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課時(shí)分層作業(yè)(十七) 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用 (建議用時(shí)：40分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．設(shè)有一個(gè)回歸方程為＝2－2.5x，則變量x增加一個(gè)單位時(shí)，(　　) A．y平均增加2.5個(gè)單位 B．y平均增加2個(gè)單位 C．y平均減少2.5個(gè)單位 D．y平均減少2個(gè)單位 C　[由回歸方程知x增加一個(gè)單位，y平均減少2.5個(gè)單位．] 2．對(duì)變量x，y進(jìn)行回歸分析時(shí)，依據(jù)得到的4個(gè)不同的回歸模型畫(huà)出殘差圖，則下列模型擬合精度最高的是(　　) A　[用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明這樣的模型比較合適．帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高．] 3．為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機(jī)抽取5對(duì)父子的身高數(shù)據(jù)如表所示： 父親身高x(cm) 174 176 176 176 178 兒子身高y(cm) 175 175 176 177 177 則y對(duì)x的線性回歸方程為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032238】 A.＝x－1　　　　　　 B.＝x＋1 C.＝88＋x D.＝176 C　[設(shè)y對(duì)x的線性回歸方程為＝x＋， ＝176，＝176，檢驗(yàn)得y＝88＋過(guò)點(diǎn)(，)．] 4．變量X與Y相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；變量U與V相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，r2表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，則(　　) A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1 C．r2＜0＜r1 D．r2＝r1 C　[畫(huà)散點(diǎn)圖，由散點(diǎn)圖可知X與Y是正相關(guān)，則相關(guān)系數(shù)r1＞0，U與V是負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)r2＜0，故選C.] 5．關(guān)于殘差圖的描述錯(cuò)誤的是(　　) A．殘差圖的橫坐標(biāo)可以是樣本編號(hào) B．殘差圖的橫坐標(biāo)也可以是解釋變量或預(yù)報(bào)變量 C．殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄相關(guān)指數(shù)越小 D．殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄殘差平方和越小 C　[殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越寬，說(shuō)明模型擬合精度越高，則殘差平方和越小，此時(shí)，相關(guān)指數(shù)R2的值越大，故描述錯(cuò)誤的是選項(xiàng)C.] 二、填空題 6．如圖311四個(gè)散點(diǎn)圖中，適合用線性回歸模型擬合的兩個(gè)變量的是________(填序號(hào))． 圖311 ①③　[由題圖易知，①③兩個(gè)圖中的樣本點(diǎn)在一條直線附近，因此適合用線性回歸模型擬合．] 7．某車(chē)間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)，由最小二乘法求得回歸方程＝0.67x＋54.9. 零件數(shù)x(個(gè)) 10 20 30 40 50 加工時(shí)間Y(min) 62 75 81 89 現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊看不清，請(qǐng)你推斷出該數(shù)據(jù)的值為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032239】 68　[由表知＝30，設(shè)模糊不清的數(shù)據(jù)為m，則＝(62＋m＋75＋81＋89)＝，因?yàn)椋?.67＋54.9， 即＝0.6730＋54.9， 解得m＝68.] 8．若一個(gè)樣本的總偏差平方和為80，殘差平方和為60，則相關(guān)指數(shù)R2為_(kāi)_______． 0.25　[回歸平方和＝總偏差平方和－殘差平方和＝80－60＝20，故R2＝＝0.25或R2＝1－＝0.25.] 三、解答題 9．某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷(xiāo)，得到如下數(shù)據(jù)： 單價(jià)x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 銷(xiāo)量y(件) 90 84 83 80 75 68 (1)求回歸直線方程＝x＋，其中＝－20，＝－； (2)預(yù)計(jì)在今后的銷(xiāo)售中，銷(xiāo)量與單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤(rùn)，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元？(利潤(rùn)＝銷(xiāo)售收入－成本) [解]　(1)由于＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5， ＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80. 所以＝－＝80＋208.5＝250，從而回歸直線方程為＝－20x＋250. (2)設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)元，依題意得 L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250) ＝－20x2＋330x－1 000 ＝－20＋361.25. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝8.25時(shí)，L取得最大值． 故當(dāng)單價(jià)定為8.25元時(shí)，工廠可獲得最大利潤(rùn)． 10．在一段時(shí)間內(nèi)，某淘寶網(wǎng)店一種商品的銷(xiāo)售價(jià)格x元和日銷(xiāo)售量y件之間的一組數(shù)據(jù)為： 價(jià)格x元 22 20 18 16 14 日銷(xiāo)售量y件 37 41 43 50 56 求出y關(guān)于x的回歸方程，并說(shuō)明該方程擬合效果的好壞． 參考數(shù)據(jù)：iyi＝3 992，＝1 660. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032240】 [解]　作出散點(diǎn)圖(此處略)，觀察散點(diǎn)圖，可知這些點(diǎn)散布在一條直線的附近，故可用線性回歸模型來(lái)擬合數(shù)據(jù)． 因?yàn)椋剑?8， ＝＝45.4. 所以＝＝－2.35， ＝45.4－(－2.35)18＝87.7. 所以回歸方程為＝－2.35x＋87.7. yi－i與yi－的值如下表： yi－i 1 0.3 －2.4 －0.1 1.2 yi－ －8.4 －4.4 －2.4 4.6 10.6 計(jì)算得(yi－i)2＝8.3， (yi－)2＝229.2， 所以R2＝1－≈0.964. 因?yàn)?.964很接近于1，所以該模型的擬合效果比較好． [能力提升練] 一、選擇題 1．如圖312,5個(gè)(x，y)數(shù)據(jù)，去掉D(3,10)后，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　) 圖3-1-2 A．相關(guān)系數(shù)r變大 B．殘差平方和變大 C．相關(guān)指數(shù)R2變大 D．解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng) B　[由散點(diǎn)圖知，去掉D后，x與y的相關(guān)性變強(qiáng)，且為正相關(guān)，所以r變大，R2變大，殘差平方和變?。甝 2．已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表： x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為＝x＋，若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y′＝b′x＋a′，則以下結(jié)論正確的是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032241】 A.＞b′，＞a′　　　　 B.＞b′，＜a′ C.＜b′，＞a′ D.＜b′，＜a′ C　[過(guò)(1,0)和(2,2)的直線方程為y′＝2x－2， 畫(huà)出六點(diǎn)的散點(diǎn)圖，回歸直線的大概位置如圖所示， 顯然，b′＞，＞a′，故選C.] 二、填空題 3．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對(duì)A，B兩變量的線性相關(guān)性進(jìn)行分析，并用回歸分析的方法分別求得相關(guān)指數(shù)R2與殘差平方和Q(，)如下表： 甲 乙 丙 丁 R2 0.67 0.61 0.48 0.72 Q(，) 106 115 124 103 則能體現(xiàn)A，B兩個(gè)變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性的為_(kāi)_______． 丁　[丁同學(xué)所求得的相關(guān)指數(shù)R2最大，殘差平方和Q(，)最?。藭r(shí)A，B兩變量線性相關(guān)性更強(qiáng)．] 4．某品牌服裝專(zhuān)賣(mài)店為了解保暖襯衣的銷(xiāo)售量y(件)與平均氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了連續(xù)四旬的銷(xiāo)售量與當(dāng)旬平均氣溫，其數(shù)據(jù)如表： 時(shí)間 二月上旬 二月中旬 二月下旬 三月上旬 旬平均 氣溫x(℃) 3 8 12 17 旬銷(xiāo)售 量y(件) 55 m 33 24 由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程＝x＋中的＝－2，樣本中心點(diǎn)為(10,38)． (1)表中數(shù)據(jù)m＝__________. (2)氣象部門(mén)預(yù)測(cè)三月中旬的平均氣溫約為22 ℃，據(jù)此估計(jì)，該品牌的保暖襯衣在三月中旬的銷(xiāo)售量約為_(kāi)_________件. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032242】 (1)40　(2)14　[(1)由＝38，得m＝40. (2)由＝－ ，得＝58， 故＝－2x＋58， 當(dāng)x＝22時(shí)，＝14， 故三月中旬的銷(xiāo)售量約為14件．] 三、解答題 5．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對(duì)年銷(xiāo)售量y(單位：t)和年利潤(rùn)z(單位：千元)的影響．對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷(xiāo)售量yi(i＝1,2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值． 圖313 (xi－)2 (wi－)2 (xi－)(yi－) (wi－)(yi－) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中wi＝，w]＝wi. (1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋d哪一個(gè)適宜作為年銷(xiāo)售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型？(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由) (2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程； (3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x，y的關(guān)系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問(wèn)題： ①年宣傳費(fèi)x＝49時(shí)，年銷(xiāo)售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？ ②年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？ 附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為＝，＝－ . [解]　(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，y＝c＋d適宜作為年銷(xiāo)售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型． (2)令w＝，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程． 由于＝＝＝68， ＝－ ＝563－686.8＝100.6， 所以y關(guān)于w的線性回歸方程為＝100.6＋68w， 因此y關(guān)于x的回歸方程為＝100.6＋68. (3)①由(2)知，當(dāng)x＝49時(shí)， 年銷(xiāo)售量y的預(yù)報(bào)值＝100.6＋68＝576.6， 年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值＝576.60.2－49＝66.32. ②根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值 ＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12. 所以當(dāng)＝＝6.8，即x＝46.24時(shí)，取得最大值． 故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大．