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2017-2018學年度下學期高二期末考試 數學試題（文科） 本試卷共23題，時間：120分鐘，共150分，共4頁 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1. 設，則（ ） A． B． C．0 D．1 2. 已知集合，，則 （ ） A． B． C． D． 3. 如果甲去旅游，那么乙、丙和丁將一起去．據此，下列結論正確的是（ ） A．如果甲沒去旅游，那么乙、丙、丁三人中至少有一人沒去． B．如果乙、丙、丁都去旅游，那么甲也去． C．如果丙沒去旅游，那么甲和丁不會都去． D．如果丁沒去旅游，那么乙和丙不會都去． 4. 若拋物線的準線與圓相切，則 （ ） A． B．1 C．2 D．4 5.若，則 （ ） A． B． C． D． 6. 我國古代數學名著《九章算術》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”根據上述已知條件，該女子第3天所織布的尺數為（ ） A． B． C． D． 7. 鈍角三角形的面積是， ，則 ( ) A．5 B． C．2 D．1 8. 雙曲線：的漸近線方程為，則的離心率為（ ） A． B． C． D． 9. 某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如右圖．圓柱表面上的點在主視圖上的對應點為，圓柱表面上的點在左視圖上的對應點為，則在此圓柱側面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為( ) A． B． C． D．2 10.某數列滿足：第1項是0，第2項是1， 從第三項開始， 每一項都等于前兩項之和．某同學設計了一個求這個數列的前 10項和的程序框圖，那么在空白矩形框和判斷框內應分別填入 的語句是（ ） A．， B．， C．， D．， 11. 在正方體中，為棱的中點， 則異面直線與所成角的余弦值為（ ） A． B． C． D． 12. 函數在區(qū)間上單調遞增，則的最大值是（ ） A． B． C． D． 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13. 已知向量，的夾角是，若，，則 14. 若滿足約束條件，設的最大值為，最小值為，則________. 15. 曲線在點處的切線的斜率為，則________． 16. 已知，則滿足的的取值范圍為______． 三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。 （一）必考題：共60分。 17．（12分）設等差數列滿足，。 （1）求的通項公式； （2）求的前項和及使得最大的序號的值。 18．（12分）從甲、乙兩品種的棉花中各抽測了25根棉花的纖維長度（單位：mm）， 結果如下： 甲品種：271　273　280　285　285 287　292　294　295　301　303　303　307 308　310　314　319　323　325　325 328　331　334　337　352 乙品種：284　292　295　304　306　307　312　313　315　315　316　318　318 320　322　322　324　327　329　331　333　336　337　343　356 （1）根據以上數據，完成兩品種的棉花的纖維長度的莖葉圖. (2) 根據以上莖葉圖，對甲、乙兩品種棉花的纖維長度作比較，寫出兩個統(tǒng)計結論： ①　　　　　　　　　　　　　　　______________________________________ 　　　　　　　　　　　　　　　______________________________________ 　　　　　　　　　　　　　　　______________________________________ ②　　　　　　　　　　　　　　　______________________________________ 　　　　　　　　　　　　　　　______________________________________ 　　　　　　　　　　　　　　　______________________________________ 19．（12分）如圖，四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，，， 底面ABCD． （1）證明：； （2）設PD=AD=1，求棱錐D-PBC的高． 20．（12分）已知點分別為橢圓：的左右頂點，為上異于的一點，直線的斜率分別是． （1）求證：； （2）設為上的兩點，是坐標原點，若，， 求證：△面積是定值． 21．（12分）已知函數． （1）設，求函數的極值； （2）若，且當時，恒成立，試確定的取值范圍． （二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。 22．[選修4-4：坐標系與參數方程] （10分） 在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）． （1）以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求的極坐標方程； （2）設為上任意兩點，且，求的最大值． 23．[選修4-5：不等式選講] （10分） 設． （1）當時，解不等式； （2）若恒成立，求實數的取值范圍． 2017-2018學年度下學期高二期末考試 數學（文科）參考答案 BDCCB ABCBD AC 13. 14. 6 15. 16. 17. 解：（1）由得 可解得數列的通項公式為…………（6分） （2）由（1）知 因為 所以當n=5時，取得最大值. …………（12分） 18. 解：（1） …………（4分） （2）①乙品種棉花的纖維平均長度大于甲品種棉花的纖維平均長度（或：乙品種棉花的纖維長度普遍大于甲品種棉花的纖維長度）． ②甲品種棉花的纖維長度較乙品種棉花的纖維長度更分散．（或：乙品種棉花的纖維長度較甲品種棉花的纖維長度更集中（穩(wěn)定）．甲品種棉花的纖維長度的分散程度比乙品種棉花的纖維長度的分散程度更大）． ③甲品種棉花的纖維長度的中位數為307mm，乙品種棉花的纖維長度的中位數為318mm． ④乙品種棉花的纖維長度基本上是對稱的，而且大多集中在中間（均值附近）．甲品種棉花的纖維長度除一個特殊值（352）外，也大致對稱，其分布較均勻． …………（12分）（以上答出其中任何兩條即可） 19. 解：（1）因為， 由余弦定理得, 從而BD2+AD2= AB2，故BDAD 又PD底面ABCD，可得BDPD 所以BD平面PAD. 故 PABD…………（6分） （2）如圖，作DEPB，垂足為E.已知PD底面ABCD，則PDBC.由（1）知BDAD，又BC//AD，所以BCBD. 故BC平面PBD，BCDE.則DE平面PBC. 由題設知，PD=1，則BD=，PB=2， 根據DEPB=PDBD，得DE=，即棱錐D—PBC的高為…………（12分） 20. 證明：（1）設，則．因為，所以 所以．…………（4分） （2）當不垂直于軸時，設，． 由，，則， ，． 因為，，所以，即，因為，，所以，． 到距離，所以△面積．……（10分） 當垂直于軸時，，則由，得 ，即，代入橢圓方程解得， 所以△面積 綜上所述，△的面積為定值1 . 21. 解：（1）當時，，…………（1分） 令，列表討論的變化情況： -1 （-1，3） 3 + 0 - 0 + 極大值6 極小值-26 ∴的極大值是； ………（4分） （2）， 的圖像是開口向上拋物線，關于對稱， 由，得， 當時，在最大值是， 在時不能成立， 即當不恒成立， …………（6分） 當時，則上是增函數，從而上的 最小值是，最大值是， ……（8分） ∴，解得， ………（10分） 因此使恒成立的的取值范圍是……（12分） 22. 解：（1）曲線的普通方程是，代入，化簡得的極坐標方程是． …………（5分） （2）不妨設射線：，射線：，則，．所以 ． 當，即，時，取最大值． …………（10分） 23. 解：（1）f(x)＝|x|＋2|x－1|＝ …（2分） 當x＜0時，由2－3x≤4，得－≤x＜0； 當0≤x≤1時，1≤2－x≤2； 當x＞1時，由3x－2≤4，得1＜x≤2． 綜上，不等式f(x)≤4的解集為[－，2]． …（5分） （2）f(x)＝|x|＋2|x－a|＝ …（7分） 可見，f(x)在(－∞，a]單調遞減，在(a，＋∞)單調遞增． 當x＝a時，f(x)取最小值a．所以，a取值范圍為[4，＋∞)． …（10分）