2018年秋高中數(shù)學 第二章 推理與證明 2.3 數(shù)學歸納法學案 新人教A版選修2-2.doc
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2.3 數(shù)學歸納法 學習目標：1.了解數(shù)學歸納法的原理．(難點、易混點)2.能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題．(重點、難點) [自 主 預 習探 新 知] 1．數(shù)學歸納法的定義 一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．這種證明方法叫做數(shù)學歸納法． 思考：數(shù)學歸納法的第一步n0的初始值是否一定為1? [提示]不一定．如證明n邊形的內(nèi)角和為(n－2)180，第一個值n0＝3. 2．數(shù)學歸納法的框圖表示 [基礎自測] 1．思考辨析 (1)與正整數(shù)n有關的數(shù)學命題的證明只能用數(shù)學歸納法．( ) (2)數(shù)學歸納法的第一步n0的初始值一定為1.( ) (3)數(shù)學歸納法的兩個步驟缺一不可．( ) [答案] (1) (2) (3)√ 2．下面四個判斷中，正確的是( ) A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)中，當n＝1時，式子的值為1 B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)中，當n＝1時，式子的值為1＋k C．式子1＋＋＋…＋(n∈N*)中，當n＝1時，式子的值為1＋＋ D．設f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，則f(k＋1)＝f(k)＋＋＋ C [A中，n＝1時，式子＝1＋k； B中，n＝1時，式子＝1； C中，n＝1時，式子＝1＋＋； D中，f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－.故正確的是C.] 3．如果命題p(n)對所有正偶數(shù)n都成立，則用數(shù)學歸納法證明時，先驗證n＝________成立. 【導學號：31062162】 [答案] 2 4．已知Sn＝＋＋＋…＋，則S1＝________，S2＝________，S3＝________，S4＝________，猜想Sn＝________. [解析] 分別將1,2,3,4代入得S1＝， S2＝，S3＝，S4＝，觀察猜想得Sn＝. [答案] [合 作 探 究攻 重 難] 用數(shù)學歸納法證明等式 (1)用數(shù)學歸納法證明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)(n∈N*)，“從k到k＋1”左端增乘的代數(shù)式為________. 【導學號：31062163】 (2)用數(shù)學歸納法證明： ＋＋…＋＝(n∈N*)． [解析] (1)令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，則 f(k)＝(k＋1) (k＋2)…(k＋k)， f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以＝＝2(2k＋1)． [答案] 2(2k＋1) (2)證明： ①當n＝1時，＝成立． ②假設當n＝k(n∈N*)時等式成立，即有 ＋＋…＋＝， 則當n＝k＋1時，＋＋…＋＋＝＋ ＝， 即當n＝k＋1時等式也成立． 由①②可得對于任意的n∈N*等式都成立． [規(guī)律方法] 用數(shù)學歸納法證明恒等式時，應關注以下三點： (1)弄清n取第一個值n0時等式兩端項的情況； (2)弄清從n＝k到n＝k＋1等式兩端增加了哪些項，減少了哪些項； (3)證明n＝k＋1時結(jié)論也成立，要設法將待證式與歸納假設建立聯(lián)系，并朝n＝k＋1證明目標的表達式變形. [跟蹤訓練] 1．求證：1－ ＋ － ＋… ＋ － ＝ ＋ ＋… ＋ (n∈N*)． [證明] ①當n＝1時，左邊＝1－＝， 右邊＝，所以等式成立． ②假設n＝k(k∈N*)時， 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋成立． 那么當n＝k＋1時， 1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－ ＝＋＋…＋＋＋ ＝＋＋…＋＋， 所以n＝k＋1時，等式也成立． 綜上所述，對于任何n∈N*，等式都成立. 歸納—猜想—證明 已知數(shù)列，，，…，，…，計算S1，S2，S3，S4，根據(jù)計算結(jié)果，猜想Sn的表達式，并用數(shù)學歸納法進行證明. 【導學號：31062164】 [解] S1＝ ＝ ； S2＝ ＋ ＝ ； S3＝ ＋ ＝ ； S4＝ ＋ ＝ . 可以看出，上面表示四個結(jié)果的分數(shù)中，分子與項數(shù)n一致，分母可用項數(shù)n表示為3n＋1. 于是可以猜想Sn＝ . 下面我們用數(shù)學歸納法證明這個猜想． (1)當n＝1時，左邊＝S1＝ ， 右邊＝ ＝ ＝ ， 猜想成立． (2)假設當n＝k(k∈N*)時猜想成立，即 ＋ ＋ ＋… ＋ ＝ ， 當n＝k＋1時， ＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝， 所以，當n＝k＋1時猜想也成立． 根據(jù)(1)和(2)，可知猜想對任何n∈N*都成立． [規(guī)律方法] (1)“歸納—猜想—證明”的一般環(huán)節(jié) (2)“歸納—猜想—證明”的主要題型 ①已知數(shù)列的遞推公式，求通項或前n項和． ②由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問題，求使命題成立的參數(shù)值是否存在． ③給出一些簡單的命題(n＝1,2,3，…)，猜想并證明對任意正整數(shù)n都成立的一般性命題． [跟蹤訓練] 2．數(shù)列{an}滿足Sn＝2n－an(Sn為數(shù)列{an}的前n項和)，先計算數(shù)列的前4項，再猜想an，并證明. 【導學號：31062165】 [解] 由a1＝2－a1，得a1＝1； 由a1＋a2＝2 2－a2，得a2＝ ； 由a1＋a2＋a3＝2 3－a3，得a3＝ ； 由a1＋a2＋a3＋a4＝2 4－a4，得a4＝ . 猜想an＝ . 下面證明猜想正確： (1)當n＝1時，由上面的計算可知猜想成立． (2)假設當n＝k時猜想成立， 則有ak＝ ， 當n＝k＋1時，Sk＋ak＋1＝2(k＋1)－ak＋1， ∴ak＋1＝＝k＋1－ (2k－ )＝ ， 所以，當n＝k＋1時，等式也成立． 由(1)和(2)可知，an＝ 對任意正整數(shù)n都成立. 用數(shù)學歸納法證明不等式 [探究問題] 1．你能指出下列三組數(shù)的大小關系嗎？ (1)n，，； (2)，，； (3)＋，. 提示：(1)
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