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專題03利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)第三季
1．設(shè)函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，且，若不等式對恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
據(jù)此可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
函數(shù)的最小值為，
結(jié)合恒成立的結(jié)論可知：的取值范圍是.
本題選擇D選項.
2．定義在函數(shù)上的函數(shù)滿足，，則關(guān)于x的不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
令，則，
∵，
∴，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增．
又，
∴．
結(jié)合題意，不等式可轉(zhuǎn)化為，
即，
∴，
解得，
原不等式的解集為．
故選B．
3．已知函數(shù)的值域與函數(shù)的值域相同，則的取值范圍為
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，
，
時，；時，，
在上遞增，在上遞減，
，即的值域為，
，則，
在上遞增，在上遞減，
要使的值域為，
則，，
又，的范圍是，故選C.
4．若函數(shù)在上為增函數(shù)，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
依題意可得對x恒成立，令x+1=t(1
0時，
解得.
當(dāng)a<0時，g(0)=，-=， t恒成立.
綜上，的取值范圍為.
故選B.
5．定義在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對任意的實數(shù)，都有恒成立，則使成立的實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
當(dāng)時,由可知：兩邊同乘以得：.
設(shè)：
則，恒成立：
∴在單調(diào)遞減，
由
∴
即
即；
當(dāng)時，函數(shù)是偶函數(shù)，同理得：
綜上可知：實數(shù)的取值范圍為，
故選：C.
6．已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）有極小值0，則其極大值是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
7．若函數(shù)在上為增函數(shù)，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
依題意可得.
因為的增函數(shù)，故在上恒成立，
當(dāng)時，，令，則
即，
令，則，故，解得.
當(dāng)，則，令，則
即，該不等式在恒成立.
綜上，，故選D.
8．已知曲線與直線相切，且滿足條件的值有且只有3個，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由題意得：，設(shè)切點，
則其切線的斜率為，
所以切線方程為，又點在切線上，
∴，即，
由題意得，方程有三個不同的實數(shù)解，記，
則，當(dāng)時，令，解得或，令，解得，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∵，，∴要使方程有三個不同的實數(shù)解，
則，解得，實數(shù)的取值范圍是，故選B
9．已知函數(shù)f(x)＝－x2－2x，g(x)＝，若方程g(f(x))－a＝0有4個不等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由，解得，
由，解得或，
則，
設(shè),當(dāng)時，則，
當(dāng)或時，，
函數(shù)變成，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，得，因此為函數(shù)的極值點，，
作出的圖象如圖所示，
當(dāng)時，
由圖可知當(dāng) 時，由兩個根：，
有兩個根，有兩個根，
方程的實數(shù)根的個數(shù)有4個，
故的取值范圍是，故選B.
10．若關(guān)于x的方程有三個不等的實數(shù)解，，，且，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)，則的值為
A． B．e C． D．
【答案】A
【解析】
由關(guān)于x的方程，
令，則有
，
令函數(shù)，
，
在遞增，在遞減，
其圖象如下：
要使關(guān)于x的方程關(guān)于x的方程有3個不相等的實數(shù)解，，，
且，
結(jié)合圖象可得關(guān)于t的方程一定有兩個實根，，
且，，
，
，
可得，
故選：A．
11．已知函數(shù)，，若方程在有四個不同的解，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
因為函數(shù)，都是偶函數(shù)，
所以方程在有四個不同的解，
只需在上，的圖象在兩個不同的交點，
不合題意，
當(dāng)時，,當(dāng)，
即交點橫坐標(biāo)在上，
假定兩函數(shù)的圖象在點處相切，
即兩函數(shù)的圖象在點處有相同的切線，
則有，則有，解得，
則有，
可得，則有，解得，
因為越小開口越大，
所以要使得， 在上，恰有兩個不同的交點，
則的取值范圍為，
此時，的圖象在四個不同的交點，
方程在有四個不同的解，
所以的取值范圍是，故選A.
12．已知函數(shù)f(x)＝alnx－bx2，a，b∈R.若不等式f(x)≥x對所有的b∈(－∞，0]，x∈(e，e2]都成立，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．[e，＋∞) B．[，＋∞)
C．[，e2) D．[e2，＋∞)
【答案】B
令，則h′(x)＝>0，
所以h(x)在區(qū)間(e，e2]上單調(diào)遞增，
故h(x)max＝h(e2)=．
所以a≥.
所以實數(shù)a的取值范圍是[，＋∞)．
故選B.
13．設(shè)函數(shù)，其中,若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是( ).
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
設(shè),
由題意知存在唯一的整數(shù)，使得在直線的下方，
當(dāng)時， ，當(dāng)時，，
當(dāng)時，取最小值，
又，直線恒過定點且斜率為m，
故且
解得，故選A.
14．設(shè)函數(shù)，其中，，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
設(shè)，
由題意知,存在唯一的整數(shù)使得在直線的下方，
，
∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，
∴當(dāng)時，取最小值，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
直線恒過定點且斜率為，故且，解得,故選：B．
15．如圖所示，某幾何體由底面半徑和高均為5的圓柱與半徑為5的半球面對接而成，該封閉幾何體內(nèi)部放入一個小圓柱體，且圓柱體的上下底面均與外層圓柱的底面平行，則小圓柱體積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
小圓柱的高分為上下兩部分，上部分同大圓柱一樣為5，下部分深入底部半球內(nèi)設(shè)為h (0h5)，小圓柱的底面半徑設(shè)為r (0r5)，由于和球的半徑構(gòu)成直角三角形，即+，所以小圓柱體積，(0h5)，求導(dǎo)，當(dāng)0h時，體積單調(diào)遞增，當(dāng)h5時，體積單調(diào)減。所以當(dāng)h=時，小圓柱體積取得最大值，，故選B.
16．已知數(shù)列的前項和為，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
構(gòu)造函數(shù)，
所以在上遞增，，
可得，令，
，
，
化為，
，
即，故選B.
17．已知函數(shù)，在函數(shù)圖象上任取兩點，若直線的斜率的絕對值都不小于5，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
則對恒成立，則，即，
解之得或.
又，所以.
18．已知P,A,B,C是半徑為2的球面上的點，PA=PB=PC=2，，點B在AC上的射影為D，則三棱錐體積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如下圖，由題意，，，
取的中點為，則為三角形的外心，且為在平面上的射影，所以球心在的延長線上，設(shè)，則，
所以，即，所以.
故，
過作于，設(shè)()，則,
設(shè)，則，故，
所以，則，
所以的面積，
令，則，
因為，所以當(dāng)時，，即此時單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減。
所以當(dāng)時，取到最大值為，即的面積最大值為。
當(dāng)?shù)拿娣e最大時，三棱錐體積取得最大值為.
故選D.
19．已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
∵函數(shù)g（x）=f（x）-ax在區(qū)間上有三個零點，
∴y=f（x）與y=ax在區(qū)間上有三個交點；
由函數(shù)y=f（x）與y=ax的圖象可知， ；
f（x）=lnx，（x＞1）， ，
設(shè)切點坐標(biāo)為（t，lnt），
則 ，
解得：t=e．
∴ ．
則直線y=ax的斜率
故選：D．
20．設(shè)0＜m≤2，已知函數(shù)，對于任意x1，x2∈[m-2，m]，都有|f(x1)-f(x2)|≤1，則實數(shù)m的取值范圍為
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
設(shè),
函數(shù)，對于任意，都有，
等價于在上，，
求導(dǎo)
時，
在為減函數(shù)，
因為，
，
在上為減函數(shù)，
，
，
，
得或，又，
即實數(shù)的范圍是，故選B.
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