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14個填空題專項強化練(十二)　橢圓、雙曲線和拋物線 A組——題型分類練 題型一　橢圓的定義及標準方程 1．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩個焦點，P是橢圓上的點，且PF1∶PF2＝4∶3，則△PF1F2的面積為________． 解析：因為PF1＋PF2＝14， 又PF1∶PF2＝4∶3， 所以PF1＝8，PF2＝6. 因為F1F2＝10，所以PF1⊥PF2. 所以S△PF1F2＝PF1PF2＝86＝24. 答案：24 2．一個橢圓的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，)是橢圓上一點，且PF1，F(xiàn)1F2，PF2成等差數(shù)列，則橢圓方程為________________． 解析：設(shè)橢圓的標準方程為＋＝1(a>b>0)．由點(2，)在橢圓上，知＋＝1.① 又PF1，F(xiàn)1F2，PF2成等差數(shù)列，則PF1＋PF2＝2F1F2，即22c＝2a，＝，② 又c2＝a2－b2，③ 聯(lián)立①②③得a2＝8，b2＝6. 故橢圓方程為＋＝1. 答案：＋＝1 [臨門一腳] 1．求橢圓的標準方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系數(shù)法)．如若不能確定焦點的位置，則兩種情況都要考慮，這一點一定要注意，不要遺漏，此時設(shè)所求的橢圓方程為一般形式：Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0且A≠B)；若A＜B，則焦點在x軸上；若A＞B，則焦點在y軸上． 2．橢圓的定義中一定滿足“PF1＋PF2＝2a，且a＞c”，用橢圓的定義求解a，b，c有時比用方程簡便． 題型二　橢圓的幾何性質(zhì) 1．橢圓＋＝1的離心率是________． 解析：根據(jù)題意知，a＝3，b＝2，則c＝＝， ∴橢圓的離心率e＝＝. 答案： 2．橢圓x2＋my2＝1的焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍，則m＝________. 解析：由題意可得， ＝，所以m＝4. 答案：4 3．已知圓C1：x2＋2cx＋y2＝0，圓C2：x2－2cx＋y2＝0，橢圓C：＋＝1(a>b>0)，若圓C1，C2都在橢圓內(nèi)，則橢圓離心率的取值范圍是________． 解析：圓C1，C2都在橢圓內(nèi)等價于圓C2的右頂點(2c,0)，上頂點(c，c)在橢圓內(nèi)部， ∴只需?0<≤. 答案： 4．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為________． 解析：以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝a2，由原點到直線bx－ay＋2ab＝0的距離d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的離心率e＝ ＝. 答案： [臨門一腳] 1．弄清楚a，b，c，e的幾何意義，以及相關(guān)的點坐標、線的方程的表示． 2．求解幾何性質(zhì)之前方程應(yīng)先化為標準式，否則會混淆a，b. 3．離心率求解主要是根據(jù)幾何條件建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式． 題型三　雙曲線的定義及標準方程 1．F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：－＝1的左、右焦點，P為雙曲線C右支上一點，且|PF1|＝8，則△PF1F2的周長為________． 解析：由雙曲線的方程可知a＝3，b＝，所以c＝4，則|PF2|＝|PF1|－2a＝2，|F1F2|＝2c＝8，據(jù)此可知△PF1F2的周長為8＋2＋8＝18. 答案：18 2．已知雙曲線經(jīng)過點(2，1)，其一條漸近線方程為y＝x，則該雙曲線的標準方程為________________． 解析：設(shè)雙曲線的方程為－y2＝λ(λ≠0)，則－12＝λ，解得λ＝1，故雙曲線的標準方程為－y2＝1. 答案：－y2＝1 3．(2018柳州模擬)設(shè)雙曲線－＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交雙曲線左支于A，B兩點，則|AF2|＋|BF2|的最小值為________． 解析：|AF2|＋|BF2|＝2a＋|AF1|＋2a＋|BF1|＝4a＋|AB|≥4a＋＝43＋＝16. 答案：16 4．設(shè)雙曲線與橢圓＋＝1有共同的焦點，且與橢圓相交，其中一個交點的坐標為(，4)，則此雙曲線的標準方程是____________． 解析：法一：橢圓＋＝1的焦點坐標是(0，3)，設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，根據(jù)雙曲線的定義知2a＝|－|＝4，故a＝2.又b2＝32－a2＝5，故所求雙曲線的方程為－＝1. 法二：橢圓＋＝1的焦點坐標是(0，3)．設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，則a2＋b2＝9，① 又點(，4)在雙曲線上，所以－＝1，② 聯(lián)立①②解得a2＝4，b2＝5.故所求雙曲線的方程為－＝1. 法三：設(shè)雙曲線的方程為＋＝1(27<λ<36)，由于雙曲線過點(，4)，故＋＝1，解得λ1＝32，λ2＝0，經(jīng)檢驗λ1＝32，λ2＝0都是分式方程的根，但λ＝0不符合題意，應(yīng)舍去，所以λ＝32. 故所求雙曲線的方程為－＝1. 答案：－＝1 [臨門一腳] 1．先確定焦點是在x軸上還是在y軸上，設(shè)出標準方程，再由條件確定a2，b2的值，即“先定型，再定量”；如果焦點位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為－＝λ(λ≠0)，再根據(jù)條件求λ的值． 2．雙曲線的定義運用時，首先要分清楚點在雙曲線的哪一支上或在兩支上，否則會出錯． 題型四　雙曲線的幾何性質(zhì) 1．在平面直角坐標系xOy中，雙曲線－＝1的離心率為________． 解析：由已知得，a＝，b＝，則c＝＝3，所以e＝＝. 答案： 2．已知雙曲線－＝1(a>0)的一條漸近線方程為y＝2x，則該雙曲線的焦距為________． 解析：由題意得，＝2，所以a＝，所以c＝＝5，所以該雙曲線的焦距為10. 答案：10 3．(2018南京高三模擬)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個焦點到一條漸近線的距離為2a，則該雙曲線的離心率為________． 解析：由雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離為2a得b＝2a，則該雙曲線的離心率e＝＝ ＝. 答案： 4．已知F是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左焦點，E是該雙曲線的右頂點，過點F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為________． 解析：由題意得E(a,0)，不妨設(shè)A，B，顯然△ABE是等腰三角形，故當△ABE是銳角三角形時，∠AEB＜90，從而＜a＋c，化簡得c2－ac－2a2＜0，即e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，故1＜e＜2. 答案：(1,2) [臨門一腳] 1．雙曲線的離心率與漸近線方程之間有著密切的聯(lián)系，二者之間可以互求．根據(jù)漸近線方程求離心率時要注意有兩解． 2．在解析幾何中，解決求范圍問題，一般可從以下幾個方面考慮： (1)與已知范圍聯(lián)系，通過求函數(shù)值域或解不等式來完成； (2)通過一元二次方程的根的判別式Δ的符號建立不等關(guān)系； (3)利用點在曲線內(nèi)部建立不等式關(guān)系； (4)利用解析式的結(jié)構(gòu)特點，如a2，|a|，等的非負性來完成范圍的求解． 題型五　拋物線 1．在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y2＝4x上一點P到焦點的距離為3，則點P的橫坐標是________． 解析：因為拋物線方程為y2＝4x，所以焦點F(1,0)，準線l的方程為x＝－1，設(shè)PA⊥l，A為垂足， 所以PF＝PA＝xP－(－1)＝3， 所以點P的橫坐標是2. 答案：2 2．若點P到直線y＝－1的距離比它到點(0,3)的距離小2，則點P的軌跡方程是________． 解析：由題意可知點P到直線y＝－3的距離等于它到點(0,3)的距離，故點P的軌跡是以點(0,3)為焦點，以y＝－3為準線的拋物線，且p＝6，所以其標準方程為x2＝12y. 答案：x2＝12y 3．一個頂點在原點，另外兩點在拋物線y2＝2x上的正三角形的面積為________． 解析：如圖，根據(jù)對稱性：A，B關(guān)于x軸對稱，故∠AOx＝30. 直線OA的方程y＝x，代入y2＝2x，得x2－6x＝0，解得x＝0或x＝6.即得A的坐標為(6,2)，所以AB＝4.故正三角形OAB的面積為46＝12. 答案：12 4．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y2＝6x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足．若直線AF的斜率k＝－，則線段PF的長為________． 解析：∵拋物線方程為y2＝6x， ∴焦點F，準線l的方程為x＝－. ∵直線AF的斜率為－， ∴直線AF的方程為y＝－， 當x＝－時，y＝3， 由此可得A點坐標為. ∵PA⊥l，A為垂足，∴P點縱坐標為3，代入拋物線方程，得P點坐標為， ∴PF＝PA＝－＝6. 答案：6 [臨門一腳] 1．一次項的變量與焦點所在的坐標軸的名稱相同，一次項系數(shù)的符號決定拋物線的開口方向，即“對稱軸看一次項，符號決定開口方向”． 2．拋物線標準方程形式要記清楚，求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點位置和開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程． 3．求解幾何性質(zhì)時，首先要把方程化為標準方程，其次拋物線方程的p幾何意義要明確． B組——高考提速練 1．若雙曲線x2－＝1的離心率為，則實數(shù)m＝________. 解析：由雙曲線的標準方程可知a2＝1，b2＝m，所以a＝1，c＝，所以e＝＝，解得m＝2. 答案：2 2．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，則以A，B為焦點，且過C，D兩點的橢圓的短軸的長為________． 解析：依題意得AC＝5，所以橢圓的焦距為2c＝AB＝4，長軸長2a＝AC＋BC＝8，所以短軸長為2b＝2＝2＝4. 答案：4 3．拋物線y2＝2px(p＞0)的準線截圓x2＋y2－2y－1＝0所得的弦長為2，則p＝________. 解析：拋物線y2＝2px(p＞0)的準線方程為x＝－，而圓化成標準方程為x2＋(y－1)2＝2，圓心坐標為(0,1)，半徑為，圓心到準線的距離為，所以2＋1＝()2，解得p＝2. 答案：2 4．已知P是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓＋＝1(a>b>0)上的一點，若12＝0，tan∠PF1F2＝，則此橢圓的離心率為________． 解析：因為12＝0，tan∠PF1F2＝，所以1⊥2，sin∠PF1F2＝，cos∠PF1F2＝.所以PF1＝c，PF2＝c，則PF1＋PF2＝c＝2a，所以e＝＝. 答案： 5．(2018蘇北四市質(zhì)檢)在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為x－2y＝0，則該雙曲線的離心率為________． 解析：由雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為x－2y＝0，得＝，則該雙曲線的離心率e＝＝＝. 答案： 6．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的一個焦點是F(1,0)，若橢圓短軸的兩個三等分點M，N與F構(gòu)成正三角形，則此橢圓的方程為____________． 解析：由△FMN為正三角形，得c＝OF＝MN＝b＝1.解得b＝，∴a2＝b2＋c2＝4.故橢圓的方程為＋＝1. 答案：＋＝1 7．已知雙曲線C：－y2＝1與直線l：x＋ky＋4＝0，若直線l與雙曲線C的一條漸近線平行，則雙曲線C的右焦點到直線l的距離是________． 解析：由題意得，雙曲線C：－y2＝1的右焦點F(2,0)，其漸近線方程為y＝x，又直線l：x＋ky＋4＝0與雙曲線C的一條漸近線平行，所以k＝，所以直線l的方程為xy＋4＝0，所以雙曲線C的右焦點到直線l的距離d＝＝3. 答案：3 8．(2018鎮(zhèn)江高三期末)已知雙曲線－y2＝1的左焦點與拋物線y2＝－12x的焦點重合，則雙曲線的右準線方程為________． 解析：由題意知雙曲線－y2＝1的左焦點為(－3,0)，所以a2＝8，因此雙曲線的右準線方程為x＝. 答案：x＝ 9．已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，且過點P(－5,4)，則橢圓的方程為____________． 解析：設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)，將點P(－5,4)代入得＋＝1. 又離心率e＝＝，即e2＝＝＝， 解得a2＝45，b2＝36，故橢圓的方程為＋＝1. 答案：＋＝1 10．已知拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點F是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的一個焦點，若P，Q是橢圓與拋物線的公共點，且直線PQ經(jīng)過焦點F，則該橢圓的離心率為________． 解析：設(shè)點P在第一象限，由題意，p＝2c，P(，c)，即P(2c，c)，代入橢圓方程，可得＋＝1，整理可得e4－6e2＋1＝0，∵0＜e＜1，∴e＝－1. 答案：－1 11.如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩個焦點，以坐標原點O為圓心，OF1為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點分別為A，B，且△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為________． 解析：連結(jié)AF1，依題意得AF1⊥AF2，∠AF2F1＝30，AF1＝c，AF2＝c，因此該雙曲線的離心率e＝＝＝＋1. 答案：＋1 12.如圖，已知過橢圓＋＝1(a>b>0)的左頂點A(－a,0)作直線l交y軸于點P，交橢圓于點Q，若△AOP是等腰三角形，且＝2，則橢圓的離心率為________． 解析：法一：因為△AOP是等腰三角形，所以O(shè)A＝OP，故A(－a,0)，P(0，a)，又＝2，所以Q，由點Q在橢圓上得＋＝1，解得＝，故離心率e＝＝ ＝. 法二：因為△AOP是等腰三角形，所以O(shè)A＝OP，故直線AP的方程為y＝x＋a，與橢圓方程聯(lián)立并消去y得(a2＋b2)x2＋2a3x＋a2c2＝0，從而(－a)xQ＝，即xQ＝－，又由A(－a,0)，P(0，a)，＝2，得xQ＝－，故－＝－，即5c2＝4a2，e2＝，故e＝. 答案： 13．(2018南京四校聯(lián)考)已知右焦點為F的雙曲線的離心率為，過點F且與一條漸近線平行的直線l與另一條漸近線交于點A，AF＝2，則該雙曲線的標準方程為____________． 解析：法一：由e＝知，雙曲線的漸近線方程為y＝x，不妨設(shè)直線l：y＝x－c，聯(lián)立得解得A，AF＝＝2，解得c2＝8，又由e＝知，a2＝b2＝4，故雙曲線的標準方程為－＝1. 法二：由e＝知，雙曲線的漸近線方程為y＝x，且兩條漸近線互相垂直，此時AF＝2＝b＝a，故雙曲線的標準方程為－＝1. 答案：－＝1 14.如圖所示，橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為A，離心率為，點P為橢圓在第一象限內(nèi)的一點．若S△PF1A∶S△PF1F2＝2∶1，則直線PF1的斜率為________． 解析：連結(jié)AF2交PF1于點B.由S△PF1A∶S△PF1F2＝2∶1得＝.而A(0，b)，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，所以由A，B，F(xiàn)2三點共線得B，kPF1＝＝.又因為離心率為，所以a＝2c，b＝c，故kPF1＝＝. 答案：