2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法 2.3 反證法與放縮法教案 新人教A版選修4-5.docx
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2.3反證法與放縮法 一、教學(xué)目標 1．掌握用反證法證明不等式的方法． 2．了解放縮法證明不等式的原理，并會用其證明不等式． 二、課時安排 1課時 三、教學(xué)重點 掌握用反證法證明不等式的方法． 四、教學(xué)難點 了解放縮法證明不等式的原理，并會用其證明不等式． 五、教學(xué)過程 （一）導(dǎo)入新課 若x，y都是正實數(shù)，且x＋y>2.求證：<2和<2中至少有一個成立． 【證明】 假設(shè)<2和<2都不成立， 則有≥2和≥2同時成立，因為x>0且y>0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x， 兩式相加， 得2＋x＋y≥2x＋2y， 所以x＋y≤2， 這與已知條件x＋y>2矛盾，因此<2和<2中至少有一個成立． （二）講授新課 教材整理1 反證法 先假設(shè) ，以此為出發(fā)點，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進行正確的推理，得到和 (或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等) 的結(jié)論，以說明 不正確，從而證明原命題成立，我們把這種證明問題的方法稱為反證法． 教材整理2 放縮法 證明不等式時，通過把不等式中的某些部分的值 或 ，簡化不等式，從而達到證明的目的，我們把這種方法稱為放縮法． （三）重難點精講 題型一、利用反證法證“至多”“至少”型命題 例1已知f(x)＝x2＋px＋q，求證： (1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2； (2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于. 【精彩點撥】 (1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函數(shù)f(x)求值推算可得結(jié)論． (2)假設(shè)結(jié)論不成立，推出矛盾，得結(jié)論． 【自主解答】 (1)由于f(x)＝x2＋px＋q， ∴f(1)＋f(3)－2f(2) ＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2. (2)假設(shè)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，則有|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2.(*) 又|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)| ≥f(1)＋f(3)－2f(2) ＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)＝2， ∴|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥2與(*)矛盾，∴假設(shè)不成立． 故|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于. 規(guī)律總結(jié)： 1．在證明中含有“至多”“至少”等字眼時，常使用反證法證明．在證明中出現(xiàn)自相矛盾，說明假設(shè)不成立． 2．在用反證法證明的過程中，由于作出了與結(jié)論相反的假設(shè)，相當于增加了題設(shè)條件，因此在證明過程中必須使用這個增加的條件，否則將無法推出矛盾． [再練一題] 1．已知實數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1.求證：a，b，c，d中至多有三個是非負數(shù)． 【證明】 a，b，c，d中至多有三個是非負數(shù)，即至少有一個是負數(shù)，故有假設(shè)a，b，c，d都是非負數(shù)． 即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0， 則1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd. 這與已知中ac＋bd＞1矛盾， ∴原假設(shè)錯誤， 故a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)． 即a，b，c，d中至多有三個是非負數(shù). 題型二、利用放縮法證明不等式 例2已知an＝2n2，n∈N*，求證：對一切正整數(shù)n，有＋＋…＋＜. 【精彩點撥】 針對不等式的特點，對其通項進行放縮、列項． 【自主解答】 ∵當n≥2時，an＝2n2＞2n(n－1)， ∴＝＜＝ ＝， ∴＋＋…＋＜1＋＋＋…＋ ＝1＋ ＝1＋＝－＜， 即＋＋…＋＜. 規(guī)律總結(jié)： 1．放縮法在不等式的證明中無處不在，主要是根據(jù)不等式的傳遞性進行變換． 2．放縮法技巧性較強，放大或縮小時注意要適當，必須目標明確，合情合理，恰到好處，且不可放縮過大或過小，否則，會出現(xiàn)錯誤結(jié)論，達不到預(yù)期目的，謹慎地添或減是放縮法的基本策略． [再練一題] 2．求證：1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N＋)． 【證明】 ∵k2＞k(k－1)， ∴＜＝－(k∈N＋，且k≥2)． 分別令k＝2,3，…，n得 ＜＝1－，＜＝－，…， ＜＝－. 因此1＋＋＋…＋ ＜1＋＋＋…＋ ＝1＋1－＝2－. 故不等式1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N＋)． 題型三、利用反證法證明不等式 例3已知△ABC的三邊長a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：∠B＜90. 【精彩點撥】 本題中的條件是三邊間的關(guān)系＝＋，而要證明的是∠B與90的大小關(guān)系．結(jié)論與條件之間的關(guān)系不明顯，考慮用反證法證明． 【自主解答】 ∵a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，∴＝＋.假設(shè)∠B＜90不成立，即∠B≥90，則∠B是三角形的最大內(nèi)角，在三角形中，有大角對大邊， ∴b＞a＞0，b＞c＞0， ∴＜，＜，∴＜＋， 這與＝＋相矛盾． ∴假設(shè)不成立，故∠B＜90成立． 規(guī)律總結(jié)： 1．本題中從否定結(jié)論進行推理，即把結(jié)論的反面“∠B≥90”作為條件進行推證是關(guān)鍵．要注意否定方法，“＞”否定為“≤”，“＜”否定為“≥”等． 2．利用反證法證題的關(guān)鍵是利用假設(shè)和條件通過正確推理，推出和已知條件或定理事實或假設(shè)相矛盾的結(jié)論． [再練一題] 3．若a3＋b3＝2，求證：a＋b≤2. 【證明】 法一 假設(shè)a＋b>2， a2－ab＋b2＝＋b2≥0， 故取等號的條件為a＝b＝0，顯然不成立， ∴a2－ab＋b2>0. 則a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)>2(a2－ab＋b2)， 而a3＋b3＝2，故a2－ab＋b2<1， ∴1＋ab>a2＋b2≥2ab，從而ab<1， ∴a2＋b2<1＋ab<2， ∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<2＋2ab<4， ∴a＋b<2. 這與假設(shè)矛盾，故a＋b≤2. 法二 假設(shè)a＋b>2，則a>2－b， 故2＝a3＋b3>(2－b)3＋b3， 即2>8－12b＋6b2，即(b－1)2<0， 這顯然不成立，從而a＋b≤2. 法三 假設(shè)a＋b>2，則(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)>8. 由a3＋b3＝2，得3ab(a＋b)>6，故ab(a＋b)>2. 又a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2， ∴ab(a＋b)>(a＋b)(a2－ab＋b2)， ∴a2－ab＋b2下載提示(請認真閱讀)
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