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課時(shí)分層作業(yè)(十五)　等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 (建議用時(shí)：40分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．設(shè)數(shù)列{(－1)n}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn等于(　　) A.　　　　 B. C. D. D　[Sn＝＝.] 2．已知{an}是等比數(shù)列，a3＝1，a6＝，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1等于(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432221】 A．16(1－4－n) B．16(1－2－n) C.(1－4－n) D.(1－2－n) C　[∵a3＝1，a6＝，∴q＝，∴a1＝4， ∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(1－4－n)．] 3．設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．已知a1a5＝1，S3＝7，則S5等于(　　) A. B. C. D. B　[∵{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且a1a5＝1， ∴a1a1q4＝1， 又a1，q>0，∴a1q2＝1，即a3＝1，S3＝7＝＋＋1， ∴6q2－q－1＝0，解得q＝， ∴a1＝＝4，S5＝＝.] 4．已知{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，Sn是前n項(xiàng)和，且9S3＝S6，則數(shù)列的前5項(xiàng)和等于(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432222】 A.或5 B.或5 C. D. C　[設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，顯然q≠1，由已知得＝，解得q＝2(q＝1舍去)，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，前5項(xiàng)和為＝.] 5．已知等比數(shù)列{an}中，an＝23n－1，則由此數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)所組成的新數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的值為(　　) A．3n－1 B．3(3n－1) C. D. D　[∵an＝23n－1，則數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，由此數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)所組成的新數(shù)列是以6為首項(xiàng)，以9為公比的等比數(shù)列，則前n項(xiàng)和為Sn＝＝.] 二、填空題 6．等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn.已知S3＝，S6＝，則a8＝________. 32　[設(shè){an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則 解得所以a8＝27＝25＝32.] 7．設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為－2的等比數(shù)列，則a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432223】 15　[法一：a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋|1(－2)|＋1(－2)2＋|1(－2)3|＝15. 法二：因?yàn)閍1＋|a2|＋a3＋|a4|＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|，數(shù)列{|an|}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，故所求代數(shù)式的值為＝15.] 8．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若Sn＝126，則n＝________. 6　[∵a1＝2，an＋1＝2an， ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列， 又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.] 三、解答題 9．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1，S3，S2成等差數(shù)列． (1)求{an}的公比q； (2)若a1－a3＝3，求Sn. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432224】 [解]　(1)依題意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)， 由于a1≠0，故2q2＋q＝0. 又q≠0，從而q＝－. (2)由已知可得a1－a12＝3， 故a1＝4. 從而Sn＝＝. 10．已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N*)． (1)求an與bn； (2)記數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn. [解]　(1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*)． 由題意知： 當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝b2－1，故b2＝2. 當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝bn＋1－bn. 整理得＝， 所以bn＝n(n∈N*)． (2)由(1)知anbn＝n2n， 因此Tn＝2＋222＋323＋…＋n2n， 2Tn＝22＋223＋324＋…＋n2n＋1， 所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n2n＋1. 故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*)． [沖A挑戰(zhàn)練] 1．在等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝2n－1(n∈N*)，則a＋a＋…＋a等于(　　) A．(2n－1)2 B.(2n－1)2 C．4n－1 D.(4n－1) D　[a1＋a2＋…＋an＝2n－1，即Sn＝2n－1，則Sn－1＝2n－1－1(n≥2)，則an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)，又a1＝1也符合上式，所以an＝2n－1，a＝4n－1，所以a＋a＋…＋a＝(4n－1)．] 2．如圖251，作邊長為3的正三角形的內(nèi)切圓，在這個(gè)圓內(nèi)作內(nèi)接正三角形，然后，再作新三角形的內(nèi)切圓．如此下去，則前n個(gè)內(nèi)切圓的面積和為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432225】 圖251 A. B.π C．2π D．3π B　[根據(jù)條件，第一個(gè)內(nèi)切圓的半徑為3＝，面積為π，第二個(gè)內(nèi)切圓的半徑為，面積為π，…，這些內(nèi)切圓的面積組成一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)為π，公比為，故面積之和為＝π.] 3．一座七層的塔，每層所點(diǎn)的燈的盞數(shù)都等于上面一層的2倍，一共點(diǎn)381盞燈，則底層所點(diǎn)燈的盞數(shù)是________． 192　[設(shè)最下面一層燈的盞數(shù)為a1，則公比q＝，n＝7，由＝381， 解得a1＝192.] 4．等差數(shù)列{an}中，公差d≠0，a＝a1a4，若a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比數(shù)列，則kn＝________. 3n＋1　[由題意得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)， ∴a1＝d，∴q＝＝＝3. ∴akn＝9a13n－1＝kna1， ∴kn＝93n－1＝3n＋1.] 5．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的公比為q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100. (1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式； (2)當(dāng)d＞1時(shí)，記cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432226】 [解]　(1)由題意有 即 解得或 故或 (2)由d＞1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝， 于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，① Tn＝＋＋＋＋…＋＋.② ①－②可得 Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－， 故Tn＝6－.