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正態(tài)分布
一、選擇題（本大題共12小題，共60分）
1. 已知隨機(jī)變量X～N(6,1)，且P(5
6)=0.1，即可求出P(06)=1-0.9=0.1．
∴P(x<0)=P(x>6)=0.1，
∴P(04)，則μ與Dξ的值分別為( )
A. μ=3,Dξ=7 B. μ=3,Dξ=7 C. μ=3，Dξ=7 D. μ=3,Dξ=7
（正確答案）C
解：∵隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,7)，P(ξ<2)=P(ξ>4)，
∴μ=4+22=3，Dξ=7．
故選：C．
根據(jù)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,7)，P(ξ<2)=P(ξ>4)，由正態(tài)曲線的對(duì)稱性得結(jié)論．
本題考查正態(tài)分布，正態(tài)曲線有兩個(gè)特點(diǎn)：(1)正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱；(2)在正態(tài)曲線下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為1，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．
5. 已知隨機(jī)變量Z～N(1,1)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，若向正方形OABC中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為( )
附：若Z～N(μ,σ2)，則P(μ-σ4)=( )
A. 16 B. 14 C. 13 D. 12
（正確答案）A
解：∵正態(tài)總體的概率密度函數(shù)為f(x)=12πe?-(x-2)22(x∈R)，
∴總體X的期望μ為2，標(biāo)準(zhǔn)差為1，
故f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，
∵02f(x)dx=13，
∴P(X>4)=12-13=16，
故選：A．
根據(jù)正態(tài)總體的概率密度函數(shù)的意義即可得出X的期望和標(biāo)準(zhǔn)差，再由概率分布的對(duì)稱特點(diǎn)，即可得到答案．
本題考查正態(tài)分布的有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查概率分布的對(duì)稱性及運(yùn)算能力，正確理解正態(tài)總體的概率密度函數(shù)中參數(shù)μ、θ的意義是關(guān)鍵．
7. 已知隨機(jī)變量X～N(1,σ2)，若P(0100)=0.5，
P(100<ξ<120)=P(80<ξ<100)=0.45，
∴P(ξ>120)=P(ξ>100)-P(100<ξ<120)=0.05，
∴應(yīng)從120分以上的試卷中抽取份數(shù)為2000.05=10．
故選：B．
利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求出P(ξ>120)，再根據(jù)分層抽樣原理按比例抽取即可．
本題考查了正態(tài)分布的特點(diǎn)，分層抽樣原理，屬于中檔題．
二、填空題（本大題共4小題，共20分）
13. 設(shè)隨機(jī)變量ξ～N(2,4)，若P(ξ>a+2)=P(ξ<2a-3)，則實(shí)數(shù)a的值為______ ．
（正確答案）53
解：由題意可知隨機(jī)變量ξ～N(2,4)，滿足正態(tài)分布，對(duì)稱軸為μ=2，
P(ξ>a+2)=P(ξ<2a-3)，
則：a+2+2a-3=4，解得a=53．
故答案為53．
直接利用正態(tài)分布的對(duì)稱性，列出方程求解即可．
本題考查正態(tài)分布的基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．
14. 已知隨機(jī)變量ξ～N(1,σ2)，若P(ξ>3)=0.2，則P(ξ≥-1)=______．
（正確答案）0.8
解：隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2)，
∴曲線關(guān)于x=1對(duì)稱，
∵P(ξ>3)=0.2，∴P(ξ≤-1)=P(ξ>3)，
∴P(ξ≥-1)=1-P(ξ>3)=1-0.2=0.8．
故答案為：0.8
根據(jù)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，知正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是x=1，且P(ξ>3)=0.2，依據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱性，即可求得答案．
本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查概率的性質(zhì)，是一個(gè)基礎(chǔ)題．
15. 某班有50名學(xué)生，一次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)?chǔ)畏恼龖B(tài)分布N(110,102)，已知P(100≤ξ≤110)=0.36，估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的有______ 人.
（正確答案）7
解：∵考試的成績(jī)?chǔ)畏恼龖B(tài)分布N(110,102).
∴考試的成績(jī)?chǔ)侮P(guān)于ξ=110對(duì)稱，
∴P=(ξ>120)=0.5-P(100≤ξ≤110)=0.5-0.36=0.14，
所以估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的人數(shù)為500.14=7(人)．
故答案為：7．
根據(jù)考試的成績(jī)?chǔ)畏恼龖B(tài)分布N(110,102).得到考試的成績(jī)?chǔ)侮P(guān)于ξ=110對(duì)稱，根據(jù)P(100≤ξ≤110)=0.36，得到P(ξ≥120)=0.14，根據(jù)頻率乘以樣本容量得到這個(gè)分?jǐn)?shù)段上的人數(shù)．
本題考查正態(tài)曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是考試的成績(jī)?chǔ)侮P(guān)于ξ=110對(duì)稱，利用對(duì)稱寫出要用的一段分?jǐn)?shù)的頻數(shù)，題目得解．
16. 若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2)，且P(ξ<2)=0.8，則P(0<ξ<1)的值為______ ．
（正確答案）0.3
解：P(1<ξ<2)=P(ξ<2)-P(ξ<1)=0.8-0.5=0.3，
∴P(0<ξ<1)=P(1<ξ<2)=0.3．
故答案為：0.3．
根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性先求出P(1<ξ<2)，再求出P(0<ξ<1)．
本題考查了正態(tài)分布的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
三、解答題（本大題共3小題，共40分）
17. 為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：cm).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2).
(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望；
(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查．
(ⅰ)試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性；
(ⅱ)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
經(jīng)計(jì)算得x.=116i=116xi=9.97，s=116i=116(xi-x.)2=116(i=116xi2-16x.2)≈0.212，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i=1，2，…，16．
用樣本平均數(shù)x.作為μ的估計(jì)值μ，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值σ，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除(μ-3σ,μ+3σ)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ(精確到0.01)．
附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則P(μ-3σ82.7)=1-0.68262=0.1587，
∴在這2000名考生中，能進(jìn)入復(fù)試的有：20000.1587≈317人．
(3)由已知得ξ的可能取值為1，2，3，
P(ξ=1)=C41C22C63=15，
P(ξ=2)=C42C21C63=35，
P(ξ=3)=C43C20C63=15，
∴ξ的分布列為：
ξ
1
2
3
P
15
35
15
Eξ=115+235+315=2(人)．
(1)由所得數(shù)據(jù)列成的頻數(shù)分布表，利用平均數(shù)公式和方差公式能求出抽取的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2.(2)由(1)知z～N(70,161)，由此能求出P(z>82.7)=1-0.68262=0.1587，從而能求出在這2000名考生中，能進(jìn)入復(fù)試人數(shù)．
(3)由已知得ξ的可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列與期望E(ξ)．
本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意可能事件概率計(jì)算公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．
19. “過(guò)大年，吃水餃”是我國(guó)不少地方過(guò)春節(jié)的一大習(xí)俗.2018年春節(jié)前夕，A市某質(zhì)檢部門隨機(jī)抽取了100包某種品牌的速凍水餃，檢測(cè)其某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，
(1)求所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x.(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；
(2)①由直方圖可以認(rèn)為，速凍水餃的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，利用該正態(tài)分布，求Z落在(14.55,38.45)內(nèi)的概率；
②將頻率視為概率，若某人從某超市購(gòu)買了4包這種品牌的速凍水餃，記這4包速凍水餃中這種質(zhì)量指標(biāo)值位于(10,30)內(nèi)的包數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：①計(jì)算得所抽查的這100包速凍水餃的質(zhì)量指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差為σ=142.75≈11.95；
②若Z服從正態(tài)分布N(?μ,σ2?)，則P(μ-σ
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山東省齊河縣高考數(shù)學(xué)三輪沖刺
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正態(tài)分布練習(xí)含解析理
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