《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點過關(guān) 第十一章 計數(shù)原理、隨機變量及分布列學(xué)案.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點過關(guān) 第十一章 計數(shù)原理、隨機變量及分布列學(xué)案.doc（64頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
第十一章 計數(shù)原理、隨機變量及分布列
第1課時 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理
近幾年高考中兩個基本計數(shù)原理在理科加試部分考查，預(yù)測以后高考將會結(jié)合概率統(tǒng)計進行命題，考查對兩個基本計數(shù)原理的靈活運用，以實際問題為背景，考查學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識、應(yīng)用基礎(chǔ)知識、解決實際問題的能力，難度將不太大.
① 理解兩個基本計數(shù)原理.
② 能根據(jù)具體問題的特征，選擇分類計數(shù)原理或分步計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題.
1. （選修23P9習(xí)題4改編）一件工作可以用兩種方法完成，有18人會用第一種方法完成，有10人會用第二種方法完成.從中選出1人來完成這件工作，不同選法的總數(shù)是 ?。?
答案：28
解析：由分類計數(shù)原理知不同選法的總數(shù)共有18＋10＝28（種）.
2. （選修23P9習(xí)題8改編）從1到10的正整數(shù)中，任意抽取兩個數(shù)相加所得和為奇數(shù)的不同情形的種數(shù)是 ?。?
答案：25
解析：當(dāng)且僅當(dāng)偶數(shù)加上奇數(shù)后和為奇數(shù)，從而不同情形有55＝25（種）.
3. （改編題）一只袋中有大小一樣的紅色球3個，白色球3個，黑色球2個.從袋中隨機取出（一次性）2個球，則這2個球為同色球的種數(shù)為 ?。?
答案：7
解析：2個球為紅色共3種，2個球為白色共3種，2個球為黑色共1種，由分類計數(shù)原理得共7種.
4. （選修23P10習(xí)題12改編）以正方形的4個頂點中某一頂點為起點、另一個頂點為終點作向量，可以作出不相等的向量個數(shù)為 ?。?
答案：8
解析：起點有4個，每一個起點都可選另外三個頂點中的某一個為終點，但正方形相對邊且方向相同的向量為同一向量，故共有不相等的向量個數(shù)為43－4＝8.
5. （選修23P10習(xí)題16改編）現(xiàn)用4種不同顏色對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有 種.
答案：
解析：設(shè)兩種不同顏色為a，b，則所有可能為（a，a，a），（a，a，b），（a，b，a），（a，b，b），（b，a，a），（b，a，b），（b，b，a），（b，b，b），共8種.其中滿足條件的有（a，b，a），（b，a，b），共2種，∴ 所求概率為.
2. （必修3P100例1改編）一個不透明的盒子中裝有標(biāo)號為1，2，3，4，5的5個除序號外都相同的球，同時取出兩個球，則兩個球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率為 ?。?
答案：
解析：從5個球中同時取出2個球的基本事件有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10個.記“兩個球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)”為事件A，則事件A中含有4個基本事件：（1，2），（2，3），（3，4），（4，5）.所以P（A）＝＝.
3. （必修3P103練習(xí)2改編）小明的自行車用的是密碼鎖，密碼鎖的四位數(shù)密碼由4個數(shù)字2，4，6，8按一定順序排列構(gòu)成，小明不小心忘記了密碼中4個數(shù)字的順序，隨機地輸入由2，4，6，8組成的一個四位數(shù)，能打開鎖的概率是 ?。?
答案：
解析：四位數(shù)密碼共有24種等可能的結(jié)果，恰好能打開鎖的密碼只有1種，故所求事件的概率為.
4. （必修3P101例3改編）連續(xù)2次拋擲一枚骰子（六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6），記“兩次向上的數(shù)字之和等于m”為事件A，則P（A）最大時，m＝ Ｗ.
答案：7
解析：m可能取到的值有2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，對應(yīng)的基本事件個數(shù)依次為1，2，3，4，5，6，5，4，3，2，1，∴兩次向上的數(shù)字之和等于7對應(yīng)的事件發(fā)生的概率最大.
5. （必修3P103練習(xí)4改編）已知一個不透明的袋中有3個白球，2個黑球，第一次摸出一個球，然后放回，第二次再摸出一個球，則兩次摸到的都是黑球的概率為 ?。?
答案：
解析：把它們編號，白為1，2，3，黑為4，5.用（x，y）記錄摸球結(jié)果，x表示第一次摸到球號數(shù)，y表示第二次摸到球號數(shù).所有可能的結(jié)果為（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25種，兩次摸到的都是黑球的情況為（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），共4種，故所求概率P＝.
1. 概率的取值范圍是0≤P（A）≤1.當(dāng)A是必然發(fā)生的事件時，P（A）＝1；當(dāng)A是不可能發(fā)生的事件時，P（A）＝0；當(dāng)A是隨機事件時，0
2a.
∵ 總事件數(shù)共36個，滿足b>2a的事件有（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），共6個，
∴ P（B）＝＝.
若先后拋擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，求：
（1） 點P（m，n）在直線x＋y＝4上的概率；
（2） 點P（m，n）落在區(qū)域|x－2|＋|y－2|≤2內(nèi)的概率.
解：（1） 由題意可知，（m，n）的取值情況有（1，1），（1，2），（1，3），…，（1，6），（2，1），（2，2），…，（2，6），…，（6，1），（6，2），…，（6，6），共36種.而滿足點P（m，n）在直線x＋y＝4上的取值情況有（1，3），（2，2），（3，1），共3種，故所求概率為＝ .
（2） 由題意可得，基本事件n＝36.當(dāng)m＝1時，1≤n≤3，故符合條件的基本事件有3個；當(dāng)m＝2 時，1≤n≤4，故符合條件的基本事件有4個；當(dāng)m＝3時，1≤n≤3，故符合條件的基本事件有3個；當(dāng)m＝4時，n＝2，故符合條件的基本事件有1個.故符合條件的基本事件共11個，所以所求概率為.
3 用概率解決生活中的決策問題)
3) 某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，抽獎方法：從裝有2個紅球A1，A2和1個白球B的甲箱與裝有2個紅球a1，a2和2個白球b1，b2的乙箱中，各隨機摸出1個球，若摸出的2個球都是紅球則中獎，否則不中獎.
（1） 用球的標(biāo)號列出所有可能的摸出結(jié)果；
（2） 有人認(rèn)為：兩個箱子中的紅球總數(shù)比白球多，所以中獎的概率大于不中獎的概率，你認(rèn)為正確嗎？請說明理由.
解：（1） 所有可能的摸出結(jié)果是（A1，a1），（A1，a2），（A1，b1），（A1，b2），（A2，a1），（A2，a2）， （A2，b1），（A2，b2），（B，a1），（B，a2），（B，b1），（B，b2）.
（2） 不正確，理由如下：
由（1）知，所有可能的摸出結(jié)果共12種，其中摸出的2個球都是紅球的結(jié)果為{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4種，所以中獎的概率為＝，不中獎的概率為1－＝>，故這種說法不正確.
變式訓(xùn)練
某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動.參加活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.獎勵規(guī)則如下：
① 若xy≤3，則獎勵玩具一個；② 若xy≥8，則獎勵水杯一個；③ 其余情況獎勵飲料一瓶.
假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個區(qū)域劃分均勻.小亮準(zhǔn)備參加此項活動.
（1） 求小亮獲得玩具的概率；
（2） 請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由.
解：用數(shù)對（x，y）表示兒童參加活動兩次記錄的數(shù)，則基本事件空間Ω與點集S＝{（x，y）|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一對應(yīng)，因為S中元素個數(shù)是44＝16，所以基本事件總數(shù)n＝16.
（1） 記“xy≤3”為事件A.
則事件A包含的基本事件共有5個，即（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1）.所以P（A）＝，即小亮獲得玩具的概率為.
（2） 記“xy≥8”為事件B，“3，所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.
1. （2017蘇北四市期末）從1，2，3，4，5，6這六個數(shù)中一次隨機地取出2個數(shù)，則所取2個數(shù)的和能被3整除的概率為 ?。?
答案：
解析：從1，2，3，4，5，6這六個數(shù)中一次隨機地取出2個數(shù)，基本事件總數(shù)n＝15，所取2個數(shù)的和能被3整除包含的基本事件有（1，2），（1，5），（2，4），（3，6），（4，5），共5個，所以所取2個數(shù)的和能被3整除的概率P＝＝.
2. 某校從2名男生和3名女生中隨機選出3名學(xué)生做義工，則選出的學(xué)生中男女生都有的概率為 Ｗ.
答案：
解析：從5名學(xué)生中隨機選出3名學(xué)生共有10種選法，男女生都有的共9種（即去掉選的是3名女生的情況），則所求的概率為.本題考查用列舉法解決古典概型問題，屬于容易題.
3. 箱子中有形狀、大小都相同的3只紅球和2只白球，一次摸出2只球，則摸到的2只球顏色不同的概率為 Ｗ.
答案：
解析：從5只球中一次摸出2只球，共有10種摸法，摸到的2只球顏色不同的摸法共有6種，則所求的概率為.
4. （2016新課標(biāo)Ⅰ文）為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是 ?。?
答案：
解析：將4種顏色的花任選2種種在一個花壇中，余下2種種在另一個花壇中，有6種種法，其中紅色和紫色的花不在同一花壇的種法有4種，故概率為.
5. （2017全國卷Ⅱ）從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為 Ｗ.
答案：
解析：將第一次抽取的卡片上的數(shù)記為a，第二次抽取的卡片上的數(shù)記為b，先后兩次抽取的卡片上的數(shù)記為（a，b），則有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25種抽取方法，其中第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的抽取方法有10種，所以所求概率P＝＝.
1. （2017揚州期末）已知A，B∈{－3，－1，1，2}且A≠B，則直線Ax＋By＋1＝0的斜率小于0的概率為 ?。?
答案：
解析：所有的基本事件（A，B）為（－3，－1），（－3，1），（－3，2），（－1，1），（－1，2），（1，2），（－1，－3），（1，－3），（2，－3），（1，－1），（2，－1），（2，1）共12種，其中（－3，－1），（1，2），（－1，－3），（2，1）這4種能使直線Ax＋By＋1＝0的斜率小于0，所以所求的概率P＝＝.
2. （2016上海卷文）某食堂規(guī)定，每份午餐可以在四種水果中任選兩種，則甲、乙兩同學(xué)各自所選的兩種水果相同的概率為 ?。?
答案：
解析：將四種水果每兩種分為一組，有6種方法，則甲、乙兩同學(xué)各自所選的兩種水果相同的概率為.
3. （2017山東卷）從分別標(biāo)有1，2，…，9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次，每次抽取1張，則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是 ?。?
答案：
解析：每次抽取1張，抽取2次，共有98＝72（種）情況，其中滿足題意的情況有254＝40（種），所以所求概率P＝＝.
4. （2016新課標(biāo)Ⅲ文）小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1，2，3，4，5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是 ?。?
答案：
解析：開機密碼的前兩位可能是M1，M2，M3，M4，M5，I1，I2，I3，I4，I5，N1，N2，N3，N4，N5，共15種，所以小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是.
1. 解以代數(shù)、幾何等數(shù)學(xué)知識為背景的概率題的策略是：讀懂題意，理解內(nèi)涵，尋求關(guān)系，突破入口；盡力脫去背景外衣，回首重溫概率定義；細(xì)心診斷事件類型，正確運用概率公式.
2. 解較復(fù)雜的概率問題的關(guān)鍵是理解題目的實際含義，把問題轉(zhuǎn)化為概率模型.必要時可考慮分類討論、數(shù)形結(jié)合、正難則反等思想方法.[備課札記]
第5課時 幾何概型與互斥事件（對應(yīng)學(xué)生用書（文）166～168頁、（理）168～169頁）
幾何概型往往要通過一定的手段才能轉(zhuǎn)化到幾何度量值的計算上來，在解決問題時要善于根據(jù)問題的具體情況進行轉(zhuǎn)化.對于比較復(fù)雜的概率問題，可利用其對立事件求解，或分解成若干小事件利用互斥事件的概率加法公式求解.
① 了解幾何概型的意義，并能正確應(yīng)用幾何概型的概率計算公式解決問題.② 了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率.③ 了解兩個互斥事件的概率加法公式.
1. （必修3P110習(xí)題1改編）在水平放置的長為5 m的木桿上掛一盞燈，則懸掛點與木桿兩端距離都大于2 m的概率是 .
答案：
解析：這是一個幾何概型題，其概率就是相應(yīng)的線段CD，AB（如圖）的長度的比值，∴ P＝.
2. （必修3P115練習(xí)1改編）把紅、黑、藍(lán)、白4張紙牌隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四個人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是 Ｗ.（填序號）
① 對立事件；② 不可能事件；③ 互斥但不對立事件.
答案：③
解析：由互斥事件的定義可知，甲、乙不能同時得到紅牌.由對立事件的定義可知，甲、乙可能都得不到紅牌，即“甲或乙分得紅牌”的事件可能不發(fā)生.故填③.
3. （必修3P115練習(xí)2改編）一箱產(chǎn)品中有正品4件，次品3件，從中任取2件.
① 恰有1件次品和恰有2件次品；
② 至少有1件次品和全是次品；
③ 至少有1件正品和至少有1件次品；
④ 至少有1件次品和全是正品.
以上幾組事件中互斥事件有 組.
答案：2
解析：①④中的兩事件互斥，②③中的兩事件不互斥.
4. （必修3P109練習(xí)3改編）在500 mL的水中有一只草履蟲，現(xiàn)從中隨機取出2 mL 水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率是 Ｗ.
答案：0.004
解析：由于取水樣的隨機性，所求事件A“在取出2 mL的水樣中有草履蟲”的概率等于水樣的體積與總體積之比，即＝0.004.
5. （必修3P110習(xí)題4改編）如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個半圓.在扇形OAB內(nèi)任投一點，則此點落在陰影部分的概率是 ?。?
答案：1－
解析：設(shè)扇形的半徑為2，則其面積為＝π，如圖，由兩段小圓弧圍成的陰影面積為S1，另外三段圓弧圍成的陰影面積為S2，則S1＝2＝－1，S2＝22－212＋－1＝－1，故陰影部分的總面積為2＝π－2，因此任投一點，此點落在陰影部分的概率為＝1－.
1. 幾何概型的定義
對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣；而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點，這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等.用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型.
2. 概率計算公式
在幾何區(qū)域D中隨機地取一點，記事件“該點落在其內(nèi)部的一個區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率P（A）＝.
3. 不能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件.
4. 如果事件A，B互斥，那么事件A＋B發(fā)生的概率等于事件A，B分別發(fā)生的概率的和，即P（A＋B）＝P（A）＋P（B）Ｗ.
5. 一般地，如果事件A1，A2，…，An兩兩互斥，那么P（A1＋A2＋…＋An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）Ｗ.
6. 若兩個互斥事件必有1個發(fā)生，則稱這兩個事件為對立事件；若事件A的對立事件記作，則P（A）＋P（）＝1，P（）＝1－P（A）Ｗ.
1 幾何概型)
1) （2017全國卷Ⅰ）如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是 ?。?
答案：
解析：由于圓中黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心（即圓心）對稱，所以圓中黑色部分的面積為圓的面積的一半.不妨設(shè)正方形的邊長為2，則所求的概率P＝＝.
變式訓(xùn)練
在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ACB內(nèi)部任作一射線CM，與線段AB交于點M，求AM＜AC的概率.
解：如圖，過點C在∠ACB內(nèi)任作射線CM，則射線CM在∠ACB內(nèi)是等可能分布的，故基本事件的區(qū)域測度是∠ACB的大小，即90.在AB上取AC′＝AC，則∠ACC′＝＝67.5.記“AM < AC”為事件A，則事件A的概率P（A）＝＝，故AM < AC的概率是.
2 古典概型與幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系)
2) 設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
（1） 若a是從0，1，2，3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率；
（2） 若a是從區(qū)間[0，3]中任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率.
解：設(shè)事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實根”，
當(dāng)a≥0，b≥0時，方程x2＋2ax＋b2＝0有實根的充要條件為a≥b.
（1） 基本事件共有12個：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值.
事件A中包含9個基本事件，故事件A發(fā)生的概率P（A）＝＝.
（2） 試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}.
構(gòu)成事件A的區(qū)域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，即如圖所示的陰影區(qū)域，
所以所求的概率P（A）＝＝.
變式訓(xùn)練
已知關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）＝ax2－4bx＋1.
（1） 設(shè)集合A＝{－1，1，2，3，4，5}和B＝{－2，－1，1，2，3，4}，分別從集合A，B中隨機取一個數(shù)作為a和b，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，＋∞）上是增函數(shù)的概率；
（2） 設(shè)點（a，b）是區(qū)域內(nèi)的隨機點，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，＋∞）上是增函數(shù)的概率.
解：要使函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，＋∞）上是增函數(shù)，需a＞0，且－≤1，即a＞0且2b≤a.
（1） 所有（a，b）的取法總數(shù)為66＝36（個），滿足條件的（a，b）有（1，－2），（1，－1），（2，－2），（2，－1），（2，1），（3，－2），（3，－1），（3，1），（4，－2），（4，－1），（4，1），（4，2），（5，－2），（5，－1），（5，1），（5，2），共16個，所以所求概率P＝＝.
（2） 如圖：
求得區(qū)域的面積為88＝32，由求得P，所以區(qū)域內(nèi)滿足a＞0且2b≤a的面積為8＝，所以所求概率P＝＝.
3 互斥事件)
3) 某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計如下：
賠付金額（元）
0
1 000
2 000
3 000
4 000
車輛數(shù)（輛）
500
130
100
150
120
（1） 若每輛車的投保金額均為2 800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；
（2） 在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4 000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4 000元的概率.
解：（1） 設(shè)A表示事件“賠付金額為3 000元”，B表示事件“賠付金額為4 000元”，以頻率估計概率，得P（A）＝＝0.15，P（B）＝＝0.12.
由于投保金額為2 800元，所以賠付金額大于投保金額的概率為P（A）＋P（B）＝0.15＋0.12＝0.27.
（2） 設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機獲賠4 000元”，
由已知，得樣本車輛中車主為新司機的有0.11 000＝100（輛），而賠付金額為4 000元的車輛中，車主為新司機的有0.2120＝24（輛），
所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4 000元的頻率為＝0.24.
由頻率估計概率得P（C）＝0.24.
如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機抽取100位從A地到達火車站的人進行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：
所用時間（分鐘）
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
選擇L1的人數(shù)
6
12
18
12
12
選擇L2的人數(shù)
0
4
16
16
4
?。?） 分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內(nèi)的頻率；
（2） 現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站，試通過計算說明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑.
解：（1） 選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調(diào)查結(jié)果得：
所用時間（分鐘）
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的頻率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的頻率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
（2）設(shè)A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時，在50分鐘內(nèi)趕到火車站.
由（1）知P（A1）＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P（A2）＝0.1＋0.4＝0.5，P（A1）>P（A2），
所以甲應(yīng)選擇路徑L1；
P（B1）＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P（B2）＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P（B2）>P（B1），
所以乙應(yīng)選擇路徑L2.
1. （2016新課標(biāo)Ⅱ文）某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40 s.若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15 s才出現(xiàn)綠燈的概率為 .
答案：
解析：因為紅燈持續(xù)時間為40 s.所以這名行人至少需要等待15 s才出現(xiàn)綠燈的概率為＝.
2. （2016天津卷文）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿椤 。?
答案：
解析：甲不輸?shù)母怕蕿椋?
3. （2017蘇州市考前模擬）在區(qū)間[－1，1]上隨機取一個數(shù)x，cos 的值介于0到之間的概率為 ?。?
答案：
解析：在區(qū)間[－1，1]上隨機取一個數(shù)x，即x∈[－1，1]時，要使cos 的值介于0到之間，需使－≤≤－或≤≤.
∴ －1≤x≤－或≤x≤1，區(qū)間長度為.由幾何概型知cos 的值介于0到之間的概率為＝.
4. （2017南京、鹽城一模）在數(shù)字1，2，3，4中隨機選兩個數(shù)字，則選中的數(shù)字中至少有一個是偶數(shù)的概率為 ?。?
答案：
解析：在數(shù)字1，2，3，4中隨機選兩個數(shù)字，基本事件總數(shù)為6，選中的數(shù)字中至少有一個是偶數(shù)的對立事件是選中的兩個數(shù)字都是奇數(shù)，所以選中的數(shù)字中至少有一個是偶數(shù)的概率P＝1－＝.
5. （2017常州期末）男隊有號碼為1，2，3的三名乒乓球運動員，女隊有號碼為1，2，3，4的四名乒乓球運動員，現(xiàn)兩隊各出一名運動員比賽一場，則出場的兩名運動員號碼不同的概率為 ?。?
答案：
解析：男隊有號碼為1，2，3的三名乒乓球運動員，女隊有號碼為1，2，3，4的四名乒乓球運動員，現(xiàn)兩隊各出一名運動員比賽一場，基本事件總數(shù)為34＝12（個），出場的兩名運動員號碼不同的對立事件是出場的兩名運動員號碼相同，所以出場的兩名運動員號碼不同的概率P＝1－＝.
1. （2017揚州市考前調(diào)研）在區(qū)間（0，5）內(nèi)任取一個實數(shù)m， 則滿足3＜m＜4的概率為 ?。?
答案：
解析：根據(jù)幾何概型的概率計算公式，得滿足3＜m＜4的概率為.
2. 設(shè)函數(shù)f（x）＝log2x，在區(qū)間（0，5）上隨機取一個數(shù)x，則f（x）<2的概率為 ?。?
答案：
解析：因為log2x＜2，解得0＜x＜4，所以P（f（x）<2）＝.
3. 甲、乙兩盒中各有除顏色外完全相同的2個紅球和1個白球，現(xiàn)從兩盒中隨機各取一個球，則至少有一個紅球的概率為 ?。?
答案：
解析：從兩盒中各取一個球的基本事件數(shù)為9，沒有紅球的基本事件數(shù)為1，則至少有一個紅球的概率＝1－沒有紅球的概率＝1－＝.
4. （2017蘇州期末）若一架飛機向目標(biāo)投彈，擊毀目標(biāo)的概率為0.2，目標(biāo)未受損的概率為0.4，則目標(biāo)受損但未完全被擊毀的概率為 Ｗ.
答案： 0.4
解析：根據(jù)互斥事件的概率公式，得目標(biāo)受損但未完全被擊毀的概率為1－0.2－0.4＝0.4.
1. 對于幾何概型的應(yīng)用題，關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為概型中的長度、角度、面積、體積等常見幾何概型問題，構(gòu)造出隨機事件對應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的測度來求隨機事件的概率.
2. 分清古典概型與幾何概型的關(guān)鍵就是古典概型與幾何概型中基本事件發(fā)生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件是有限個，而幾何概型則是無限個.
3. 求較復(fù)雜的互斥事件的概率，一般有兩種方法：一是直接求解法，即將所求事件的概率分解成一些彼此互斥的事件的概率和，分解后的每個事件概率的計算通常為等可能事件的概率計算，這時應(yīng)注意事件是否互斥，是否完備；二是間接求解法，先求出此事件的對立事件的概率，再用公式P（A）＝1－P（）.若解決“至少”“至多”型的題目，用后一種方法就顯得比較方便.解題時需注意“互斥事件”與“對立事件”的區(qū)別與聯(lián)系，搞清楚“互斥事件”與“等可能性事件”的差異.[備課札記]
答案：48
解析：按A→B→C→D順序分四步涂色，共有4322＝48（種）.
1. 分類計數(shù)原理：如果完成一件事，有n類方式，在第1類方式中有m1種不同的方法，在第2類方式中有m2種不同的方法，……在第n類方式中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法.
2. 分步計數(shù)原理：如果完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1m2…mn種不同的方法.
3. 分類和分步的區(qū)別，關(guān)鍵是看事件能否一步完成，事件一步完成了就是分類；必須要連續(xù)若干步才能完成的則是分步.分類要用分類計數(shù)原理將種數(shù)相加；分步要用分步計數(shù)原理，將種數(shù)相乘.
[備課札記]
1 分類計數(shù)原理)
1) 在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個？
解：（解法1）按十位上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6，7，8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個.由分類計數(shù)原理知，符合題意的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36（個）.
（解法2）按個位上的數(shù)字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是1個，2個，3個，4個，5個，6個，7個，8個.由分類計數(shù)原理知，符合題意的兩位數(shù)共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36（個）.
變式訓(xùn)練
有A，B，C型高級電腦各一臺，甲、乙、丙、丁4個操作人員的技術(shù)等級不同，甲、乙會操作三種型號的電腦，丙不會操作C型電腦，而丁只會操作A型電腦.從這4個操作人員中選3人分別去操作這三種型號的電腦，則不同的選派方法有多少種？
解：第1類，選甲、乙、丙3人，由于丙不會操作C型電腦，分2步安排這3人操作電腦，有22＝4（種）方法；第2類，選甲、乙、丁3人，由于丁只會操作A型電腦，這時安排3人操作電腦，有2種方法；第3類，選甲、丙、丁3人，這時安排3人操作電腦只有1種方法；第4類，選乙、丙、丁3人，同樣也只有1種方法.根據(jù)分類計數(shù)原理，共有4＋2＋1＋1＝8（種）選派方法.
2 分步計數(shù)原理)
2) 用紅、黃、藍(lán)三種顏色去涂圖中標(biāo)號為1，2，…，9的9個小正方形（如圖），使得任意相鄰（有公共邊）的小正方形所涂顏色都不相同，且標(biāo)號為1，5，9的小正方形涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有 種.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案：108
解析：把區(qū)域分為三部分，第一部分1，5，9，有3種涂法；第二部分4，7，8，當(dāng)5，7同色時，4，8各有2種涂法，共4種涂法，當(dāng)5，7異色時，7有2種涂法，4，8均只有1種涂法，故第二部分共4＋2＝6（種）涂法；第三部分與第二部分一樣，共6種涂法.由分步計數(shù)原理，可得涂法共有366＝108（種）.
變式訓(xùn)練
有4位教師在同一年級的4個班中各教一個班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)檢測時要求每位教師不能在本班監(jiān)考，則監(jiān)考的方法有 種.
答案：9
解析：分四步完成：第一步：第1位教師有3種選法；第二步：第1位教師監(jiān)考的班的數(shù)學(xué)老師即第2位教師有3種選法；第三步：第3位教師有1種選法；第四步：第4位教師有1種選法.共有3311＝9（種）監(jiān)考的方法.
3 兩個基本原理的綜合應(yīng)用)
3) 已知集合M＝{1，2，3，4}，集合A，B為集合M的非空子集.若對?x∈A，y∈B，x
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2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)
第一部分
基礎(chǔ)與考點過關(guān)
第十一章
計數(shù)原理、隨機變量及分布列學(xué)案
2019
高考
數(shù)學(xué)
一輪
復(fù)習(xí)
第一
部分
基礎(chǔ)
考點
過關(guān)
第十一
計數(shù)
原理
隨機變量
分布
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2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點過關(guān) 第十一章 計數(shù)原理、隨機變量及分布列學(xué)案.doc
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