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第十八講　高考中創(chuàng)新型題 1.已知集合A={x∈N|x2-2x-3≤0},B={1,3},定義集合A,B之間的運(yùn)算“*”:A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},則A*B中的所有元素之和為(　　) A.15 B.16 C.20 D.21 2.定義運(yùn)算:x▽y=x,xy≥0,y,xy<0,例如:3▽4=3,(-2)▽4=4,則函數(shù)f(x)=x2▽(2x-x2)的最大值為(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 3.已知an=log(n+1)(n+2)(n∈N*),我們把使乘積a1a2a3…an為整數(shù)的n叫“劣數(shù)”,則在區(qū)間(1,2004)內(nèi)的所有劣數(shù)的和為(　　) A.2004 B.2015 C.2026 D.2035 4.定義一種運(yùn)算“*”,滿足以下運(yùn)算性質(zhì):(1)2*2015=1; (2)(2n+2)*2015=3[(2n)*2015](n∈N*),則10*2015的值是(　　) A.1 B.3 C.9 D.81 5.定義平面向量之間的一種運(yùn)算“☉”如下:對任意的a=(m,n),b=(p,q),a☉b=mq-np.則下面說法錯(cuò)誤的是(　　) A.若a與b共線,則a☉b=0 B.a☉b=b☉a C.對任意的λ∈R,有(λa)☉b=λ(a☉b) D.(a☉b)2+(ab)2=|a|2|b|2 6.對于n個(gè)非零向量a1,a2,…,an,若存在n個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)k1,k2,…,kn,使得k1a1+k2a2+…+knan=0成立,則稱向量a1,a2,…,an是線性相關(guān)的.按此規(guī)定,能使向量a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)是線性相關(guān)的實(shí)數(shù)k1,k2,k3的值可能為(　　) A.-4,2,1 B.-1,1,2 C.-4,-2,1 D.4,2,-1 7.定義一種運(yùn)算:(a1,a2)?(a3,a4)=a1a4-a2a3.將函數(shù)f(x)=(3,2sinx)?(cosx,cos2x)的圖象向左平移n(n>0)個(gè)單位長度,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù),則n的最小值為(　　) A.π12 B.π6 C.5π12 D.π3 8.若向量a與b既不平行也不垂直,則稱向量a與b斜交.已知向量m=(1,3)與n=(-2,t)斜交,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(　　) A.(-∞,-6)∪23,+∞ B.(-∞,-6)∪-6,23∪23,+∞ C.-∞,-23∪(6,+∞) D.-∞,-23∪(6,+∞) 9.對任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)對(a,b)和(c,d),規(guī)定(a,b)=(c,d),當(dāng)且僅當(dāng)a=c,b=d;運(yùn)算“?”為(a,b)?(c,d)=(ac-bd,bc+ad),運(yùn)算“⊕”為(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d).設(shè)p,q∈R,若(1,2)?(p,q)=(5,0),則(1,2)⊕(p,q)等于(　　) A.(2,0) B.(4,0) C.(0,2) D.(0,-4) 10.已知圖形M(如圖所示)是由底為1,高為1的等腰三角形及寬為1,長分別為2和3的兩個(gè)矩形所構(gòu)成的,函數(shù)S=S(a)(a≥0)是圖形M介于平行線y=0及y=a之間的那一部分圖形的面積,則函數(shù)S(a)的圖象大致是(　　) 11.如圖,已知l1⊥l2,圓心在l1上、半徑為1m的圓O沿l1以1m/s的速度勻速豎直向上移動(dòng),且在t=0時(shí),圓O與l2相切于點(diǎn)A,圓O被直線l2所截,得到的兩段圓弧中,位于l2上方的圓弧的長記為x,令y=cosx,則y與時(shí)間t(0≤t≤1,單位:s)的函數(shù)y=f(t)的圖象大致為(　　) 12.(2018河北石家莊質(zhì)量檢測)定義:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上存在x1,x2(ag(x)恒成立,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是　　　　　　　. 答案精解精析 1.D　由x2-2x-3≤0,得(x+1)(x-3)≤0,故集合A={0,1,2,3}.∵A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B}, ∴A*B中的元素有0+1=1,0+3=3,1+1=2,1+3=4,2+1=3(舍去),2+3=5,3+1=4(舍去),3+3=6, ∴A*B={1,2,3,4,5,6},∴A*B中的所有元素之和為21. 2.D　由題意可得f(x)=x2▽(2x-x2)=x2,0≤x≤2,2x-x2,x>2或x<0,當(dāng)0≤x≤2時(shí),f(x)∈[0,4];當(dāng)x>2或x<0時(shí),f(x)∈(-∞,0).綜上可得函數(shù)f(x)的最大值為4,故選D. 3.C　因?yàn)閍n=log(n+1)(n+2)=lg(n+2)lg(n+1), 所以a1a2…an=lg3lg2lg4lg3…lg(n+2)lg(n+1)=lg(n+2)lg2=log2(n+2), 若a1a2…an為整數(shù)m,則n+2=2m,m∈Z,n=2m-2,又n∈(1,2004),所以m=2,3,4,…,10.則所有劣數(shù)n的和為22(1-29)1-2-18=2026. 4.D　設(shè)(2n)*2015=an,則(2n+2)*2015=an+1,且a1=1,∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,∴an=3n-1,則10*2015=(25)*2015=34=81. 5.B　若a=(m,n)與b=(p,q)共線,則mq-np=0,由運(yùn)算“☉”知a☉b=0,故A正確.由于a☉b=mq-np,b☉a=np-mq,因此a☉b=-b☉a,故B不正確.對于C,由于λa=(λm,λn),因此(λa)☉b=λmq-λnp,又λ(a☉b)=λ(mq-np)=λmq-λnp,故C正確.對于D,(a☉b)2+(ab)2=m2q2-2mnpq+n2p2+(mp+nq)2=m2(p2+q2)+n2(p2+q2)=(m2+n2)(p2+q2)=|a|2|b|2,故D正確. 6.A　根據(jù)線性相關(guān)的定義得k1(1,0)+k2(1,-1)+k3(2,2)=0,得k1+k2+2k3=0,-k2+2k3=0,結(jié)合選項(xiàng),令k3=1,則k2=2,k1=-4,所以實(shí)數(shù)k1,k2,k3的值可能為-4,2,1. 7.C　由新運(yùn)算可知f(x)=3cos2x-sin2x=2cos2x+π6,將函數(shù)f(x)的圖象向左平移n(n>0)個(gè)單位長度后得到函數(shù)y=2cos2(x+n)+π6的圖象.顯然當(dāng)2n+π6=kπ(k∈Z),即n=kπ2-π12(k∈Z)時(shí),函數(shù)y=2cos2(x+n)+π6為偶函數(shù).又n>0,故當(dāng)k=1時(shí),n的值最小,且最小值為5π12.故選C. 8.B　根據(jù)題意,有1t-3(-2)≠0,1(-2)+3t≠0,解得t≠-6,t≠23.故實(shí)數(shù)t的取值范圍是(-∞,-6)∪-6,23∪23,+∞.故選B. 9.A　由(1,2)?(p,q)=(5,0),得p-2q=5,2p+q=0,所以p=1,q=-2,所以(1,2)⊕(1,-2)=(2,0),故選A. 10.C　依題意,當(dāng)0≤a≤1時(shí),S(a)=a(2-a)2+2a=-12a2+3a;當(dāng)13時(shí),S(a)=12+2+3=112, 于是S(a)=-12a2+3a,0≤a≤1,2a+12,13. 由解析式結(jié)合選項(xiàng)可知選C. 11.B　解法一:如圖,設(shè)∠MON=α,由弧長公式知x=α,在Rt△AOM中,|AO|=1-t,cosx2=|OA||OM|=1-t,∴y=cosx=2cos2x2-1=2(t-1)2-1(0≤t≤1).故其對應(yīng)的大致圖象應(yīng)為B. 解法二:由題意可知,當(dāng)t=1時(shí),圓O在直線l2上方的部分為半圓,所對應(yīng)的弧長為π1=π,所以cosπ=-1,排除A,D;當(dāng)t=12時(shí),如圖所示,易知∠BOC=2π3,所以cos2π3=-12<0,排除C,故選B. 12.A　由f(x)=x3-65x2得f(x)=3x2-125x,f(t)-f(0)t-0=t2-65t,則f(x1)=3x12-125x1=t2-65t,f(x2)=3x22-125x2=t2-65t,則由題意知,方程3x2-125x=t2-65t在區(qū)間(0,t)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,即3x2-125x-t2+65t=0在區(qū)間(0,t)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解.令g(x)=3x2-125x-t2+65t,則函數(shù)g(x)=3x2-125x-t2+65t的圖象在區(qū)間(0,t)上與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則Δ=14425-12-t2+65t>0,g(0)=-t2+65t>0,g(t)=2t2-65t>0,t>0, 解得350)表示的是正實(shí)數(shù)x的小數(shù)部分,則h(x)∈[0,1).分別作出函數(shù)y=h(x),y=log6x的圖象,如圖所示. 由圖可知函數(shù)y=h(x)與函數(shù)y=log6x的圖象有4個(gè)交點(diǎn). 故函數(shù)y=g(x)的零點(diǎn)有4個(gè). 15.答案　①③④ 解析　對于①,因?yàn)閤2+y2+z2=y2+z2+x2=z2+x2+y2,所以σ(x,y,z)=x2+y2+z2是“和諧式子”; 對于②,取x=1,y=2,z=3,即可知σ(x,y,z)=x3-y3-z3不是“和諧式子”; 對于③,因?yàn)棣?x,y,z)=3x(3)2y9x2=3x3y3z,所以易知σ(x,y,z)=3x(3)2y9x2是“和諧式子”; 對于④,易知σ(x,y,z)=lgx+12log10y+lgz=lgx+lgy+lgz(x,y,z∈(0,+∞))是“和諧式子”.綜上,為“和諧式子”的有①③④. 16.答案　(210,+∞) 解析　根據(jù)“對稱函數(shù)”的定義可知,h(x)+4-x22=3x+b,即h(x)=6x+2b-4-x2.h(x)>g(x)恒成立等價(jià)于6x+2b-4-x2>4-x2,即3x+b>4-x2恒成立,設(shè)y1=3x+b,y2=4-x2,作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示,當(dāng)直線和上半圓相切時(shí),圓心到直線的距離d=|b|1+32=|b|10=2,即|b|=210,∴b=210或-210(舍去),故要使h(x)>g(x)恒成立,則b>210,即實(shí)數(shù)b的取值范圍是(210,+∞).