江蘇省2019高考數(shù)學二輪復習 自主加餐的3大題型 14個填空題強化練（七）平面向量（含解析）.doc
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14個填空題專項強化練(七) 平面向量 A組——題型分類練 題型一 平面向量的線性運算 1．已知平面上不共線的四點O，A，B，C，若＋2＝3，則的值為________． 解析：由＋2＝3，得－＝2－2， 即＝2，所以＝. 答案： 2．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M為BC的中點，則＝____________(用a，b表示)． 解析：由＝3得＝＝(a＋b)，＝a＋b，所以＝－＝(a＋b)－＝－a＋b. 答案：－a＋b 3．已知Rt△ABC的面積為2，∠C＝90，點P是Rt△ABC所在平面內(nèi)的一點，滿足＝＋，則的最大值是________． 解析：由條件可知||||＝4，＝0，因為＝－＝－－，＝－＝－－，故＝＝97－9||－4||≤97－122＝73，當且僅當9||＝4||，即||＝，||＝3時等號成立． 答案：73 [臨門一腳] 1．對相等向量、零向量、單位向量等概念的理解要到位． 2．用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：(1)觀察各向量的位置；(2)尋找相應的三角形或平行四邊形；(3)運用法則找關(guān)系；(4)化簡結(jié)果． 3．線性運算由于基底運用難度較大，能建立坐標系的時候，建系優(yōu)先． 4．利用兩向量共線證明三點共線要強調(diào)有一個公共點． 5．已知＝λ＋μ (λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點共線的充要條件是λ＋μ＝1. 題型二 平面向量的坐標表示 1．在?ABCD中，AC為一條對角線，＝(2,4)，＝(1,3)，則向量的坐標為________． 解析：因為＝－＝(－1，－1)， 所以＝－＝－＝(－3，－5)． 答案：(－3，－5) 2．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，則實數(shù)x的值是________． 解析：因為u＝(1＋2x,4)，v＝(2－x,3)，u∥v， 所以8－4x＝3＋6x，所以x＝. 答案： 3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c＝____________. 解析：不妨設(shè)c＝(m，n)， 則a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)， 對于(c＋a)∥b，有－3(1＋m)＝2(2＋n)．① 對于c⊥(a＋b)，有3m－n＝0.② 聯(lián)立①②，解得m＝－，n＝－. 故c＝. 答案： [臨門一腳] 1．解決向量的坐標運算問題，關(guān)鍵是掌握線性運算法則及坐標運算的特點．一般地，已知有向線段兩端點的坐標，應先求出向量的坐標．解題時注意利用向量相等(橫、縱坐標分別相等)建立方程(組)求解． 2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因為x2，y2有可能等于0，應表示為x1y2－x2y1＝0. 題型三 平面向量的數(shù)量積 1．已知向量a＝(3，－2)，b＝(1,0)，向量λa＋b與a－2b垂直，則實數(shù)λ的值為________． 解析：依題意，λa＋b＝(3λ＋1，－2λ)，a－2b＝(1，－2)，所以(λa＋b)(a－2b)＝7λ＋1＝0，λ＝－. 答案：－ 2．已知向量與的夾角為120，且||＝2，||＝3.若＝λ＋，且⊥，則實數(shù)λ的值為________． 解析：由題意得，＝－3，由＝(λ＋)(－)＝0，得λ－λ2＋2－＝0，即－3λ－4λ＋9＋3＝0，故λ＝. 答案： 3．(2018南京高三模擬)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D為邊BC上一點．若＝5，＝－，則的值為________． 解析：因為D為BC邊上一點，所以可設(shè)＝x＋y，x＋y＝1，x>0，y>0 ①，則＝(x＋y)＝9x＋y＝5?、?，＝(x＋y)＝x＋4y＝－ ③，聯(lián)立①②③，可得＝－3或，當＝時不滿足x，y>0，舍去，故＝－3. 答案：－3 4．(2018武漢調(diào)研)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1.邊DC上的動點P(包含點D，C)與CB延長線上的動點Q(包含點B)滿足||＝||，則的最小值為________． 解析：以點A為坐標原點，分別以AB，AD所在直線為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)P(x，1)，Q(2，y)，由題意知0≤x≤2，－2≤y≤0.∵||＝||，∴|x|＝|y|，∴x＝－y.∵＝(－x，－1)，＝(2－x，y－1)，∴＝－x(2－x)－(y－1)＝x2－2x－y＋1＝x2－x＋1＝2＋，∴當x＝時，取得最小值，為. 答案： 5．在△ABC中，AB⊥AC，AB＝，AC＝t，P是△ABC所在平面內(nèi)一點，若＝＋，則△PBC面積的最小值為________． 解析：由于AB⊥AC，故以AB，AC所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標系(圖略)，則B，C(0，t)，因為＝＋，所以點P坐標為(4,1)，直線BC的方程為t2x＋y－t＝0，所以點P到直線BC的距離為d＝，BC＝，所以△PBC的面積為＝≥，當且僅當t＝時取等號． 答案： [臨門一腳] 1．若向量a，b，c滿足ab＝ac(a≠0)，則不一定有b＝c. 2．兩個向量a與b的夾角為銳角(鈍角)，則有ab>0(ab<0)，反之不成立(因為夾角為0(π)時不成立)． 3．在數(shù)量積的基本運算中，經(jīng)常用到數(shù)量積的定義、模、夾角等公式，尤其對|a|＝要引起足夠重視，是求模常用的公式． 4．數(shù)量積的運算中，ab＝0?a⊥b，是對非零向量而言的，若a＝0，雖然有ab＝0，但不能說a⊥b. 5．平面向量的求解常見方法有定義法、坐標法、轉(zhuǎn)化法、極化恒等式法、投影法． B組——高考提速練 1．已知向量a＝(2，－1)，b＝(0,1)，則|a＋2b|＝________. 解析：因為a＋2b＝(2,1)，所以＝＝. 答案： 2.如圖，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，則＝________. 解析：因為＝－＝a－b，又＝3， 所以＝＝(a－b)，所以＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b. 答案：a＋b 3．已知D為△ABC邊BC的中點，△ABC所在平面內(nèi)有一個點P，滿足＝＋，則的值為________． 解析：由＝＋知，四邊形ABPC為平行四邊形，如圖所示，則＝1. 答案：1 4．已知|a|＝3，|b|＝4，且a與b不共線，若向量a＋kb與a－kb垂直，則k＝________. 解析：因為(a＋kb)⊥(a－kb)， 所以(a＋kb)(a－kb)＝0， 即|a|2－k2|b|2＝0. 又因為|a|＝3，|b|＝4，所以k2＝，即k＝. 答案： 5．若a，b均為單位向量，且a⊥(a－2b)，則a，b的夾角大小為________． 解析：設(shè)a，b的夾角為θ.因為a⊥(a－2b)， 所以a(a－2b)＝a2－2ab＝0， 所以1－2cos θ＝0，所以cos θ＝， 而θ∈[0，π]，故θ＝. 答案： 6.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，＝2，則的值為________． 解析：由＝2，得＝(＋2)．又＝－，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，所以 ＝(＋2)(－)＝(－9＋3)＝－2. 答案：－2 7．已知邊長為1的正方形ABCD，＝2＋，則||＝________. 解析：法一：由題意得，2＝(2＋)2＝42＋2＋4.又四邊形ABCD是邊長為1的正方形，所以⊥，所以＝0.又||＝，||＝，所以2＝42＋2＝10，所以||＝. 法二：由題意，作出＝2＋，如圖所示，則||為邊長分別為，2的矩形CFME的對角線的長， 所以||＝ ＝. 答案： 8．將向量＝(1,1)繞原點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)60得到，則＝____________. 解析：法一：＝(1,1)，設(shè)＝(x，y)，則||＝||＝＝，＝||||cos 60＝1，又由向量的坐標運算可知＝x＋y＝1，① ||＝||＝＝，化簡得x2＋y2＝2，② 因為點B在第二象限，故x<0，所以解得 故＝. 法二：因為||＝||＝＝，直線OB的傾斜角為60＋45＝105，故點B的橫坐標xB＝||cos(60＋45)＝＝，縱坐標yB＝||sin(60＋45)＝＝，故 ＝. 答案： 9．若向量a＝(cos 15，sin 15)，b＝(cos 75，sin 75)，則a＋b與a的夾角為________． 解析：a＋b＝(cos 15＋cos 75，sin 15＋sin 75)＝(cos 15＋sin 15，sin 15＋cos 15)，則(a＋b)a＝cos 15(cos 15＋sin 15)＋sin 15(cos 15＋sin 15)＝1＋2cos 15sin 15＝1＋sin 30＝， |a＋b|＝＝ ＝＝，cos〈a＋b，a〉＝＝＝，又〈a＋b，a〉∈[0，π]，所以〈a＋b，a〉＝. 答案： 10．已知a＝(1，t)，b＝(t，－6)，則|2a＋b|的最小值為________． 解析：由a＝(1，t)，b＝(t，－6)，得|a|＝，|b|＝，所以|2a＋b|＝＝＝.由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當t＝2時，|2a＋b|min＝2 . 答案：2 11.如圖，等邊△ABC的邊長為2，頂點B，C分別在x軸的非負半軸，y軸的非負半軸上移動，M為AB的中點，則的最大值為________． 解析：設(shè)∠OBC＝θ，因為BC＝2，所以B(2cos θ，0)，C(0,2sin θ)，則＝(－2cos θ，2sin θ)，設(shè)＝(x，y)，因為△ABC是邊長為2的等邊三角形，所以解得即＝(sin θ－cos θ，cos θ＋sin θ)，則＝＋＝(sin θ＋cos θ，cos θ＋sin θ)，因為M為AB的中點，所以＝＋＝，所以＝＋sin 2θ＋＋sin 2θ＋cos2θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋＝sin(2θ＋φ)＋，所以的最大值為＋. 答案：＋ 12．已知△ABC的三個內(nèi)角為A，B，C，重心為G，若2sin A＋sin B＋3sin C＝0，則cos B＝________. 解析：設(shè)a，b，c分別為角A，B，C所對的邊， 由正弦定理得2a＋b＋3c＝0， 則2a＋b＝－3c＝－3c(－－)， 即(2a－3c)＋(b－3c)＝0. 又，不共線， 所以由此得2a＝b＝3c， 所以a＝b，c＝b， 于是由余弦定理得cos B＝＝. 答案： 13．已知平面向量α，β滿足|β|＝1，且α與β－α的夾角為120，則|α|的取值范圍為________． 解析：法一：由|β|＝1，且α與β－α的夾角為120，作向量＝α，＝β－α，則＝β，在△OAB中，∠OAB＝60，OB＝1，則由正弦定理＝，得OA＝sin∠ABO∈，即0<|α|≤. 法二：設(shè)|α|＝u，|β－α|＝v，由|β|2＝|α＋(β－α)|2＝α2＋2α(β－α)＋(β－α)2，得v2－uv＋u2－1＝0，再由關(guān)于v的一元二次方程有解，得u2－4(u2－1)≥0，又 u>0，故0下載提示(請認真閱讀)
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