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專題10等腰三角形探究 等腰 邊 三角形是最常見的特殊三角形 在各類測試卷中 常常以它為載體 與其他知識結(jié)合編制成綜合性較強的問題 是中考中必考的一個熱點問題 往往在綜合題中出現(xiàn) 涉及函數(shù) 方程與幾何的綜合運用 形式廣泛 在中考命題中常考常新 一是將它與圖形的軸對稱 旋轉(zhuǎn)等變換結(jié)合探究數(shù)形結(jié)合與分類討論的問題 二是將它與反比例函數(shù) 二次函數(shù)等函數(shù)結(jié)合探究函數(shù) 方程思想的應用問題 三是將它與運動問題結(jié)合 涉及三角形全等 三角形相似 特殊四邊形等知識 探究等腰三角形的存在性問題 等腰三角形存在性問題的重點和難點在于應用分類思想和數(shù)形結(jié)合的思想準確地進行分類 3 在 ABC中 ABC 30 BAC 70 在 ABC所在平面內(nèi)畫一條直線 將 ABC分割成兩個三角形 使其中的一個是等腰三角形 則這樣的直線最多可畫 A 7條B 8條C 9條D 10條 C 4 在 ABC中 C是最小內(nèi)角 若過頂點B的一條直線把這個三角形分成兩個三角形 其中一個為等腰三角形 另一個為直角三角形 則稱這條直線為 ABC的關于點B的伴侶分割線 例如 如圖1 ABC中 A 90 C 20 若過頂點B的一條直線BD交AC于點D 且 DBC 20 則直線BD是 ABC的關于點B的伴侶分割線 1 如圖2 ABC中 C 20 ABC 110 請在圖中畫出 ABC關于點B的伴侶分割線 并注明角度 2 ABC中 設 B的度數(shù)為y 最小內(nèi)角 C的度數(shù)為x 試探索y與x應滿足什么要求時 ABC存在關于點B的伴侶分割線 由于等腰三角形邊或角的不確定性 在沒有明確哪兩條邊是腰 哪兩個角是底角時 就需要分類 一般分類時可以按邊分類 5 如圖 正方形ABCD的邊長是16 點E在邊AB上 AE 3 點F是邊BC上不與點B C重合的一個動點 把 EBF沿EF折疊 點B落在B 處 若 CDB 恰為等腰三角形 求DB 的長 解析 若 CDB 恰為等腰三角形 判斷以CD為腰或為底邊分為三種情況 DB DC CB CD CB DB 針對每一種情況利用正方形和折疊的性質(zhì)進行分析求解 解 若 CDB 恰為等腰三角形需分三種情況討論 1 若DB DC時 則DB 16 易知點F在BC上且不與點C B重合 2 當CB CD時 EB EB CB CB 點E C在BB 的垂直平分線上 EC垂直平分BB 由折疊可知點F與點C重合 不符合題意 舍去 1 求AE和BE的長 2 如圖 將 ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一個角 0 180 記旋轉(zhuǎn)中的 ABE為 A BE 在旋轉(zhuǎn)過程中 設A E 所在的直線與直線AD交于點P 與直線BD交于點Q 是否存在這樣的P Q兩點 使 DPQ為等腰三角形 若存在 求出此時DQ的長 若不存在 請說明理由 畫出各種變化中的圖形 以邊或角進行分類 探究等腰三角形存在的可能 7 2017 預測 如圖 拋物線y ax2 bx過A 4 0 B 1 3 兩點 點C B關于拋物線的對稱軸對稱 過點B作直線BH x軸 交x軸于點H 1 求拋物線的表達式 2 若點M在直線BH上運動 點N在x軸上運動 當以點C M N為頂點的三角形為等腰直角三角形時 請直接寫出此時 CMN的面積 解析 第 2 題分別以點C M N為直角頂點分三類進行討論 利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的長 利用面積公式進行計算 用代數(shù)法探求等腰三角形分三步 先分類 按腰相等分三種情況 再根據(jù)兩點間的距離公式列方程 然后解方程并檢驗 9 如圖 在邊長為4的正方形ABCD中 請畫出以A為一個頂點 另外兩個頂點在正方形ABCD的邊上 且含邊長為3的所有大小不同的等腰三角形 要求 只要畫出示意圖 并在所畫等腰三角形長為3的邊上標注數(shù)字3 解析 利用等腰三角形的性質(zhì) 分別以長度為3的邊為等腰三角形的底邊和腰長進行分類 解 滿足條件的所有等腰三角形如下圖所示 10 在等腰Rt ABC中 C 90 AC 1 過點C作直線l AB F是l上的一點 且AB AF 求點F到直線BC的距離 轉(zhuǎn)化為圖形 通過畫圖 找出存在等腰三角形的所有可能情況 11 2017 預測 如圖 已知拋物線y ax2 bx c a 0 經(jīng)過A 1 0 B 3 0 C 0 3 三點 直線l是拋物線的對稱軸 1 求拋物線的函數(shù)關系式 2 點M是直線l上的動點 且 MAC為等腰三角形 求出所有符合條件的點M的坐標 解析 由于 MAC的腰和底沒有明確 因此要分三種情況來討論 MA AC MA MC AC MC 可先設出M點的坐標 然后用M點縱坐標表示 MAC的三邊長 再按上面的三種情況列式求解 12 2017 預測 如圖1 拋物線y ax2 6x c與x軸交于點A 5 0 B 1 0 與y軸交于點C 0 5 點P是拋物線上的動點 連結(jié)PA PC PC與x軸交于點D 1 求該拋物線所對應的函數(shù)解析式 2 過點P作y軸的平行線交x軸于點H 交直線AC于點E 如圖2 APE能否為等腰三角形 若能 請求出此時點P的坐標 若不能 請說明理由 解 1 設拋物線解析式為y a x 5 x 1 把C 0 5 代入得a 5 1 5 解得a 1 所以拋物線解析式為y x 5 x 1 即y x2 6x 5 1 確定定點 動點 運動方向 即弄清楚三角形中 哪些點是動點 哪些點是定點 動點在哪條線上運動 運動方向是怎樣的 2 畫出動態(tài)三角形形成等腰三角形的截圖 動 中取 靜 按照運動時間先后的順序 往往存在三種情況 3 在函數(shù)與數(shù)形結(jié)合的基礎上 利用勾股定理 銳角三角函數(shù)與相似關系建立方程 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)表示出有關線段的長度 點的坐標等 通常轉(zhuǎn)化為方程解決