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第四章三角形 第三節(jié)等腰三角形與直角三角形 考點(diǎn)精講 等腰三角形與直角三角形 等腰三角形等邊三角形直角三角形等腰直角三角形 等腰三角形 性質(zhì)判定溫馨提示 等腰三角形的判定定理是證明兩條線段相等的重要定理 是將三角形中角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù) 一般情況下 在同一個(gè)三角形中 欲證邊相等 先證角相等 欲證角相等 先證邊相等 面積計(jì)算公式 S 其中a為底邊長(zhǎng) h為底邊上的高 性質(zhì) 1 兩腰 即AB AC2 兩個(gè) 相等 簡(jiǎn)寫成 等邊對(duì)等角 即 B C3 頂角的平分線 底邊上的中線 底邊上的高 簡(jiǎn)稱 三線合一 4 是軸對(duì)稱圖形 有 條對(duì)稱軸 相互重合 相等 底角 1 判定 1 有 的三角形是等腰三角形 定義 2 有兩角相等的三角形是等腰三角形 兩邊相等 等邊三角形 性質(zhì)判定面積計(jì)算公式 S a2 a為三角形任意一邊的長(zhǎng) h為三角形任意一邊的高 性質(zhì) 1 三條邊 即AB AC BC2 三個(gè)內(nèi)角相等 且每個(gè)角都等于 即 BAC B C 60 3 是軸對(duì)稱圖形 有 條對(duì)稱軸4 三線合一 相等 60 3 判定 1 三邊都相等的三角形是等邊三角形 定義 2 三角都相等的三角形是等邊三角形3 有一個(gè)角是 的等腰三角形是等邊三角形 60 直角三角形 性質(zhì)判定面積計(jì)算公式 S ch 其中a b為兩個(gè)直角邊 c為斜邊 h為斜邊上的高 性質(zhì) 1 兩銳角之和等于 即 A B 90 2 斜邊上的中線等于 即CD是斜邊AB上的中線 CD 3 30 角所對(duì)的直角邊等于斜邊的 即 A 30 BC AB4 勾股定理 直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 a2 b2 c25 在直角三角形中 如果一條直角邊等于斜邊的一半 那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30 即BC AB A 90 斜邊的一半 一半 30 判定 1 有一個(gè)角為90 的三角形是直角三角形 定義 2 勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為a b c且滿足 那么這個(gè)三角形是直角三角形3 有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形 a2 b2 c2 等腰直角三角形 性質(zhì)判定面積計(jì)算公式 S ch 其中a為直角邊 c為斜邊 h為斜邊上的高 性質(zhì) 1 兩直角邊相等 即AC BC2 兩銳角相等且都等于45 3 是軸對(duì)稱圖形 有1條對(duì)稱軸 即CD所在的直線4 三線合一 溫馨提示 AC BC 由勾股定理可得AB2 2AC2 2BC2 即AB AC BC 判定 1 頂角為90 的等腰三角形是等腰直角三角形2 有兩個(gè)角為45 的三角形是等腰直角三角形3 有一個(gè)角為45 的直角三角形是等腰直角三角形4 兩直角邊相等的直角三角形是等腰直角三角形 重難點(diǎn)突破 一 等腰三角形性質(zhì)的相關(guān)計(jì)算 例1如圖 在 ABC中 AB AC 點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線上 EP BC于點(diǎn)P 交AB于點(diǎn)F 若AF 2 BF 3 則CE的長(zhǎng)度為 例1題圖 思維教練 要求CE的長(zhǎng)度 觀察圖形 CE AC AE 在 ABC中 AB AC AB BF AF BF AF已知 求得AC的長(zhǎng) 現(xiàn)在只要求出AE即可 根據(jù)等邊對(duì)等角得出 B C 再根據(jù)EP BC 得出 C E 90 B BFP 90 從而得出 E BFP 再根據(jù)對(duì)頂角相等得出 E AFE 即AE AF CE即可求解 例1題圖 解析 在 ABC中 AB AC B C EP BC C E 90 B BFP 90 E BFP 又 BFP AFE E AFE AF AE AEF是等腰三角形 又 AF 2 BF 3 CA AB 5 AE 2 CE 7 答案 7 例1題圖 涉及等腰三角形的邊 角問(wèn)題時(shí) 一般根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解 有時(shí)也需分情況討論 1 對(duì)于和邊長(zhǎng)有關(guān)的計(jì)算要分這條邊是底邊還是腰 同時(shí)在確定了底邊和腰后 再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷能否構(gòu)成三角形 2 對(duì)于解決與角度有關(guān)的計(jì)算時(shí) 如果所給角度是直角或鈍角 則這個(gè)角一定是等腰三角形的頂角 如果所給角度是銳角 則要分所給角是底角還是頂角兩種情況 再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理來(lái)求角度 拓展1 等腰三角形有一個(gè)角是40 則它的底角為 A 60 B 40 C 40 或70 D 70 解析 當(dāng)40 的角為等腰三角形的頂角時(shí) 底角 70 當(dāng)40 的角為等腰三角形的底角時(shí) 其底角為40 故它的底角的度數(shù)是70 或40 二 直角三角形性質(zhì)的相關(guān)計(jì)算 例2如圖 在Rt ABC中 ACB 90 B 30 CD是斜邊AB上的高 AD 3cm 則AB的長(zhǎng)度是 A 3cmB 6cmC 9cmD 12cm 例2題圖 思維教練 要求AB的長(zhǎng)度 由題意可知AB可轉(zhuǎn)化為2AC ACB B已知 易求出 ACD 30 然后根據(jù)30 所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求得AC的長(zhǎng) AB即可求解 解析 在Rt ABC中 CD是斜邊AB上的高 ADC 90 ACD B 30 AD 3cm 在Rt ACD中 AC 2AD 6cm 在Rt ABC中 AB 2AC 12cm 答案 D 例2題圖 解決直角三角形的相關(guān)計(jì)算時(shí) 常從以下幾方面考慮 1 當(dāng)直角三角形中出現(xiàn)30 角時(shí)應(yīng)聯(lián)想到30 角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半 2 當(dāng)出現(xiàn)斜邊上的中線時(shí)要想到直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半 3 作輔助線構(gòu)造直角三角形 利用勾股定理或三角函數(shù)值求線段或角度 4 利用全等三角形或相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)換求相應(yīng)的量 拓展2 2016廣州 如圖 在Rt ABC中 AB 10 AC 8 BC 6 DE是AC的垂直平分線 DE交AB于點(diǎn)D 連接CD 則CD A 3B 4C 4 8D 5 拓展2題圖 解析 AB 10 BC 6 AC 8 AB2 AC2 BC2 ACB 90 DE垂直平分AC AED 90 AE CE 4 DE BC DE是 ABC的中位線 DE BC 3 在Rt CED中 CD 5 答案 D 拓展2題圖 拓展3 如圖 在Rt ABC中 ACB 90 AC BC BD平分 ABC交AC于點(diǎn)D 過(guò)點(diǎn)D作DE AB于點(diǎn)E 若BC的長(zhǎng)為5cm 則 ADE的周長(zhǎng)為 拓展3題圖 解析 BD平分 ABC DE AB DBE DBC BED C 90 又 BD BD BDE BDC DE DC BE BC ADE的周長(zhǎng)為 DE DA AE DC DA AE AC AE BC AE BE AE AB AB cm ADE的周長(zhǎng)為cm 答案 拓展3題圖