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專題能力訓練13　空間幾何體 一、能力突破訓練 1.(2018北京,理5)某四棱錐的三視圖如圖所示,在此四棱錐的側面中,直角三角形的個數(shù)為(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 2.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是(　　) A.π2+1 B.π2+3 C.3π2+1 D.3π2+3 3.如圖,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是28π3,則它的表面積是(　　) A.17π B.18π C.20π D.28π 4.已知平面α截球O的球面得圓M,過圓心Μ的平面β與α的夾角為π6,且平面β截球O的球面得圓N.已知球Ο的半徑為5,圓M的面積為9π,則圓N的半徑為(　　) A.3 B.13 C.4 D.21 5.在空間直角坐標系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,2).若S1,S2,S3分別是三棱錐D-ABC在xOy,yOz,zOx坐標平面上的正投影圖形的面積,則 (　　) A.S1=S2=S3 B.S2=S1,且S2≠S3 C.S3=S1,且S3≠S2 D.S3=S2,且S3≠S1 6.(2018全國Ⅰ,理7)某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如下圖.圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A,圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B,則在此圓柱側面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長度為(　　) A.217 B.25 C.3 D.2 7.在四面體ABCD中,AB=CD=6,AC=BD=4,AD=BC=5,則四面體ABCD的外接球的表面積為　　　　　. 8.由一個長方體和兩個圓柱構成的幾何體的三視圖如圖,則該幾何體的體積為　　　　　. 9.(2018全國Ⅱ,理16)已知圓錐的頂點為S,母線SA,SB所成角的余弦值為,SA與圓錐底面所成角為45.若△SAB的面積為515,則該圓錐的側面積為　. 10.下列三個圖中,左面是一個正方體截去一個角后所得多面體的直觀圖.右面兩個是其正視圖和側視圖. (1)請按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖(不要求敘述作圖過程); (2)求該多面體的體積(尺寸如圖). 11. 如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,過點E,F的平面α與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形. (1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由); (2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值. 二、思維提升訓練 12.如圖,網格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為(　　) A.9(2+1)π+83 B.9(3+2)π+43-8 C.9(3+2)π+43 D.9(2+1)π+83-8 13. 如圖,在圓柱O1O2內有一個球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則V1V2的值是　　　　　. 14. 如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5 cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點,△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形,沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當△ABC的邊長變化時,所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為　　　　　　. 15.若三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,SA⊥平面ABC,SA=215,AB=1,AC=2,∠BAC=60,則球O的表面積為　　　　　. 16.如圖①,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿對角線AC把矩形折成二面角D-AC-B(如圖②),并且點D在平面ABC內的射影落在AB上. (1)證明:AD⊥平面DBC; (2)若在四面體D-ABC內有一球,問:當球的體積最大時,球的半徑是多少?  專題能力訓練13　空間幾何體 一、能力突破訓練 1.C　解析 由該四棱錐的三視圖,得其直觀圖如圖. 由正視圖和側視圖都是等腰直角三角形,知PD⊥平面ABCD,所以側面PAD和PDC都是直角三角形. 由俯視圖為直角梯形,易知DC⊥平面PAD. 又AB∥DC,所以AB⊥平面PAD,所以AB⊥PA,所以側面PAB也是直角三角形. 易知PC=22,BC=5,PB=3,從而△PBC不是直角三角形.故選C. 2.A　解析 V=13312π12+1221=π2+1,故選A. 3.A　解析 由三視圖可知該幾何體是球截去后所得幾何體, 則784π3R3=28π3,解得R=2, 所以它的表面積為784πR2+34πR2=14π+3π=17π. 4.B　解析 如圖,∵OA=5,AM=3,∴OM=4. ∵∠NMO=π3,∴ON=OMsinπ3=23. 又∵OB=5,∴NB=OB2-ON2=13,故選B. 5.D　解析 三棱錐的各頂點在xOy坐標平面上的正投影分別為A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(1,1,0).顯然點D1為A1C1的中點,如圖(1),正投影為Rt△A1B1C1,其面積S1=1222=2. 三棱錐的各頂點在yOz坐標平面上的正投影分別為A2(0,0,0),B2(0,2,0),C2(0,2,0),D2(0,1,2).顯然B2,C2重合,如圖(2),正投影為△A2B2D2,其面積S2=1222=2. 三棱錐的各頂點在zOx坐標平面上的正投影分別為A3(2,0,0),B3(2,0,0),C3(0,0,0),D3(1,0,2),由圖(3)可知,正投影為△A3D3C3,其面積S3=1222=2. 綜上,S2=S3,S3≠S1.故選D. 圖(1) 圖(2) 圖(3) 　 6.B　解析 如圖所示,易知N為 CD 的中點,將圓柱的側面沿母線MC剪開,展平為矩形MCCM,易知CN=CC=4,MC=2,從M到N的路程中最短路徑為MN. 在Rt△MCN中,MN=MC2+NC2=25. 7.772π　解析 構造一個長方體,使得它的三條面對角線長分別為4,5,6,設長方體的三條邊長分別為x,y,z,則x2+y2+z2=772,而長方體的外接球就是四面體的外接球,所以S=4πR2=772π. 8.2+π2　解析 由三視圖還原幾何體如圖所示,故該幾何體的體積V=211+214π121=2+π2. 9.402π　解析 設O為底面圓圓心, ∵cos∠ASB=78,∴sin∠ASB=1-782=158. ∴S△ASB=12|AS||BS|158=515. ∴SA2=80. ∴SA=45. ∵SA與圓錐底面所成的角為45,∠SOA=90, ∴SO=OA=22SA=210. ∴S圓錐側=πrl=45210π=402π. 10.解 (1)作出俯視圖如圖所示. (2)依題意,該多面體是由一個正方體(ABCD-A1B1C1D1)截去一個三棱錐(E-A1B1D1)得到的,所以截去的三棱錐體積VE-A1B1D1=13S△A1B1D1A1E=1312221=23, 正方體體積V正方體ABCD-A1B1C1D1=23=8, 故所求多面體的體積V=8-23=223. 11.解 (1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示. (2)作EM⊥AB,垂足為M, 則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8. 因為EHGF為正方形, 所以EH=EF=BC=10. 于是MH=EH2-EM2=6,AH=10,HB=6. 因為長方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱, 所以其體積的比值為9779也正確. 二、思維提升訓練 12.D　解析 由三視圖可知,該幾何體是由一個四棱錐和一個圓錐拼接而成,故S=12(2π3)32+π32-(22)2+4348=9(2+1)π+83-8.故選D. 13.32　解析 設球O的半徑為r,則圓柱O1O2的高為2r,故V1V2=πr22r43πr3=32,答案為32. 14.415　解析 如圖所示,連接OD,交BC于點G.由題意知OD⊥BC,OG=36BC. 設OG=x,則BC=23x,DG=5-x, 三棱錐的高h=DG2-OG2=25-10x+x2-x2=25-10x. 因為S△ABC=1223x3x=33x2, 所以三棱錐的體積V=13S△ABCh=3x225-10x=325x4-10x5. 令f(x)=25x4-10x5,x∈0,52,則f(x)=100x3-50x4.令f(x)=0,可得x=2, 則f(x)在(0,2)單調遞增,在2,52單調遞減, 所以f(x)max=f(2)=80. 所以V≤380=415,所以三棱錐體積的最大值為415. 15.64π　解析 如圖,三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,因為AB=1,AC=2,∠BAC=60, 所以BC=3, 所以∠ABC=90. 所以△ABC截球O所得的圓O的半徑r=1. 設OO=x,球O的半徑為R,則R2=x2+12,R2=(SA-x)2+12, 所以x2+1=(215-x)2+1, 解得x=15,R2=(15)2+12,R=4. 所以球O的表面積為4πR2=64π. 16. (1)證明 設D在平面ABC內的射影為H,則H在AB上,連接DH,如圖, 則DH⊥平面ABC,得DH⊥BC. 又AB⊥BC,AB∩DH=H, 所以BC⊥平面ADB,故AD⊥BC. 又AD⊥DC,DC∩BC=C, 所以AD⊥平面DBC. (2)解 當球的體積最大時,易知球與三棱錐D-ABC的各面相切,設球的半徑為R,球心為O, 則VD-ABC=13R(S△ABC+S△DBC+S△DAC+S△DAB).由已知可得S△ABC=S△ADC=6. 過點D作DG⊥AC于點G,連接GH,如圖,可知HG⊥AC. 易得DG=125,HG=2720,DH=DG2-HG2=374,S△DAB=124374=372. 在△DAB和△BCD中, 因為AD=BC,AB=DC,DB=DB, 所以△DAB≌△BCD, 故S△DBC=372,VD-ABC=136374=372. 則R36+327+6+327=372, 于是(4+7)R=327, 所以R=372(4+7)=47-76.