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直線的傾斜角和斜率 一、選擇題（本大題共12小題，共60分） 1. 設點P是曲線y=x3-3x+35上的任意一點，點P處切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是( ) A. [0,2π3] B. [0,π2)∪[2π3，π) C. (π2,2π3] D. [π3,2π3] （正確答案）B 【分析】 本題考查導數(shù)的幾何意義，直線的傾斜角與斜率.先求函數(shù)的導數(shù)的范圍，即曲線斜率的取值范圍，從而求出切線的傾斜角的范圍． 【解答】 解：，tanα≥-3， ∴α∈[0,π2)∪[2π3,π), 故選B． 2. 已知直線2x-y-3=0的傾斜角為θ，則sin2θ的值是( ) A. 14 B. 34 C. 45 D. 25 （正確答案）C 解：由直線2x-y-3=0方程，得直線2x-y-3=0的斜率k=2， ∵直線2x-y-3=0的傾斜角為θ， ∴tanθ=2， ∴sin2θ=2sinθcosθsin2θ+cos2θ=2tanθ1+tan2θ=221+22=45． 故選：C． 首先根據直線斜率求出θ的正切值，然后利用二倍角的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關系式化簡所求即可計算得解． 本題考查直線斜率的意義，同角三角函數(shù)關系，倍角公式等三角恒等變換知識的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題． 3. 函數(shù)f(x)=ln(x2+1)的圖象在點(1,f(1))處的切線的傾斜角為( ) A. 0 B. π2 C. π3 D. π4 （正確答案）D 【分析】 本題主要考查導數(shù)的幾何意義，求函數(shù)的導數(shù)，屬于基礎題.先求出函數(shù)在切點出的導數(shù)值，即為切線在此處的斜率，從而求得切線在此處的傾斜角． 【解答】 解：函數(shù)f(x)=ln(x2+1)的圖象在點(1,f(1))處的切線的斜率為(1x2+1?2x)|x=1=1， 設函數(shù)f(x)=ln(x2+1)的圖象在點(1,f(1))處的切線的傾斜角為θ， 則tanθ=1，∴θ=π4， 故選D． 4. 直線MN的斜率為2，其中點N(1,-1)，點M在直線y=x+1上，則( ) A. M(5,7) B. M(4,5) C. M(2,1) D. M(2,3) （正確答案）B 解：根據題意，設M的坐標為(a,b)， 若點M在直線y=x+1上，則有b=a+1，① 若直線MN的斜率為2，則有b+1a-1=2，② 聯(lián)立①②解可得a=4，b=5， 即M的坐標為(4,5)； 故選：B． 設M的坐標為(a,b)，根據題意可得b=a+1①，b+1a-1=2②，聯(lián)立①②解可得a=4，b=5，即可得答案． 本題考查直線的斜率計算，關鍵是掌握直線的斜率計算公式． 5. 一條光線從點(-2,-3)射出，經y軸反射后與圓(x+3)2+(y-2)2=1相切，則反射光線所在直線的斜率為( ) A. -53或-35 B. -32或-23 C. -54或-45 D. -43或-34 （正確答案）D 解：點A(-2,-3)關于y軸的對稱點為A(2,-3)， 故可設反射光線所在直線的方程為：y+3=k(x-2)，化為kx-y-2k-3=0． ∵反射光線與圓(x+3)2+(y-2)2=1相切， ∴圓心(-3,2)到直線的距離d=|-3k-2-2k-3|k2+1=1， 化為24k2+50k+24=0， ∴k=-43或-34． 故選：D． 點A(-2,-3)關于y軸的對稱點為A(2,-3)，可設反射光線所在直線的方程為：y+3=k(x-2)，利用直線與圓相切的性質即可得出． 本題考查了反射光線的性質、直線與圓相切的性質、點到直線的距離公式、點斜式、對稱點，考查了計算能力，屬于中檔題． 6. 直線xsinα+y+2=0的傾斜角的取值范圍是( ) A. [0,π) B. [0,π4]∪[34π,π) C. [0,π4] D. [0,π4]∪(π2，π) （正確答案）B 解：直線xsinα+y+2=0的斜率為k=-sinα， ∵|sinα|≤1，∴|k|≤1， ∴傾斜角的取值范圍是[0,π4]∪[34π,π)， 故選：B． 由直線的方程可確定直線的斜率，可得其范圍，進而可求傾斜角的取值范圍． 本題考查直線的斜率與傾斜角的關系，屬基礎題． 7. 直線l過點A(1,2)，在x軸上的截距取值范圍是(-3,3)，其斜率取值范圍是( ) A. -11或k<12 C. k>15或k<1 D. k>12或k<-1 （正確答案）D 解：因為直線l過點A(1,2)，在x軸上的截距取值范圍是(-3,3)， 所以直線端點的斜率分別為：2-01-3=-1，2-01+3=12，如圖： 所以k>12或k<-1． 故選D． 直接利用直線斜率公式求出兩個端點的斜率，即可得到結果． 本題考查直線方程的應用，直線的斜率范圍的求法，考查計算能力． 8. 已知直線l經過兩點P(1,2)，Q(4,3)，那么直線l的斜率為( ) A. -3 B. -13 C. 13 D. 3 （正確答案）C 解：直線l的斜率k=3-24-1=13， 故選：C． 利用斜率計算公式即可得出． 本題考查了斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題． 9. 由射線y=43x(x≥0)逆時針旋轉到射線y=-512x(x≤0)的位置所成角為θ，則cosθ=( ) A. -1665 B. 1665 C. -5665 D. 5665 （正確答案）A 解：如圖所示， 由射線y=43x(x≥0)逆時針旋轉到射線y=-512x(x≤0) 的位置所成角為θ， 則tanθ=-512-431+43(-512)=-6316； ∴sinθcosθ=-6316，即sinθ=-6316cosθ； ∴sin2θ+cos2θ=3969256cos2θ+cos2θ=4225256cos2θ=1， ∴cosθ=1665，應取cosθ=-1665． 故選：A． 根據直線l1到l2的角的正切公式求出tanθ，再利用同角的三角函數(shù)關系求出cosθ的值． 本題考查了直線l1到l2的角的正切公式以及同角三角函數(shù)關系應用問題，是基礎題． 10. 若直線的參數(shù)方程為x=1+2ty=2-3t(t為參數(shù))，則直線的斜率為( ) A. 23 B. -23 C. 32 D. -32 （正確答案）D 解：∵直線的參數(shù)方程為x=1+2ty=2-3t(t為參數(shù))，消去參數(shù)化為普通方程可得y=-32x+72． 故直線的斜率等于-32． 故選：D． 把直線的參數(shù)方程消去參數(shù)化為普通方程可得y=-32x+72，從而得到直線的斜率． 本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，根據直線的方程求直線的斜率，屬于基礎題． 11. 設函數(shù)f(x)=g(x)+x2，曲線y=g(x)在點(1,g(1))處的切線方程為y=2x+1，則曲線y=f(x)在點(1,f(1))處切線的斜率為( ) A. 4 B. -14 C. 2 D. -12 （正確答案）A 解：f(x)=g(x)+2x． ∵y=g(x)在點(1,g(1))處的切線方程為y=2x+1， ∴g(1)=2，∴f(1)=g(1)+21=2+2=4， ∴y=f(x)在點(1,f(1))處切線斜率為4． 故選：A． 欲求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處切線的斜率，即求f(1)，先求出f(x)，然后根據曲線y=g(x)在點(1,g(1))處的切線方程為y=2x+1求出g(1)，從而得到f(x)的解析式，即可求出所求． 本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，直線的斜率等有關基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，屬于基礎題． 12. 直線 l與直線y=1和x-y-7=0分別交于P、Q兩點，線段PQ的中點坐標為(1,-1)，那么直線l的斜率是( ) A. 23 B. -23 C. 32 D. -32 （正確答案）B 解：設P(a,1)，Q(b,b-7)， ∵線段PQ的中點坐標為(1,-1)， ∴1=a+b2，-1=1+b-72 解得，a=-2，b=4 ∴P(-2,1)，Q(4,-3)，直線l的斜率為：-3-14+2=-23 故選B 設出P、Q兩點坐標，根據重點公式求出P、Q兩點的坐標，利用兩點表示的斜率公式計算直線l的斜率． 本題考查直線的斜率公式、中點公式的簡單應用，屬于基礎性試題 二、填空題（本大題共4小題，共20分） 13. 直線l：x=tcosαy=tsinα(t為參數(shù))與圓C：(x+6)2+y2=25交于A，B兩點，且|AB|=10，則直線l 的斜率為______ ． （正確答案）153 【分析】 本題考查了直線參數(shù)方程及其應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 【解答】 解：直線l：x=tcosαy=tsinα(t為參數(shù))與圓C：(x+6)2+y2=25聯(lián)立，可得t2+12tcosα+11=0． t1+t2=-12cosα，t1t2=11． ∴|AB|=|t1-t2|=10?(t1+t2)2-4t1t2=10，?cos2α=38，tanα=153， ∴直線AB的斜率為153． 故答案為153． 14. 曲線y=x3-2x+4在點(1,3)處的切線的傾斜角的弧度數(shù)為______． （正確答案）π4 解：y=3x2-2 令x=1得到切線的斜率k=3-2=1 設傾斜角為α則tanα=k=1 ∵0≤α≤π ∴α=π4 故答案為π4 求出導函數(shù)，求出在切點處的導數(shù)值，即切線的斜率，利用切線的斜率時傾斜角的正切值，再根據傾斜角的范圍求出傾斜角． 本題考查曲線在切點處的導數(shù)值是切線的斜率、考查直線的斜率與傾斜角的關系． 15. 已知點P是圓C：x2+y2-8x-8y+28=0上任意一點，曲線N：x2+4y2=4與x軸交于A，B兩點，直線OP與曲線N交于點M，記直線MA，MB，OP的斜率分別為k1，k2，k3，則k1k2k3的取值范圍是________． （正確答案）[-4-712,-4+712] 本題考查直線的斜率問題和圓的切線的斜率以及橢圓的標準方程和幾何意義等，考查內容較多，可分開分別求三個斜率，最后求出三者的積的范圍． 解：曲線N為橢圓與x軸的兩個交點為A(2,0)，B(2,0)，設M(a,b)，則k1=ba+2,k2=ba-2,k1k2=ba+2ba-2=b2a2-4，又點M滿足a2+4b2=4,即a2-4=-4b2所以k1k2=-14． 因為P點在圓(x-4)2+(y-4)2=4上，所以當過圓外一點(0,0)與圓上連線的為圓的切線時，斜率取得最大值和最小值.下面求過原點的圓的切線的斜率． 設切線為y=kx，則圓心(4,4)到直線的距離為半徑2，即|4k-4|1+k2=2，整理得3k2-8k+3=0，解得：k=4-73或k=4+73，所以4-73≤k3≤4+73． 則-4-712≤k1k2k3≤-4+712． 故應填[-4-712,-4+712]． 16. 直線xcosα+3y+2=0的傾斜角范圍為______ ． （正確答案）[0,π6]∪[5π6,π) 解：由于直線xcosα+3y+2=0的斜率為-cosα3，由于-1≤cosα≤1， ∴-33≤-cosα3≤33． 設此直線的傾斜角為θ，則0≤θ<π，故-33≤tanθ≤33． ∴θ∈[0,π6]∪[5π6,π)． 故答案為：[0,π6]∪[5π6,π)． 由于直線xcosα+3y+2=0的斜率為-cosα3，設此直線的傾斜角為θ，則0≤θ<π，且-33≤tanθ≤33， 由此求出θ的范圍． 本題主要考查直線的傾斜角和斜率的關系，以及傾斜角的取值范圍，已知三角函數(shù)值求角的大小，屬于基礎題． 三、解答題（本大題共3小題，共30分） 17. 在直角坐標系xOy中，過點P(32,32)作傾斜角為α的直線l與曲線C：x2+y2=1相交于不同的兩點M，N． (1)寫出直線l的參數(shù)方程； (2)求 1|PM|+1|PN|的取值范圍． （正確答案）解：(1)x=32+tcosαy=32+tsinα(t為參數(shù))． (2)x=32+tcosαy=32+tsinα(t為參數(shù))代入x2+y2=1，得t2+(3cosα+3sinα)t+2=0，△>0?sin(α+π6)>631|PM|+1|PN|=-1t1-1t2=-(t1+t2)t1t2=3cosα+3sinα2=3sin(α+π6)∈(2,3]． (1)由直線經過的定點和直線的傾斜角求得直線的參數(shù)方程即可； (2)聯(lián)立直線的參數(shù)方程與圓的方程，結合參數(shù)的幾何意義即可求得最終結果． 本題考查直線的參數(shù)方程，參數(shù)方程幾何意義的應用等，重點考查學生對基礎概念的理解和計算能力，屬于基礎題． 18. 過點P(-1,0)作傾斜角為a直線與曲線x23+y22=1相交于M、N兩點 (1)寫出直線MN的參數(shù)方程； (2)求PM?PN的最小值． （正確答案）解：(1)∵直線MN過點P(-1,0) 且傾斜角為a ∴直線MN的參數(shù)方程為：x=-1+t?cosαy=t?sinα(t為參數(shù))…2分 (2)將直線MN的參數(shù)方程代入曲線x23+y22=1得 2(-1+t?cosα)2+3(t?sinα)2=6，整理得 (3-cos2α)?t2-4cosα?t-4=0，…5分 設M，N對應的對數(shù)分別為t1，t2， 則|PM|?|PN|=|t1?t2|=43-cos2α…8分 當cosα=0時，|PM|?|PN|取得最小值為43…10分 (1)由已知中直線MN過點P(-1,0)且傾斜角為a，根據直線參數(shù)方程的定義，將P點坐標和傾斜角代入即可得到直線MN的參數(shù)方程； (2)將(1)中所得直線參數(shù)方程代入曲線x23+y22=1方程，并將其化為一個關于t的一元二次方程，根據|PM|?|PN|=|t1?t2|，結合韋達定理和余弦函數(shù)的性質，即可求出PM?PN的最小值． 本題考查的知識點是直線的參數(shù)方程與參數(shù)方程的優(yōu)越性，其中求出直線的方程，并正確理解參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義是解答本題的關鍵． 19. 在直角坐標系xOy中，設傾斜角為α的直線l：y=3+tsinαx=2+tcosα(t為參數(shù))與曲線C：y=sinθx=2cosθ(θ為參數(shù))相交于不同兩點A，B． (1)若α=π3，求線段AB中點M的坐標； (2)若|PA|?|PB|=|OP|2，其中P(2,3)，求直線l的斜率． （正確答案）解：(1)當α=π3時，由y=3+tsinαx=2+tcosα，得y=3+32tx=2+12t， ∴直線方程為y=3x-3， 由y=sinθx=2cosθ，得曲線C的普通方程為x24+y2=1， 設A(x1,y1)，B(x2,y2)再由x24+y2=1y=3x-3，得：13x2-24x+8=0， ∴x1+x22=1213，y1+y22=3(x1+x2)2-3=-313， ∴M的坐標為(1213,-313)； (2)把直線的參數(shù)方程代入x24+y2=1， 得：(1+3sin2α)t2+(83sinα+4cosα)t+12=0， ∴t1t2=12(1+3sin2α)，由|PA|?|PB|=|t1t2|=|OP|2=7，得：121+3sin2α=7， ∴sin2α=521，cos2α=1621， 得tan2α=516，∴tanα=54． 又△=32cosα(23sinα-cosα)>0，故取tanα=54． ∴直線L的斜率為54． (1)把直線和圓的參數(shù)方程化為普通方程，聯(lián)立后根據根與系數(shù)的關系求出兩交點中點的橫坐標，待入直線方程再求中點的縱坐標； (2)把直線方程和圓的方程聯(lián)立，化為關于t的一元二次方程，運用直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，結合給出的等式求解直線的傾斜角的正切值，則斜率可求， 本題考查了參數(shù)方程化普通方程，考查了直線的斜率、直線與橢圓的位置關系，解答此題(2)的關鍵是靈活運用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，是中檔題．