解得：y=b2a，
則準線被該雙曲線截得的弦長為2b2a，
∴2b2a=23b，a=3b，
雙曲線的離心率e=ca=1+b2a2=103，
則雙曲線的離心率e=103，
故選D．
由題意可知：拋物線的焦點F(c,0)，準線x=-c，將x=-c代入雙曲線方程，解得：y=b2a，即可求得2b2a=23b，a=3b，利用雙曲線的離心率公式，即可求得雙曲線的離心率．
本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，主要是離心率公式，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
12. 設(shè)雙曲線x2m+y2n=1的離心率為233，且一個焦點與拋物線x2=8y的焦點相同，則此雙曲線的方程是( )
A. y23-x2=1 B. x24-y212=1 C. y2-x23=1 D. x212-y24=1
（正確答案）A
解：根據(jù)題意，拋物線的方程為x2=8y，則其焦點為(0,2)，
又由雙曲線x2m+y2n=1的一個焦點與拋物線x2=8y的焦點相同，
則有m<0而n>0，且c=2；
雙曲線x2m+y2n=1的離心率為233，則有e=ca=2n=233，
解可得n=3，
又由c2=n+(-m)=4；
則m=-1；
故雙曲線的方程為：y23-x2=1；
故選：A．
根據(jù)題意，由拋物線的方程計算可得其焦點坐標，結(jié)合題意可得雙曲線x2m+y2n=1中有c=2，結(jié)合離心率公式可得e=ca=2n=233，解可得n的值，由雙曲線的幾何性質(zhì)計算可得m的值，將m、n的值代入雙曲線的方程即可得答案．
本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，注意分析雙曲線焦點的位置．
二、填空題（本大題共4小題，共20分）
13. 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點.若∠MAN=60°，則C的離心率為______ ．
（正確答案）233
解：雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點為A(a,0)，
以A為圓心，b為半徑做圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點．
若∠MAN=60°，可得A到漸近線bx+ay=0的距離為：bcos30°=32b，
可得：|ab|a2+b2=32b，即ac=32，可得離心率為：e=233．
故答案為：233．
利用已知條件，轉(zhuǎn)化求解A到漸近線的距離，推出a，c的關(guān)系，然后求解雙曲線的離心率即可．
本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，點到直線的距離公式以及圓的方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．
14. 雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線與圓(x-2)2+y2=1相切，則此雙曲線的離心率為______．
（正確答案）2
【分析】
本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線的漸近線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力.求出雙曲線的漸近線方程，利用漸近線與圓相切，得到a、b關(guān)系，然后求解雙曲線的離心率．
【解答】
解：由題意可知雙曲線的漸近線方程之一為：bx+ay=0，
圓(x-2)2+y2=1的圓心(2,0)，半徑為1，
雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線與圓(x-2)2+y2=1相切，
可得：2bb2+a2=1，
可得a2=b2，c=2a，
∴e=2．
故答案為2．
15. 雙曲線x2a2-y2b2=1的右焦點到漸近線的距離是其到左頂點距離的一半，則雙曲線的離心率e=______．
（正確答案）53
解：雙曲線x2a2-y2b2=1的右焦點為(c,0)，左頂點為(-a,0)，
右焦點到雙曲線漸近線bx-ay=0的距離為：|bc|a2+b2=bcc=b，
右焦點(c,0)到左頂點為(-a,0)的距離為：a+c，
由題意可得，b=12(a+c)，
即有4b2=a2+c2+2ac，即4(c2-a2)=a2+c2+2ac，
即3c2-5a2-2ac=0，
由e=ca，則有3e2-2e-5=0，
解得，e=53．
故答案為：53．
求出雙曲線的左頂點以及右焦點，以及漸近線方程，運用兩點的距離公式和點到直線的距離公式，列出a、b、c關(guān)系式，然后由離心率公式即可計算得到．
本題考查雙曲線的離心率的求法，點到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
16. 已知雙曲線x2m+2-y2m+1=1的離心率為72，則m=______．
（正確答案）2或-5
解：雙曲線x2m+2-y2m+1=1，
當焦點在x軸時，a2=m+2，b2=m+1，
可得c2=a2+b2=3+2m，
∵雙曲線x2m+2-y2m+1=1的離心率為72，
∴ca=72，
當焦點在y軸時，a2=-m-1，b2=-m-2，
可得c2=a2+b2=-3-2m，
∵雙曲線x2m+2-y2m+1=1的離心率為72，
∴ca=72，
可得-3-2m-1-m=74，即12+8m=7m+7，可得m=-5．
故答案為：2或-5．
直接利用雙曲線的方程，求出a，b，c利用離心率求解即可．
本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．
三、解答題（本大題共3小題，共30分）
17. 已知雙曲線C：x2-y2=1及直線l：y=kx+1．
(1)若l與C有兩個不同的交點，求實數(shù)k的取值范圍；
(2)若l與C交于A，B兩點，且AB中點橫坐標為2，求AB的長．
（正確答案）解：(1)雙曲線C與直線l有兩個不同的交點，
則方程組y=kx+1x2-y2=1有兩個不同的實數(shù)根，(1分)
整理得(1-k2)x2-2kx-2=0.(2分)
∴△=4k2+8(1-k2)>01-k2≠0，解得-20,b>0)，半焦距為c，
則c=2，2a=||PF1|-|PF2||=|92+122-52+122|=2，a=1，
所以b2=c2-a2=3，
故雙曲線C的方程為x2-y23=1.
雙曲線C的漸近線方程為y=3x.
(2)設(shè)直線l的方程為y=x+t，將其代入方程x2-y23=1，
可得2x2-2tx-t2-3=0(*)
△=4t2+8(t2+3)=12t2+24>0，若設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，
則x1，x2是方程(*)的兩個根，所以x1+x2=t,x1x2=-t2+32，
又由OA⊥OB，可知x1x2+y1y2=0，
即x1x2+(x1+t)(x2+t)=0，可得2x1x2+t(x1+x2)+t2=0，
故-(t2+3)+t2+t2=0，解得t=3，
所以直線l方程為y=x3.
(1)設(shè)出雙曲線C方程，利用已知條件求出c，a，解得b，即可求出雙曲線方程與漸近線的方程；
(2)設(shè)直線l的方程為y=x+t，將其代入方程x2-y23=1，通過△>0，求出t的范圍，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用韋達定理，通過x1x2+y1y2=0，求解t即可得到直線方程．
本題考查雙曲線的方程的求法，雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與雙曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查計算能力．
19. 雙曲線與橢圓x227+y236=1有相同焦點，且經(jīng)過點(15,4)，求其方程．
（正確答案）解：橢圓y236+x227=1的焦點為(0,3)，c=3，
設(shè)雙曲線方程為y2a2-x29-a2=1，
∵過點(15,4)，則16a2-159-a2=1，
得a2=4或36，而a2<9，∴a2=4，
雙曲線方程為y24-x25=1．
根據(jù)已知中雙曲線與橢圓x227+y236=1有相同焦點，我們可以設(shè)出雙曲線的標準方程(含參數(shù)a)，然后根據(jù)經(jīng)過點(15,4)，得到一個關(guān)于a的方程，解方程，即可得到a2的值，進而得到雙曲線的方程．
本題考查的知識點是雙曲線的標準方程，其中根據(jù)已知條件設(shè)出雙曲線的標準方程(含參數(shù)a)，并構(gòu)造一個關(guān)于a的方程，是解答本題的關(guān)鍵．
山東省齊河縣高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 專題 雙曲線練習(xí)（含解析）.doc
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