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選修41　幾何證明選講 第1課時(shí)　圓的進(jìn)一步認(rèn)識(shí) 1. (2017鎮(zhèn)江期末)如圖，已知AB是圓O的直徑，P是上半圓上的任意一點(diǎn)，PC是∠APB的平分線，點(diǎn)E是的中點(diǎn)．求證：直線PC經(jīng)過點(diǎn)E. 證明：連結(jié)AE，EB，OE， 由題意知∠AOE＝∠BOE＝90， 因?yàn)椤螦PE是圓周角，∠AOE是同弧上的圓心角， 所以∠APE＝∠AOE＝45. 同理可得，∠BPE＝∠BOE＝45， 所以PE是∠APB的平分線， 又PC是∠APB的平分線， 所以PC與PE重合，所以直線PC經(jīng)過點(diǎn)E. 2. 如圖，圓O的兩弦AB，CD交于點(diǎn)F，從F點(diǎn)引BC的平行線和直線AD交于P，再?gòu)腜引這個(gè)圓的切線，切點(diǎn)是Q.求證：PF＝PQ. 證明：因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)共圓，所以ADF＝ABC. 因?yàn)镻F∥BC，所以AFP＝ABC.所以AFP＝FDP. 又因?yàn)锳PF＝FPD， 所以△APF∽△FPD. 所以＝.所以PF2＝PAPD. 因?yàn)镻Q與圓O相切，所以PQ2＝PAPD. 所以PF2＝PQ2.所以PF＝PQ. 3. 如圖，圓O與圓P相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓O上，圓O的弦BC切圓P于點(diǎn)B，CP及其延長(zhǎng)線交圓P于D，E兩點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥CE交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.若CD＝2，CB＝2，求EF的長(zhǎng)． 解：連結(jié)PB，∵ BC切圓P于點(diǎn)B， ∴PB⊥BC. 又CD＝2，CB＝2， 由切割線定理得CB2＝CDCE， ∴ CE＝4，DE＝2，BP＝1. ∵ EF⊥CE， ∴ △CPB∽△CFE，∴ ＝，EF＝. 4. 如圖，AB，AC是圓O的切線，ADE是圓O的割線，求證：BECD＝BDCE.　 證明：∵ AB是圓O的切線， ∴ ∠ABD＝∠AEB. ∵ ∠BAD＝∠EAB， ∴ △BAD∽△EAB. ∴ ＝. 同理＝. ∵ AB，AC是圓O的切線，∴ AB＝AC. ∴ ＝，即BE CD＝BD CE. 5. (2017南通、泰州模擬)如圖，已知△ABC內(nèi)接于圓O，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)D，∠ACB＝∠ADC.求證：ADBC＝2ACCD. 證明：證明：連結(jié)OC. 因?yàn)椤螦CB＝∠ADC，∠ABC＝∠ADC， 所以∠ACB＝∠ABC. 因?yàn)镺C＝OD，所以∠OCD＝∠ADC. 所以∠ACB＝∠OCD. 所以△ABC∽△ODC. 所以＝，即ACCD＝OCBC. 因?yàn)镺C＝AD， 所以ADBC＝2ACCD. 6. (2017蘇北三市模擬)如圖，圓O的弦AB，MN交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A為弧MN的中點(diǎn)，點(diǎn)D在弧BM上．若∠ACN＝3∠ADB，求∠ADB的大?。? 解：連結(jié)AN，DN. 因?yàn)锳為弧MN的中點(diǎn)， 所以∠ANM＝∠ADN. 而∠NAB＝∠NDB， 所以∠ANM＋∠NAB＝∠ADN＋∠NDB， 即∠BCN＝∠ADB. 又∠ACN＝3∠ADB， 所以∠ACN＋∠BCN＝3∠ADB＋∠ADB＝180， 故∠ADB＝45. 7. 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90，以邊AC上的點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作圓，與邊AB，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，EC與圓O交于點(diǎn)D，連結(jié)AD并延長(zhǎng)交BC于P. (1) 求證：AEAB＝ADAP. (2) 已知AE＝EB＝4，AD＝5，求AP的長(zhǎng)． (1)證明：連結(jié)EF，則∠AEF＝90. ∵ ∠ACB＝90，∴ B，C，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓． 則∠AFE＝∠B. ∵ ∠ADE＝∠AFE，∴ ∠ADE＝∠B. ∴ B，P，D，E四點(diǎn)共圓． 則AEAB＝ADAP. (2)解：∵ AE＝EB＝4，AD＝5，∴ AB＝8. 由(1)AEAB＝ADAP，得AP＝. 8. (2017蘇錫常鎮(zhèn)二模)如圖，直線DE切圓O于點(diǎn)D，直線EO交圓O于A，B兩點(diǎn)，DC⊥OB于點(diǎn)C，且DE＝2BE，求證：2OC＝3BC. 證明：連結(jié)OD，設(shè)圓的半徑為R，BE＝x， 則OD＝R，DE＝2BE＝2x， 在Rt△ODE中，∵ DC⊥OB，∴ OD2＝OC?OE， ∴ R2＝OC(R＋x)?、? ∵ 直線DE切圓O于點(diǎn)D，∴ DE2＝BE?AE， ∴ 4x2＝x(2R＋x)?、?， ∴ x＝. 代入①，解得OC＝，∴ BC＝OB－OC＝， ∴ 2OC＝3BC. 9. 如圖，已知AB為圓O的直徑，BC切圓O于點(diǎn)B，AC交圓O于點(diǎn)P，E為線段BC的中點(diǎn)．求證：OP⊥PE. 證明：連結(jié)BP，∵ AB是圓O的直徑， ∴ ∠APB＝90，∴∠BPC＝90. 在Rt△BPC中，∵ E是邊BC的中點(diǎn)， ∴ BE＝EC，∴BE＝EP， ∴ ∠1＝∠3. ∵ B，P為圓O上的點(diǎn)， ∴ OB＝OP，∴∠2＝∠4. ∵ BC切圓O于點(diǎn)B， ∴ ∠ABC＝90，即∠1＋∠2＝90， 從而∠3＋∠4＝90， ∴ ∠OPE＝90. ∴ OP⊥PE. 10. (2017金陵中學(xué)質(zhì)檢)如圖，已知AB為圓O的直徑，C，F(xiàn)為圓O上的兩點(diǎn)，OC⊥AB，過點(diǎn)F作圓O的切線FD交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連結(jié)CF交AB于點(diǎn)E.求證：DE2＝DADB. 證明：連結(jié)OF. ∵ DF切圓O于F，∴ ∠OFD＝90. ∴ ∠OFC＋∠CFD＝90. ∵ OC＝OF，∴ ∠OCF＝∠OFC. ∵ CO⊥AB于O， ∴ ∠OCF＋∠CEO＝90. ∴ ∠CFD＝∠CEO＝∠DEF， ∴ DF＝DE. ∵ DF是圓O的切線， ∴ DF2＝DBDA. ∴ DE2＝DBDA. 11. (2017南通、泰州期末)已知圓O的直徑AB＝4，C為AO的中點(diǎn)，弦DE過點(diǎn)C且滿足CE＝2CD，求△OCE的面積． 解：設(shè)CD＝x，則CE＝2x. 因?yàn)镃A＝1，CB＝3， 由相交弦定理，得CACB＝CDCE， 所以13＝x2x＝2x2，所以x＝. 取DE的中點(diǎn)H，連結(jié)OH，則OH⊥DE. 因?yàn)镺H2＝OE2－EH2＝4－＝， 所以O(shè)H＝. 因?yàn)镃E＝2x＝， 所以△OCE的面積S＝OHCE＝＝.