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19 直線與橢圓的綜合
1.直線x+4y+m=0交橢圓x216+y2=1于A,B兩點,若線段AB中點的橫坐標為1,則m=( ).
A.-2 B.-1 C.1 D.2
解析? 因為x+4y+m=0,所以y=-14x-m4.
設A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1216+y12=1,x2216+y22=1,兩式相減,
得y1-y2x1-x2=-x1+x216(y1+y2)=-14.
因為AB中點的橫坐標為1,所以縱坐標為14,將1,14代入直線y=-14x-m4,解得m=-2,故選A.
答案? A
2.已知F是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點,經過原點的直線l與橢圓E交于P,Q兩點,若|PF|=2|QF|,且∠PFQ=120,則橢圓的離心率為( ).
A.13 B.12 C.33 D.22
解析? 在△PQF中,設|PF|=2|QF|=2t,P(x1,y1),Q(-x1,-y1),右焦點為E,由橢圓的對稱性,知四邊形PFQE是平行四邊形,所以在△PEF中,由余弦定理得EF2=5t2-2t2=3t2=4c2.因為PF+QF=2a=3t,所以t=2a3,所以e=33,故選C.
答案? C
3.如圖,在平面直角坐標系xOy中,F是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點,直線y=b2與橢圓交于B,C兩點,且∠BFC=90,則該橢圓的離心率是 .
解析? 將y=b2代入橢圓的標準方程,
得x2a2+b24b2=1,所以x=32a,
故B-32a,b2,C32a,b2.
又因為F(c,0),所以BF=c+32a,-b2,CF=c-32a,-b2.
因為∠BFC=90,所以BFCF=0,
所以c+32ac-32a+-b22=0,
即c2-34a2+b24=0.
將b2=a2-c2代入并化簡,得a2=32c2,
所以e2=c2a2=23,
所以e=63(負值舍去).
答案? 63
4.直線x4+y3=1與橢圓x216+y29=1相交于A,B兩點,該橢圓上有點P,使得△PAB的面積等于3,則這樣的點P共有 個.
解析? 設P1(4cos α,3sin α)0<α<π2,即點P1在第一象限.設四邊形P1AOB的面積為S,
則S=S△OAP1+S△OBP1=1243sin α+1234cos α=6(sin α+cos α)=62sinα+π4,
∴Smax=62.∵S△OAB=1243=6,
∴S△P1AB的最大值為62-6.
∵62-6<3,∴點P不可能在直線AB的右上方,
∴在AB的左下方有2個這樣的點P.
答案? 2
能力1
? 會用點差法解直線與橢圓中的與弦中點有關的問題
【例1】 已知橢圓C:x24+y2b2=1(0
b>0)的一條弦所在的直線方程是x-y+5=0,弦的中點坐標是M(-4,1),則橢圓的離心率是( ).
A.12 B.22 C.32 D.55
解析? 設直線與橢圓的交點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),分別代入橢圓方程,由點差法可知yM=-b2a2xM,代入點M(-4,1),解得b2a2=14,∴e=1-b2a2=32,故選C.
答案? C
能力2
? 會用“設而不解”的思想解直線與橢圓中的弦長、面積問題
【例2】 在平面直角坐標系xOy中,動點M(x,y)總滿足關系式2(x-1)2+y2=|x-4|.
(1)點M的軌跡是什么曲線?并寫出它的標準方程.
(2)坐標原點O到直線l:y=kx+m的距離為1,直線l與M的軌跡交于不同的兩點A,B,若OAOB=-32,求△AOB的面積.
解析? (1)由2(x-1)2+y2=|x-4|,
得x24+y23=1,
所以點M的軌跡是焦點在x軸上的橢圓,
它的標準方程為x24+y23=1.
(2)由點O到直線l:y=kx+m的距離為1,得d=|m|1+k2=1,即1+k2=m2.
設A(x1,y1),B(x2,y2),
聯立x24+y23=1,y=kx+m,消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(3+4k2-m2)>0,得m2<4k2+3,
所以x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2,
所以OAOB=x1x2+y1y2
=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=(1+k2)4m2-123+4k2+km-8km3+4k2+m2
=7m2-12k2-123+4k2=-5k2-53+4k2.
因為OAOB=-32,所以-5k2-53+4k2=-32,
解得k2=12,m2=1+k2=32,
所以|AB|=1+k248(3k2+2)3+4k2=675,
所以S△AOB=121675=375.
求解弦長的四種方法
(1)當弦的兩個端點坐標容易求時,可直接利用兩點間的距離公式求解.
(2)聯立直線與圓錐曲線方程,解方程組求出兩個交點坐標,代入兩點間的距離公式求解.
(3)聯立直線與圓錐曲線方程,消元得到關于x(或y)的一元二次方程,利用根與系數的關系得到(x1-x2)2,(y1-y2)2,代入兩點間的距離公式.
(4)當弦過焦點時,可結合焦半徑公式求解弦長.
已知橢圓C的兩個焦點坐標分別是(-2,0),(2,0),并且經過點P(3,1).
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)過橢圓C的右焦點F作直線l,直線l與橢圓C相交于A,B兩點,與圓O:x2+y2=6相交于D,E兩點,當△OAB的面積最大時,求弦|DE|的長.
解析? (1)設橢圓C的標準方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),
由橢圓的定義可得2a=(3+2)2+1+(3-2)2+1
=8+43+8-43
=(6+2)2+(6-2)2
=26,
∴a=6.
∵c=2,∴b2=2.
∴橢圓C的標準方程為x26+y22=1.
(2)設直線l的方程為x=ky+2,
代入橢圓C的方程并化簡得(k2+3)y2+4ky-2=0.
設A(x1,y1),B(x2,y2),
則y1+y2=-4kk2+3,y1y2=-2k2+3.
∴△OAB的面積S=12|OF||y1-y2|=|y1-y2|
=16k2+8(k2+3)k2+3=26k2+1k2+3.
令t=k2+1(t≥1),則S=26tt2+2≤26t22t=3,當且僅當t=2,即k=1時取等號,
此時直線l的方程為x=y+2.
∴圓心O到直線l的距離d=2,又圓O的半徑為6,故|DE|=26-2=4.
能力3
? 會用“設而不解”的思想求直線與橢圓中的有關幾何量
【例3】 已知點M(-4,0),橢圓x24+y2b2=1(0b>0)的離心率為32,過右焦點F且斜率為k(k>0)的直線與Γ相交于A,B兩點.若AF=3FB,則k=( ).
A.1 B.2 C.3 D.2
解析? 設A(x1,y1),B(x2,y2),
∵AF=3FB,∴y1=-3y2.
∵e=32,設a=2t,c=3t,b=t,
∴x2+4y2-4t2=0.?、?
設直線AB的方程為x=sy+3t,
代入①中消去x,可得(s2+4)y2+23sty-t2=0,
∴y1+y2=-23sts2+4,y1y2=-t2s2+4.
由y1=-3y2可得-2y2=-23sts2+4,-3y22=-t2s2+4,
解得s2=12,k=2.故選D.
答案? D
能力4
? 會用“設而不解”的思想求直線與橢圓中的最值
【例4】 已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)經過點P-3,12,橢圓的一個焦點為(3,0).
(1)求橢圓E的方程;
(2)若直線l過點(0,2)且與橢圓E交于A,B兩點,求|AB|的最大值.
解析? (1)設橢圓E的左、右焦點分別為F1(-3,0)、F2(3,0),則|PF1|=12,|PF2|=72.
∴|PF1|+|PF2|=4=2a,∴a=2.
又c=3,∴b2=1,
∴橢圓E的方程為x24+y2=1.
(2)當直線l的斜率存在時,設y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
由x24+y2=1,y=kx+2得(1+4k2)x2+82kx+4=0,
由Δ>0得4k2>1.
∴x1+x2=-82k1+4k2,x1x2=41+4k2,
∴|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2
=2-611+4k22+11+4k2+1.
設t=11+4k2,則00,得m2<4k2+3,
所以x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2,
所以y1+y2=k(x1+x2)+2m=-8k2m3+4k2+2m=6m3+4k2,
所以x1+x22=-4km3+4k2,y1+y22=3m3+4k2,
所以線段AB的中點坐標為-4km3+4k2,3m3+4k2.
當k=0時,x0=0,當k≠0時,
則線段AB的垂直平分線方程為y-3m3+4k2=-1kx+4km3+4k2.
把點P(x0,0)代入上面的方程得x0(3+4k2)=-km,
所以x0(3+4k2)-k=m,代入4k2-m2+3>0,
整理得x02<4k4+3k216k4+24k2+9,令k2=t(t>0),
x02<4t2+3t16t2+24t+9=116t2+24t+94t2+3t=14+3t<14,
所以-120,b>0)與直線y=1-x交于A,B兩點,過原點與線段AB中點的直線的斜率為32,則ba的值為( ).
A.32 B.233
C.932 D.2327
解析? 設A(x1,y1),B(x2,y2),則ax12+by12=1,ax22+by22=1,
即ax12-ax22=-(by12-by22),
則by12-by22ax12-ax22=-1,
∴b(y1-y2)(y1+y2)a(x1-x2)(x1+x2)=-1,
∴ba(-1)32=-1,
∴ba=233,故選B.
答案? B
2.已知經過點(0,2)且斜率為k的直線l與橢圓x22+y2=1有兩個不同的交點P和Q,則k的取值范圍是( ).
A.-22,22
B.-∞,-22∪22,+∞
C.(-2,2)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
解析? 由題意得,直線l的方程為y=kx+2,代入橢圓方程得x22+(kx+2)2=1,整理得12+k2x2+22kx+1=0.直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于Δ=8k2-412+k2=4k2-2>0,解得k<-22或k>22,即k的取值范圍為-∞,-22∪22,+∞.故選B.
答案? B
3.經過橢圓x22+y2=1的一個焦點作傾斜角為45的直線l,交橢圓于A,B兩點.設O為坐標原點,則OAOB等于( ).
A.-3 B.-13
C.-13或-3 D.13
解析? 由題意知,當直線l經過橢圓的右焦點(1,0)時,其方程為y-0=tan 45(x-1),即y=x-1,代入橢圓方程x22+y2=1并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=43,所以兩個交點的坐標分別為(0,-1),43,13,所以OAOB=-13,同理,當直線l經過橢圓的左焦點時,也可得OAOB=-13,故選B.
答案? B
4.若橢圓x2a2+y2b2=1的焦點在x軸上,過點1,12作圓x2+y2=1的切線,切點分別為A,B,直線AB恰好經過橢圓的右焦點和上頂點,則橢圓的方程是( ).
A.x24+y23=1 B.x23+y22=1
C.x25+y24=1 D.x28+y25=1
解析? 可設斜率存在的切線的方程為y-12=k(x-1)(k為切線的斜率),即2kx-2y-2k+1=0,由|-2k+1|4k2+4=1,解得k=-34,所以圓x2+y2=1的一條切線的方程為3x+4y-5=0,可求得切點的坐標為35,45,易知另一切點的坐標為(1,0),則直線AB的方程為y=-2x+2.令y=0得右焦點為(1,0),令x=0得上頂點為(0,2),故a2=b2+c2=5,所以所求橢圓的方程為x25+y24=1,故選C.
答案? C
5.已知橢圓C的方程為x216+y2m2=1(m>0),若直線y=22x與橢圓的一個交點M在x軸上的射影恰好是橢圓的右焦點F,則m的值為( ).
A.2 B.22 C.8 D.23
解析? 根據已知條件得c=16-m2,則點16-m2,2(16-m2)2在橢圓x216+y2m2=1(m>0)上,
∴16-m216+16-m22m2=1,可得m=22,故選B.
答案? B
6.已知直線l:y=kx+2過橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上頂點B和左焦點F,且被圓x2+y2=4截得的弦長為L,若L≥455,則橢圓離心率e的取值范圍是( ).
A.0,55 B.0,255
C.0,355 D.0,455
解析? 依題意,知b=2,|kc|=2.設圓心到直線l的距離為d,則L=24-d2≥455,解得d2≤165.
又因為d=21+k2,所以11+k2≤45,解得k2≥14.因為e2=c2a2=c2b2+c2=11+k2,所以00,b>0),若以C1的長軸為直徑的圓與C2的一條漸近線交于A,B兩點,且C1與C2的漸近線的兩個交點將線段AB三等分,則C2的離心率為( ).
A.5 B.5
C.17 D.2147
解析? 設直線AB與橢圓在第一象限內的交點為P,A(11cos θ,11sin θ),其中θ∈0,π2,
則P113cosθ,113sinθ.
因為點P在橢圓上,
所以cos2θ9+119sin2θ=1,解得sin2θ=45,cos2θ=15,所以tan θ=2,即ba=2,所以e=1+ba2=5,故選A.
答案? A
8.已知橢圓x24+y2b2=1(03,但當直線AB的斜率不存在時,|AB|=3,故|AB|存在最小值3,故D選項不對.
答案? D
二、填空題
11.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F(2,0)為其右焦點,過F且垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2,則橢圓C的方程為 .
解析? 由題意得c=2,2b2a=2,a2=b2+c2,解得a=2,b=2,
∴橢圓C的方程為x24+y22=1.
答案? x24+y22=1
12.已知直線MN過橢圓x22+y2=1的左焦點F,與橢圓交于M,N兩點,直線PQ過原點O 與MN平行,且PQ與橢圓交于P,Q兩點,則|PQ|2|MN|= .
解析? 由題意知F(-1,0),當直線MN斜率不存在時,|MN|=2b2a=2,|PQ|=2b=2,則|PQ|2|MN|=22.
當直線MN斜率存在時,設直線MN的斜率為k,則直線MN的方程為y=k(x+1),設M(x1,y1),N(x2,y2),聯立x22+y2=1,y=k(x+1),整理得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,由韋達定理得x1+x2=-4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1,
所以|MN|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=22(k2+1)2k2+1.
易知直線PQ的方程為y=kx,設P(x3,y3),Q(x4,y4),聯立x22+y2=1,y=kx,解得x2=22k2+1,y2=2k22k2+1,
則|OP|2=x2+y2=2(k2+1)2k2+1,所以|PQ|=2|OP|,則|PQ|2=4|OP|2=8(k2+1)2k2+1,|PQ|2|MN|=22.
答案? 22
三、解答題
13.點A為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一個動點,弦AB、AC分別過橢圓的左、右焦點F1、F2.當AC⊥x軸時,恰好|AF1|=2|AF2|.
(1)求該橢圓的離心率.
(2)設AF1=λ1F1B,AF2=λ2F2C,λ1+λ2是否為定值?若是,則求出該定值;若不是,請說明理由.
解析? (1)因為當AC⊥x軸時,恰好|AF1|=2|AF2|,
由橢圓的定義知,2a-|AF2|=2|AF2|,|AF2|=b2a,所以2a-b2a=2b2a,即b2a2=23,
故橢圓的離心率e=ca=33.
(2)設橢圓的半焦距為c,則F1(-c,0),F2(c,0),橢圓方程設為x23c2+y22c2=1,整理得2x2+3y2-6c2=0.
設A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2),
若直線AC的斜率存在,則直線AC的方程為y=y0x0-c(x-c),
聯立y=y0x0-c(x-c),2x2+3y2-6c2=0,消去x,
得[2(x0-c)2+3y02]y2+4cy0(x0-c)y-4c2y02=0.
由韋達定理得y0y2=-4c2y022(x0-c)2+3y02,
y2=-4c2y02(x0-c)2+3y02,
同理y0y1=-4c2y022(x0+c)2+3y02,y1=-4c2y02(x0+c)2+3y02.
由AF1=λ1F1B得y0=-λ1y1,
則λ1=-y0y1=2(x0+c)2+3y024c2.
由AF2=λ2F2C得λ2=-y0y2=2(x0-c)2+3y024c2,
所以λ1+λ2=2(x0-c)2+3y02+2(x0+c)2+3y024c2=2(2x02+3y02)+4c24c2=26c2+4c24c2=4,
故λ1+λ2=4.
若直線AC⊥x軸,則λ2=1,λ1=3,所以λ1+λ2=4.
綜上所述,λ1+λ2=4是定值.
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