《2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

二　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式.2.了解貝努利不等式，并會(huì)證明貝努利不等式.3.體會(huì)歸納—猜想—證明的思想方法． 知識(shí)點(diǎn)　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 思考1　用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題必須注意的步驟是什么？ 答案　(1)歸納奠基：驗(yàn)證初始值n＝n0. (2)歸納遞推：在假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N＋)成立的前提下，證明n＝k＋1時(shí)問(wèn)題成立． 思考2　證明不等式與證明等式有什么不同？ 答案　證明不等式需注意的是對(duì)式子進(jìn)行“放縮”． 梳理　(1)利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，由n＝k時(shí)命題成立，推導(dǎo)n＝k＋1命題成立時(shí)，常常要與其他方法，如比較法、分析法、綜合法、放縮法等結(jié)合進(jìn)行． (2)貝努利(Bernoulli)不等式 如果x是實(shí)數(shù)，且x＞－1，x≠0，n為大于1的自然數(shù)，則有(1＋x)n＞1＋nx. (3)貝努利不等式的推廣 事實(shí)上，把貝努利不等式中的正整數(shù)n改為實(shí)數(shù)α?xí)r， 仍有類似不等式成立． ①當(dāng)α是實(shí)數(shù)，并且滿足α＞1或者α＜0時(shí)，有(1＋x)α≥1＋αx(x＞－1)； ②當(dāng)α是實(shí)數(shù)，并且滿足0＜α＜1時(shí)，有(1＋x)α≤1＋αx(x＞－1)． 類型一　數(shù)學(xué)歸納法與放縮法結(jié)合證明不等式 例1　證明：1＋＋＋…＋＜2－(n∈N＋，n≥2)． 證明　(1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1＋＝，右邊＝2－＝，由于＜，因此命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥2)時(shí)，命題成立， 即1＋＋＋…＋＜2－. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，1＋＋＋…＋＋＜2－＋＜2－＋＝2－＋＝2－， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立． 由(1)(2)可知，不等式對(duì)一切n∈N＋，n≥2都成立． 反思與感悟　在歸納遞推過(guò)程中常用到放縮法，這也是在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問(wèn)題時(shí)常用的方法之一． 跟蹤訓(xùn)練1　用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋＋＋…＋＜n(n∈N＋，n＞1)． 證明　(1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1＋＋，右邊＝2， 左邊＜右邊，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k＞1，k∈N＋)時(shí)，不等式成立， 即1＋＋＋…＋2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>.觀察上述結(jié)果，可推測(cè)出一般結(jié)論(　　) A．f(2n)> B．f(n2)> C．f(2n)≥ D．以上都不正確 答案　C 解析　由f(2)＝，f(22)＞，f(23)＞， f(24)＞，f(25)＞， 可推測(cè)出f(2n)≥. 二、填空題 7．證明：＜1＋＋＋…＋＜n＋1(n＞1)，當(dāng)n＝2時(shí)，要證明的式子為_(kāi)_______________． 答案　2＜1＋＋＋＜3 解析　當(dāng)n＝2時(shí)， 要證明的式子為2＜1＋＋＋＜3. 8．以下是用數(shù)學(xué)歸納法證明“n∈N＋時(shí)，2n＞n2”的過(guò)程，證明： (1)當(dāng)n＝1時(shí)，21＞12，不等式顯然成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)不等式成立，即2k＞k2. 那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，2k＋1＝22k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2. 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式也成立． 根據(jù)(1)和(2)可知，對(duì)任何n∈N＋不等式都成立． 其中錯(cuò)誤的步驟為_(kāi)_______．(填序號(hào)) 答案　(2) 解析　在2k＋1＝22k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1中用了k2≥2k＋1，這是一個(gè)不確定的結(jié)論． 如k＝2時(shí)，k2＜2k＋1. 9．用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)于足夠大的自然數(shù)n，總有2n>n3”時(shí)，驗(yàn)證第一步不等式成立所取的第一個(gè)值n0最小應(yīng)當(dāng)是________． 答案　10 10．用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n＞n2＋1對(duì)于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取________． 答案　5 解析　n取1,2,3,4時(shí)不等式不成立，起始值為5. 三、解答題 11．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)n，不等式…>成立． 證明　(1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1＋＝，右邊＝， 左邊>右邊，所以不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2且k∈N＋)時(shí)，不等式成立， 即…>， 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， > ＝＝> ＝＝， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 由(1)(2)知，對(duì)一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立． 12．已知Sn＝1＋＋＋…＋(n＞1，且n∈N＋)，求證：＞1＋. 證明　(1)當(dāng)n＝2時(shí)，＝1＋＋＋＝＞1＋，即n＝2時(shí)命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k＞2，k∈N＋)時(shí)，命題成立， 即＝1＋＋＋…＋＞1＋. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＝1＋＋＋…＋＋＋…＋ 共項(xiàng) ＞1＋＋＋＋…＋ ＞1＋＋ ＝1＋＋ ＝1＋， 故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立． 由(1)(2)知，對(duì)n∈N＋，n＞2，＞1＋成立． 13．已知遞增等差數(shù)列{an}滿足：a1＝1，且a1，a2，a4成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若不等式…≤對(duì)任意n∈N＋恒成立，試猜想出實(shí)數(shù)m的最小值，并證明． 解　(1)設(shè)數(shù)列{an}公差為d(d>0)， 由題意可知a1a4＝a，即1(1＋3d)＝(1＋d)2， 解得d＝1或d＝0(舍去)． 所以an＝1＋(n－1)1＝n. (2)不等式等價(jià)于…≤， 當(dāng)n＝1時(shí)，m≥； 當(dāng)n＝2時(shí)，m≥； 而>，所以猜想，m的最小值為. 下面證不等式…≤對(duì)任意n∈N＋恒成立． 證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，≤＝，命題成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)， 不等式…≤成立， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， …≤， 只需證≤， 只需證≤， 只需證≤2k＋2， 只需證4k2＋8k＋3≤4k2＋8k＋4， 即證3≤4，顯然成立． 所以，對(duì)任意n∈N＋，不等式 …≤恒成立． 四、探究與拓展 14．求證：＋＋…＋＜(n∈N＋)． 證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)， 左邊＝，右邊＝1，左邊＜右邊， 所以不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)不等式成立， 即＋＋…＋＜成立， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＋＋…＋＋ ＜＋， 只需證明＋＜即可， 即證－＞， 即證＞＋， 即證(－1)＞， 而當(dāng)k≥1時(shí)上式顯然成立， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 由(1)(2)可知，不等式對(duì)所有n∈N＋都成立．