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4.圓錐曲線 1．在平面直角坐標系xOy中，拋物線C的頂點是原點，以x軸為對稱軸，且經過點P(1,2)． (1)求拋物線C的方程； (2)設點A，B在拋物線C上，直線PA，PB分別與y軸交于點M，N，|PM|＝|PN|.求直線AB的斜率． 解　(1)依題意，設拋物線C的方程為y2＝ax(a≠0)， 由拋物線C經過點P(1,2)，得a＝4， 所以拋物線C的方程為y2＝4x. (2)因為|PM|＝|PN|， 所以∠PMN＝∠PNM，所以∠1＝∠2， 所以直線PA與PB的傾斜角互補，所以kPA＋kPB＝0. 依題意，直線AP的斜率存在， 設直線AP的方程為y－2＝k(x－1)(k≠0)， 將其代入拋物線C的方程， 整理得k2x2－2(k2－2k＋2)x＋k2－4k＋4＝0. 設A(x1，y1)，則1x1＝， y1＝k(x1－1)＋2＝－2， 所以A，以－k替換點A坐標中的k， 得B. 所以kAB＝＝－1.所以直線AB的斜率為－1. 2．在平面直角坐標系xOy中，已知點F(1,0)和直線l：x＝4，圓C與直線l相切，并且圓心C關于點F的對稱點在圓C上，直線l與x軸相交于點P. (1)求圓心C的軌跡E的方程； (2)過點F且與直線l不垂直的直線m與圓心C的軌跡E相交于點A，B，求△PAB面積的取值范圍． 解　(1)設圓心C(x，y)，則圓心C到點F的距離等于它到直線l距離的一半， ∴＝|4－x|， 化簡得圓心C的軌跡方程為＋＝1. (2)設直線m的方程為x＝ky＋1， 由得(3k2＋4)y2＋6ky－9＝0，Δ＞0， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝－，y1y2＝－， |y1－y2|＝＝12， △PAB的面積S＝|y1－y2||PF|＝18. 設t＝k2＋1≥1， 則＝＝， 設f(t)＝9t＋＋6，t≥1，則f′(t)＝9－＞0， ∴f(t)在[1，＋∞)上單調遞增，f(t)≥f(1)＝16， ∴S≤18＝， 即△PAB面積的取值范圍為. 3．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，且C過點. (1)求橢圓C的方程； (2)若直線l與橢圓C交于P，Q兩點(點P，Q均在第一象限)，且直線OP，l，OQ的斜率成等比數列，證明：直線l的斜率為定值． (1)解　由題意可得解得 故橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)證明　由題意可知直線l的斜率存在且不為0， 設直線l的方程為y＝kx＋m(m≠0)， 由消去y， 整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0， ∵直線l與橢圓交于兩點， ∴Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)>0. 設點P，Q的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝， ∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2. ∵直線OP，l，OQ的斜率成等比數列， ∴k2＝＝， 整理得km(x1＋x2)＋m2＝0， ∴＋m2＝0， 又m≠0，∴k2＝， 結合圖象(圖略)可知k＝－，故直線l的斜率為定值． 4．已知拋物線Γ：x2＝2py(p>0)，直線y＝2與拋物線Γ交于A，B(點B在點A的左側)兩點，且|AB|＝4. (1)求拋物線Γ在A，B兩點處的切線方程； (2)若直線l與拋物線Γ交于M，N兩點，且MN的中點在線段AB上，MN的垂直平分線交y軸于點Q，求△QMN面積的最大值． 解　(1)由x2＝2py，令y＝2，得x＝2，所以4＝4，解得p＝3，所以x2＝6y，由y＝，得y′＝，故＝. 所以在A點的切線方程為y－2＝(x－2)，即2x－y－2＝0，同理可得在B點的切線方程為2x＋y＋2＝0. (2)由題意得直線l的斜率存在且不為0， 故設l：y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 聯(lián)立 得x2－6kx－6m＝0，Δ＝36k2＋24m>0， 所以x1＋x2＝6k，x1x2＝－6m， 故|MN|＝＝2. 又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝6k2＋2m＝4，所以m＝2－3k2，所以|MN|＝2， 由Δ＝36k2＋24m>0，得－0，得10，即m2<4. y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－4. |y1－y2|＝2. |x1－x2|＝＝|y1－y2|＝|m|. 所以△ABF的面積S＝|m||x1－x2|＝m2＝. 令00， 當b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P在橢圓上(異于橢圓C的左、右頂點)，過右焦點F2作∠F1PF2的外角平分線L的垂線F2Q，交L于點Q，且|OQ|＝2(O為坐標原點)，橢圓的四個頂點圍成的平行四邊形的面積為4. (1)求橢圓C的方程； (2)若直線l：x＝my＋4(m∈R)與橢圓C交于A，B兩點，點A關于x軸的對稱點為A′，直線A′B交x軸于點D，求當△ADB的面積最大時，直線l的方程． 解　(1)由橢圓的四個頂點圍成的平行四邊形的面積為4ab＝4，得ab＝2. 延長F2Q交直線F1P于點R，因為F2Q為∠F1PF2的外角平分線的垂線， 所以|PF2|＝|PR|，Q為F2R的中點， 所以|OQ|＝＝＝＝a， 所以a＝2，b＝， 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)聯(lián)立消去x， 得(3m2＋4)y2＋24my＋36＝0， 所以Δ＝(24m)2－436(3m2＋4)＝144(m2－4)>0，即m2>4. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A′(x1，－y1)， 由根與系數的關系， 得y1＋y2＝，y1y2＝， 直線A′B的斜率k＝＝， 所以直線A′B的方程為y＋y1＝(x－x1)， 令y＝0，得xD＝＝＝＋4， 故xD＝1，所以點D到直線l的距離d＝， 所以S△ADB＝|AB|d＝＝18. 令t＝(t>0)，則S△ADB＝18＝≤＝， 當且僅當3t＝，即t2＝＝m2－4，即m2＝>4，m＝時，△ADB的面積最大， 所以直線l的方程為3x＋2y－12＝0或3x－2y－12＝0.