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3.數　列 1．在等差數列{an}中，a1＝－2，a12＝20. (1)求數列{an}的通項an； (2)若bn＝，求數列{3bn}的前n項和Sn. 解　(1)因為an＝－2＋(n－1)d，所以a12＝－2＋11d＝20，于是d＝2，所以an＝2n－4(n∈N*)． (2)因為an＝2n－4，所以a1＋a2＋…＋an＝＝n(n－3)，于是 bn＝＝n－3，令cn＝，則cn＝3n－3， 顯然數列{cn}是等比數列，且c1＝3－2，公比q＝3， 所以數列{3bn}的前n項和Sn＝＝(n∈N*)． 2．已知數列{an}滿足a1＝，＝＋2(n∈N*)． (1)求數列{an}的通項公式； (2)證明：a＋a＋a＋…＋a<. (1)解　由條件可知數列為等差數列，且首項為2，公差為2，所以＝2＋(n－1)2＝2n， 故an＝(n∈N*)． (2)證明　依題意可知a＝2＝<＝，n≥2，n∈N*. 又因為a＝， 所以a＋a＋a＋…＋a<＝<2＝. 故a＋a＋a＋…＋a<. 3．已知Sn為等差數列{an}的前n項和，且a1＝1，S9＝81.記bn＝[log5an]，其中[x]表示不超過x的最大整數，如[0.9]＝0，[log516]＝1. (1)求b1，b14，b61； (2)求數列{bn}的前200項和． 解　(1)設等差數列{an}的公差為d， 由已知S9＝81，根據等差數列的性質可知，S9＝9a5＝9(a1＋4d)＝81， ∴a1＋4d＝9. ∵a1＝1，∴d＝2， ∴an＝2n－1， ∴b1＝[log51]＝0，b14＝[log527]＝2，b61＝[log5121]＝2. (2)當1≤n≤2時，1≤an≤3(an∈N*)，bn＝[log5an]＝0，共2項； 當3≤n≤12時，5≤an≤23，bn＝[log5an]＝1，共10項； 當13≤n≤62時，25≤an≤123，bn＝[log5an]＝2，共50項； 當63≤n≤200時，125≤an≤399，bn＝[log5an]＝3，共138項． ∴數列{bn}的前200項和為20＋101＋502＋1383＝524. 4．已知數列{an}滿足a1＝1，Sn＝2an＋1，其中Sn為{an}的前n項和(n∈N*)． (1)求S1，S2及數列{Sn}的通項公式； (2)若數列{bn}滿足bn＝，且{bn}的前n項和為Tn，求證：當n≥2時，≤|Tn|≤. (1)解　數列{an}滿足Sn＝2an＋1， 則Sn＝2an＋1＝2(Sn＋1－Sn)，即3Sn＝2Sn＋1， 所以＝， 所以S2＝，S1＝a1＝1， 即數列{Sn}是以1為首項，以為公比的等比數列． 所以Sn＝n－1(n∈N*)． (2)證明　在數列{bn}中，bn＝＝－1，{bn}的前n項和的絕對值 |Tn|＝ ＝， 而當n≥2時， 1－≤≤＝， 即≤|Tn|≤. 5．設數列{an}滿足a1＝a，an＋1＝(a>0且a≠1，n∈N*)． (1)證明：當n≥2時，anb. 證明　(1)由an＋1＝知，an與a1的符號相同， 而a1＝a>0，所以an>0， 所以an＋1＝≤1， 當且僅當an＝1時，an＋1＝1， 下面用數學歸納法證明： ①因為a>0且a≠1，所以a2<1， ＝>1，即有a21，即ak＋1ak＋1>ak≥b； 若aka2k－1>a2k－1＝a2k－1≥a2. 因為k≥＋1， 所以(k－1)＋1≥＋1＝， 所以ak＋1>b. 6．已知數列{an}滿足a1＝2，點(an，an＋1)在直線y＝3x＋2上．數列{bn}滿足b1＝2，＝＋＋…＋. (1)求b2的值； (2)求證數列{an＋1}為等比數列，并求出數列{an}的通項公式； (3)求證：2－≤…<. (1)解　由已知得a2＝3a1＋2＝8， 所以＝，＝， 解得b2＝4. (2)解　由條件得an＋1＝3an＋2， 則＝＝3， 所以數列{an＋1}是以3為公比的等比數列． an＋1＝(a1＋1)3n－1＝3n， 所以數列{an}的通項公式為an＝3n－1. (3)證明　由題設＝＋＋…＋，① 知＝＋＋…＋(n≥2)，② ①－②得－＝， 則＝，即＝(n≥2)． 當n＝1時，2－＝，1＋＝<， 所以原不等式成立； 當n≥2時，…＝… ＝…(1＋bn)＝…(1＋bn) ＝(1＋bn)＝3＝3 ＝3， 先證明不等式左邊， 因為＝>， 所以3≥3 ＝3＝2－. 再證明不等式右邊，當n≥2時， ＝＝≤， 3≤3 ＝3＝3<. 所以2－≤…<成立． 綜上所述，不等式成立．