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2.4　重力勢能 學(xué)習(xí)目標 核心凝煉 1.理解重力勢能的概念，會用重力勢能的定義進行計算。 1個概念——重力勢能 1個關(guān)系——重力做功與重力勢能變化的關(guān)系 2.理解重力勢能的變化和重力做功的關(guān)系，知道重力做功與路徑無關(guān)。 3.知道重力勢能的相對性。 一、重力做的功 [觀圖助學(xué)] (1)瀑布中的水落下的過程中重力做什么功？怎樣計算重力做的功？ (2)貨物被起重機吊起的過程中重力做什么功？怎樣計算重力做的功？ 1.做功表達式：WG＝mgh＝mgh1－mgh2，式中h指初位置與末位置的高度差；h1、h2分別指初位置、末位置的高度。 2.做功的正負：物體下降時重力做正功；物體被舉高時重力做負功。 3.做功的特點：物體運動時，重力對它做的功只跟它的起點和終點的位置有關(guān)，而跟物體運動的路徑無關(guān)。 [理解概念] 判斷下列說法是否正確。 (1)瀑布中的水落下的過程中重力做正功。(√) (2)貨物被起重機吊起的過程中重力做正功。() (3)重力做功與位移有關(guān)。() 二、重力勢能 1.定義：物體所受重力與所處高度的乘積。 2.表達式：Ep＝mgh。 3.標矢性：重力勢能是標量，只有大小，沒有方向。 4.單位：焦耳，符號：J。 5.重力做功與重力勢能變化的關(guān)系 (1)表達式：WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。 (2)兩種情況 ①當(dāng)物體從高處運動到低處時，重力做正功，重力勢能減少，即WG＞0，Ep1＞Ep2。 ②當(dāng)物體由低處運動到高處時，重力做負功，重力勢能增加，即WG＜0，Ep1＜Ep2。重力做負功也可以說成物體克服重力做功。 三、重力勢能的相對性和系統(tǒng)性 1.重力勢能的相對性 (1)參考平面：物體的重力勢能總是相對于某一水平面來說的，這個水平面叫做參考平面。在參考平面上，物體的重力勢能取做0。 (2)重力勢能的相對性 選擇不同的參考平面，物體重力勢能的數(shù)值是不同的。 對選定的參考平面，上方物體的重力勢能是正值，下方物體的重力勢能是負值，負號表示物體在這個位置具有的重力勢能要比在參考平面上具有的重力勢能小。 2.重力勢能的系統(tǒng)性 重力勢能是地球與物體所組成的系統(tǒng)共有的。 [理解概念] 判斷下列說法是否正確。 (1)同一物體在不同高度時，重力勢能不同。(√) (2)不同物體在同一高度，重力勢能一定不同。() (3)同一物體的重力勢能Ep1＝2 J，Ep2＝－3 J，則Ep1>Ep2。(√) (4)重力做功WG＝－20 J時，物體的重力勢能減小20 J。() 　對重力做功的理解 [觀察探究] 如圖1所示，將質(zhì)量為m的物塊從A移到B可以有如下方式： 圖1 方式1：沿著折線AOB路徑①移動。 方式2：沿著直線AB路徑②移動。 方式3：沿著曲線ACB路徑③移動。 (1)沿著上述三條路徑移動物塊，重力做的功分別是多少？ (2)結(jié)合上面的討論，分析重力做功有什么特點。 答案　(1)沿路徑①，重力做的功W1＝mgh。 沿路徑②，重力做的功 W2＝mgsin α＝mgh。 沿路徑③，我們可以把整個路徑分成許多很短的間隔，每小段曲線的長度都很小，近似可以看成是一段傾斜的直線，設(shè)每小段的高度差為Δh1、Δh2、Δh3……整個路徑重力所做的功等于每小段上重力所做功的代數(shù)和，則W總＝mgΔh1＋mgΔh2＋…＝mgh。 (2)重力做的功與路徑無關(guān)，只與初末兩個位置有關(guān)，重力做的功等于重力與沿著重力方向的位移的乘積。 [探究歸納]　 1.重力做功大小只與重力和物體高度變化有關(guān)，與受其他力及運動狀態(tài)均無關(guān)。 2.物體下降時重力做正功，物體上升時重力做負功。 3.在一些往復(fù)運動或多個運動過程的復(fù)雜問題中求重力做功時，利用重力做功的特點，可以省去大量中間過程，一步求解。 [試題案例] [例1] 某游客領(lǐng)著孩子游泰山時，孩子不小心將手中的皮球滑落，球從A點滾到了山腳下的B點，高度標記如圖2所示，則下列說法正確的是(　　) 圖2 A.從A到B的曲線軌跡長度不知道，無法求出此過程重力做的功 B.從A到B過程中阻力大小不知道，無法求出此過程重力做的功 C.從A到B重力做功mg(H＋h) D.從A到B重力做功mgH 解析　重力對物體所做的功只與初、末位置的高度差有關(guān)，大小為WG＝mgH，故選項D正確。 答案　D [針對訓(xùn)練1] 如圖3所示，一物體從A點出發(fā)，分別沿粗糙斜面AB和光滑斜面AC下滑及斜向上拋出，運動后到達同一水平面上的B、C、D三點。關(guān)于重力的做功情況，下列說法正確的是(　　) 圖3 A.沿AB面滑下時，重力做功最多 B.沿AC面滑下時，重力做功最多 C.沿AD拋物線運動時，重力做功最多 D.三種情況下運動時，重力做的功相等 解析　由于重力做功與路徑無關(guān)，只與初末位置的高度差有關(guān)，故D正確。 答案　D 　對重力勢能的理解 [觀察探究] 1.如圖4所示，打夯時，夯錘被高高舉起，然后砸向地面，設(shè)夯錘質(zhì)量為m。 圖4 (1)選擇地面為參考平面，夯錘在地面上的重力勢能是多少？夯錘從地面被舉高h米后重力勢能是多少？ (2)選擇離地面高度h處為參考平面，夯錘在地面上的重力勢能是多少？夯錘在h米高處重力勢能是多少？ 答案　(1)0　mgh　 (2)－mgh　0 2.如圖5所示，幼兒園小朋友們正在玩滑梯： 圖5 (1)小朋友從最高點滑落到地面的過程中重力做正功還是負功？重力勢能是增加還是減少？ (2)小朋友從地面爬上滑梯最高點的過程中重力做正功還是負功？重力勢能是增加還是減少？ 答案　(1)小朋友沿滑梯滑下的過程中重力做正功，重力勢能減少。 (2)小朋友從地面爬上滑梯最高點的過程中重力做負功，重力勢能增加。 [探究歸納]　 1.重力勢能的“四性” (1)標量性：重力勢能是標量，只有大小，沒有方向，但有正、負。 重力勢能正、負的含義：正、負值分別表示物體處于參考平面上方和下方。 (2)相對性 選取不同的水平面作為參考平面，其重力勢能具有不同的數(shù)值，即重力勢能的大小與參考平面的選取有關(guān)。 (3)絕對性 物體在兩個高度不同的位置時，由于高度差一定，重力勢能之差也是一定的，即物體的重力勢能的變化與參考平面的選取無關(guān)。 (4)系統(tǒng)性 重力是地球?qū)ξ矬w吸引而產(chǎn)生的，如果沒有地球?qū)ξ矬w的吸引，就不會有重力，也不存在重力勢能，所以重力勢能是這個系統(tǒng)共同具有的，平時所說的“物體”的重力勢能只是一種簡化的說法。 2.重力做功與重力勢能的關(guān)系 重力做功 重力勢能 物理意義 重力對物體做功 由物體與地球的相互作用產(chǎn)生，且由它們之間的相對位置決定的能 表達式 WG＝mgΔh Ep＝mgh 影響大小的因素 重力mg和初、末位置的高度差Δh 重力mg和相對參考面的高度h 特點 只與初、末位置的高度差有關(guān)，與路徑及參考平面的選擇無關(guān) 與參考平面的選擇有關(guān)，同一位置的物體，選擇不同的參考平面，其重力勢能的值不同 過程量 狀態(tài)量 聯(lián)系 重力做功的過程是重力勢能改變的過程，重力做正功，重力勢能減少，重力做負功，重力勢能增加，且重力做了多少功，重力勢能就改變多少，即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp [試題案例] [例2] (2018唐山高一檢測)在離地面80 m處無初速度地釋放一小球，小球質(zhì)量為m＝200 g，不計空氣阻力，g取10 m/s2，取釋放點所在水平面為參考平面。求： (1)在第2 s末小球的重力勢能； (2)在第3 s內(nèi)重力所做的功和重力勢能的變化。 【思路點撥】(1)計算重力勢能時要注意重力勢能的正負和物體所在位置相對于參考平面的高度。 (2)在第3 s內(nèi)重力所做的功等于物體重力勢能的減少量。 解析　(1)以釋放點所在水平面為參考平面，在第2 s末小球所處的高度為 h＝－gt2＝－1022 m＝－20 m 重力勢能Ep＝mgh＝20010－310(－20) J＝－40 J Ep<0，說明小球在參考平面的下方。 (2)在第3 s末小球所處的高度為 h′＝－gt′2＝－1032 m＝－45 m 第3 s內(nèi)重力做的功為 W＝mg(h－h(huán)′)＝20010－310(－20＋45) J＝50 J 由重力做功與重力勢能改變的關(guān)系可知，小球的重力勢能減少了50 J。 答案　(1)－40 J　(2)50 J，小球的重力勢能減少了50 J 重力勢能的三種求解方法 (1)根據(jù)重力勢能的定義求解：選取零勢能參考平面，由Ep＝mgh可求質(zhì)量為m的物體在離零勢能參考平面h高度處的重力勢能。 (2)由重力做功與重力勢能變化的關(guān)系求解 由WG＝Ep1－Ep2知Ep2＝Ep1－WG或Ep1＝WG＋Ep2。 (3)由等效法求重力勢能：重力勢能的變化與運動過程無關(guān)，只與初、末狀態(tài)有關(guān)。ΔEp＝mgΔh＝Ep2－Ep1。 [針對訓(xùn)練2] 如圖6所示，質(zhì)量為m的小球，從離桌面H高處由靜止下落，桌面離地高度為h。若以桌面為參考平面，那么小球落地時的重力勢能及整個過程中重力勢能的變化分別是(　　) 圖6 A.mgh，減少mg(H－h(huán)) B.mgh，增加mg(H＋h) C.－mgh，增加mg(H－h(huán)) D.－mgh，減少mg(H＋h) 解析　以桌面為參考平面，落地時物體的重力勢能為－mgh，初狀態(tài)重力勢能為mgH，即重力勢能的變化ΔEp＝－mgh－mgH＝－mg(H＋h)，所以重力勢能減少了mg(H＋h)，D正確。 答案　D 1.(重力勢能的理解)(多選)下列關(guān)于重力勢能的說法中正確的是(　　) A.重力勢能是地球和物體共同具有的，而不是物體單獨具有的 B.重力勢能的大小是相對的 C.重力勢能等于零的物體，不可能對別的物體做功 D.在地面上方的物體，它的重力勢能一定不等于零 解析　物體的重力勢能具有相對性和系統(tǒng)性。對于不同的零勢能參考平面，同一個物體在同一個位置的重力勢能是不相同的。物體的重力勢能屬于物體和地球組成的這個系統(tǒng)，而不只是物體單獨具有。故A、B正確，C、D錯誤。 答案　AB 2.(重力做功的特點)如7圖所示，質(zhì)量為m的小球從高為h處的斜面上的A點滾下經(jīng)過水平面BC后，再滾上另一斜面，當(dāng)它到達的D點時，速度為0。在這個過程中，重力做功為(　　) 圖7 A. B. C.mgh D.0 解析　根據(jù)重力做功的公式，W＝mg(h1－h(huán)2)＝。故B正確。 答案　B 3.(重力勢能變化量的計算)質(zhì)量為m的物體，沿傾角為α的光滑斜面由靜止下滑，當(dāng)下滑t(s)時重力勢能減少量為(　　) A.mg2t2sin α B.mg2t2 C.mg2t2 D.mg2t2sin2α 解析　物體下滑的加速度a＝gsin α，t(s)時物體下滑的距離x＝at2＝gsin αt2，下滑的高度h＝xsin α，物體重力勢能的減少量ΔEp＝mgh＝mg2sin2αt2。故D正確。 答案　D 4.(重力做功與重力勢能變化的關(guān)系)一個100 g的球從1.8 m 的高處落到一個水平板上又彈回到1.25 m的高度，則整個過程中重力對球所做的功及球的重力勢能的變化是(g取10 m/s2)(　　) A.重力做功為1.8 J B.重力做了0.55 J的負功 C.物體的重力勢能一定減少0.55 J D.物體的重力勢能一定增加1.25 J 解析　整個過程中重力做功WG＝mgΔh＝0.1100.55 J＝0.55 J，故重力勢能減少0.55 J，所以選項C正確。 答案　C 合格性檢測 1.關(guān)于重力勢能，下列說法中正確的是(　　) A.重力勢能有正、負值，表示物體的重力勢能是矢量 B.只要物體在水平面以下，其重力勢能就為負值 C.衛(wèi)星繞地球做橢圓運動，當(dāng)由近地點向遠地點運動時，其重力勢能減小 D.重力勢能是地球與物體所組成的系統(tǒng)共有的 解析　重力勢能有正、負值，其正負表示物體的重力勢能的大小，重力勢能是標量，故A錯誤；重力勢能的大小與零勢能面的選取有關(guān)，在零勢能面下方，物體重力勢能為負值，在零勢能面上方，物體重力勢能為正值，在零勢能面上，物體重力勢能為零，故B錯誤；衛(wèi)星繞地球做橢圓運動，當(dāng)由近地點向遠地點運動時，其重力勢能增加，故C錯誤；重力勢能是物體和地球共有的，而不是物體單獨具有的，離開地球物體將不再具有重力勢能，故D正確。 答案　D 2.(多選)有關(guān)重力勢能的變化，下列說法中正確的是(　　) A.物體受拉力和重力作用向上運動，拉力做功是1 J，但物體重力勢能的增加量有可能不是1 J B.從同一高度將某一物體以相同的速率平拋或斜拋，落到地面上時，物體重力勢能的變化是相同的 C.從同一高度落下的物體到達地面，考慮空氣阻力和不考慮空氣阻力的情況下重力勢能的減少量是相同的 D.物體運動中重力做功是－1 J，但物體重力勢能的增加量不是1 J 解析　據(jù)重力做功的特點：與經(jīng)過的路徑無關(guān)，與是否受其他力無關(guān)，與其他力做功多少無關(guān)，只取決于始末位置的高度差，再根據(jù)重力做功等于重力勢能的減少量可知A、B、C正確，D錯誤。 答案　ABC 3.(2018青島高一檢測) (多選)如圖1所示，物體沿不同的路徑從A運動到B，其中按不同的路徑：①有摩擦作用；②無摩擦作用，③無摩擦，但有其他外力拉它。比較這三種情況下重力做的功W1、W2、W3，重力勢能的變化量ΔEp1、ΔEp2、ΔEp3的關(guān)系，以下正確的是(　　) 圖1 A.W1＞W(wǎng)2＞W(wǎng)3 B.W1＝W2＝W3 C.ΔEp1＝ΔEp2＝ΔEp3 D.ΔEp1＜ΔEp2＜ΔEp3 解析　重力做功與路徑無關(guān)，取決于物體初、末位置，且與物體是否受其他力無關(guān)。重力勢能的變化量只取決于重力做的功，因此，三種情況下重力做功相同，重力勢能的變化量也相同。 答案　BC 4.(2018蘇州高一檢測)一實心鐵球與一實心木球質(zhì)量相等，將它們放在同一水平地面上，下列說法中正確的是(　　) A.鐵球的重力勢能大于木球的重力勢能 B.鐵球的重力勢能等于木球的重力勢能 C.鐵球的重力勢能小于木球的重力勢能 D.上述三種情況都有可能 解析　本題考查了對重力勢能的理解。由于鐵球和木球的密度不同，所以質(zhì)量相等的鐵球和木球比較，木球的體積較大，放在同一水平地面上時，木球的重心高，因此木球的重力勢能大于鐵球的重力勢能，C正確。 答案　C 5.如圖2所示，ACP和BDP是豎直平面內(nèi)兩個半徑不同的半圓形光滑軌道，A、P、B三點位于同一水平面上，C和D分別為兩軌道的最低點，將兩個質(zhì)量相同的小球分別從A和B兩處同時無初速度釋放，則(　　) 圖2 A.沿BDP光滑軌道運動的小球的重力勢能永遠為正值 B.兩小球到達C點和D點時，重力做功相等 C.兩小球到達C點和D點時，重力勢能相等 D.兩小球剛開始從A和B兩處無初速度釋放時，重力勢能相等 解析　不管選哪一點為零勢能點，A點和B點相對零勢能面的豎直高度均相等，所以重力勢能相等，D正確；兩小球到達C點和D點時，重力勢能不相等，C錯誤；重力勢能Ep＝mgh，具有相對性，如果選A、P、B三點在零勢能參考面上，則兩球在運動過程中的重力勢能恒為負值；如果選C點在零勢能參考面上，則兩球在運動過程中的重力勢能恒為正值，A錯誤；另外，重力做功跟路徑無關(guān)，只取決于物體在始、末位置的高度差，兩球從開始運動到到達C點和D點時豎直高度不等，所以，重力做功不相等，B錯誤。 答案　D 6.(2018鄭州高一檢測)如圖3所示，一根長為l，質(zhì)量為m的勻質(zhì)軟繩懸于O點，若將其下端向上提起使其對折，則做功至少為(　　) 圖3 A.mgl B.mgl C.mgl D.mgl 解析　將軟繩下端向上提起，相當(dāng)于把下半段向上移動了，重力勢能增加了 mg＝mgl，即外力至少要做的功為mgl，D正確。 答案　D 7.物體從某高度處做自由落體運動，以地面為重力勢能零點，下列所示圖象中，能正確描述物體的重力勢能與下落高度的關(guān)系的是(　　) 解析　設(shè)物體開始下落時的重力勢能為Ep0，物體下落高度h過程中重力勢能減少量ΔEp＝mgh，故物體下落高度h時的重力勢能Ep＝Ep0－ΔEp＝Ep0－mgh，即Ep－h(huán)圖象為傾斜直線，B正確。 答案　B 等級性檢測 8.(2018福州高一檢測)如圖4所示，兩個底面積都是S的圓桶，用一根帶閥門的很細的管子相連接，放在水平地面上，兩桶內(nèi)裝有密度為ρ的同種液體，閥門關(guān)閉時兩桶液面的高度分別為h1和h2，現(xiàn)將連接兩桶的閥門打開，在兩桶液面變?yōu)橄嗤叨鹊倪^程中(　　) 圖4 A.重力對液體做的功為(h1－h(huán)2)2ρgS B.重力勢能減少了 C.重力既做正功，又做負功，其總功為零 D.重力勢能減少，說明重力做負功 解析　取水平地面為參考平面。閥門關(guān)閉時，兩桶內(nèi)液體的重力勢能的總和為 Ep1＝(ρSh1)g＋(ρSh2)g＝ρgS(h＋h)。 打開閥門，當(dāng)兩桶液面相平時，兩桶內(nèi)液體的重力勢能的總和為Ep2＝ρS(h1＋h2)g＝ρgS(h1＋h2)2。則在此過程中兩桶內(nèi)液體的重力勢能的變化為 ΔEp＝Ep2－Ep1＝－ρgS(h1－h(huán)2)2。 ΔEp＜0表示重力勢能減少了ρgS(h1－h(huán)2)2。根據(jù)重力勢能變化與重力做功的關(guān)系可知，重力對液體做了ρgS(h1－h(huán)2)2的功。由以上分析可知，只有選項B正確。 答案　B 9.(2018安慶高一檢測)如圖5所示，在水平地面上平鋪著n塊磚，每塊磚的質(zhì)量為m，厚度為h。如果工人將磚一塊一塊地疊放起來，那么工人至少做功(　　) 圖5 A.n(n－1)mgh B.n(n－1)mgh C.n(n＋1)mgh D.n(n＋1)mgh 解析　把n塊磚看做一個整體，其總質(zhì)量是M＝nm，以地面為零勢能面，n塊磚都平放在地上時，其重心都在高處，所以n塊磚的初始重力勢能為E1＝。 當(dāng)n塊磚疊放在一起時，其總高度為H＝nh，其總的重心位置在＝處，所以末態(tài)重力勢能為E2＝nmg＝，人做的功至少等于重力勢能的增量，即W＝ΔEp＝E2－E1＝。 答案　B 10.如圖6所示，有一質(zhì)量為m、長為L的均勻金屬鏈條，一半長度在光滑斜面上，斜面傾角為θ，另一半長度沿豎直方向下垂在空中，當(dāng)鏈條從靜止開始釋放后鏈條滑動，以斜面頂點為重力勢能零點，求： 圖6 (1)開始時和鏈條剛好從右側(cè)面全部滑出斜面時重力勢能各多大？ (2)此過程中重力做了多少功。 解析　(1)開始時，左邊一半鏈條重力勢能為Ep1＝－sin θ，右邊一半的重力勢能Ep2＝－；左右兩部分總的重力勢能為Ep＝Ep1＋Ep2＝－mgL(sin θ＋1)鏈條從右側(cè)剛好全部滑出時，重力勢能為Ep′＝－mgL (2)此過程重力勢能減少了ΔEp＝Ep－Ep′＝mgL(3－sin θ)，故重力做的功為 WG＝mgL(3－sin θ) 答案　(1)－mgL(1＋sin θ)?。璵gL (2)mgL(3－sin θ)