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專題04 解三角形 知識(shí)必備 一、正弦定理 1．正弦定理 在中，若角A，B，C對(duì)應(yīng)的三邊分別是a，b，c，則各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即.正弦定理對(duì)任意三角形都成立． 2．常見變形 （1） （2） （3） （4）正弦定理的推廣：，其中為的外接圓的半徑. 3．解決的問題 （1）已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角； （2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角． 4．在中，已知，和時(shí)，三角形解的情況 二、余弦定理 1．余弦定理 三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍，即 2．余弦定理的推論 從余弦定理，可以得到它的推論： . 3．解決的問題 （1）已知三邊，求三個(gè)角； （2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角． 4．利用余弦定理解三角形的步驟 三、三角形的面積 1．三角形的面積公式 設(shè)的三邊為a，b，c，對(duì)應(yīng)的三個(gè)角分別為A，B，C，其面積為S. （1） (h為BC邊上的高)； （2）； （3）(為三角形的內(nèi)切圓半徑)． 2．三角形的高的公式 hA=bsinC=csinB，hB=csinA=asinC，hC=asinB=bsinA． 核心考點(diǎn) 考點(diǎn)一 直接利用正、余弦定理解三角形 【例1】（正弦定理）設(shè)的角所對(duì)的邊分別是，若則 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由正弦定理得. 故選B． 【例2】（余弦定理）已知分別是的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊，且 則 A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【例3】（正、余弦定理的綜合）在中，，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，若，，則 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因?yàn)?，所以由正弦定理得，又因?yàn)?，所以，令，所以由余弦定理得，選D． 備考指南 1．利用正、余弦定理求邊和角的方法： （1）根據(jù)題目給出的條件(即邊和角)作出相應(yīng)的圖形，并在圖形中標(biāo)出相關(guān)的位置． （2）選擇正弦定理或余弦定理或二者結(jié)合求出待解問題．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到. （3）在運(yùn)算求解過程中注意三角恒等變換與三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用． 2．常見結(jié)論： （1）三角形的內(nèi)角和定理：在中，，其變式有：，等． （2）三角形中的三角函數(shù)關(guān)系：；； ；. 考點(diǎn)二 三角形解的個(gè)數(shù)或形狀的判斷 【例4】（三角形個(gè)數(shù)的判斷）在中，分別是內(nèi)角所對(duì)的邊，若a=2，b=，A=45，則滿足條件的三角形有 A．1個(gè) B．2個(gè) C．0個(gè) D．無法確定 【答案】B 【解析】∵，∴，∴滿足條件的三角形有2個(gè)，故選B． 備考指南 判斷三角形解的個(gè)數(shù)的兩種方法 1．代數(shù)法：根據(jù)大邊對(duì)大角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和公式、正弦函數(shù)的值域等判斷． 2．幾何圖形法：根據(jù)條件畫出圖形，通過圖形直觀判斷解的個(gè)數(shù). 【例5】（三角形形狀的判斷）在中，分別是內(nèi)角所對(duì)的邊，若，則的形狀為 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．銳角三角形 【答案】B 備考指南 利用正、余弦定理判定三角形形狀的兩種思路： 1．“角化邊”：利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀. 2．“邊化角”：利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角恒等變換，得出內(nèi)角間的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用這個(gè)結(jié)論． 提醒：在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免造成漏解. 考點(diǎn)三 三角形的面積與周長(zhǎng)問題 【例6】（直接求面積）在中，則的面積等于 A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】在中，所以的面積等于 ，故選C． 【例7】（三角形周長(zhǎng)問題）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，． （1）求的值； （2）求的周長(zhǎng)． 【解析】（1）因?yàn)樵谥?，，所以? 又，， 所以由正弦定理可得得， 所以， 因?yàn)椋? 所以． （2）由余弦定理知， 所以，即，解得或（舍去）， 所以的周長(zhǎng)為． 備考指南 1．求三角形面積的方法 ①若三角形中已知一個(gè)角(角的大小，或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求夾這個(gè)角的兩邊或該兩邊之積，套公式求解． ②若已知三角形的三邊，可先求其一個(gè)角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面積，總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵． 2．三角形中，已知面積求邊、角的方法 三角形面積公式中含有兩邊及其夾角，故根據(jù)題目的特點(diǎn)，若求角，就尋求夾這個(gè)角的兩邊的關(guān)系，利用面積公式列方程求解；若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關(guān)聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解． 考點(diǎn)四 三角形中的范圍或最值問題 【例8】（范圍問題）已知是的內(nèi)角所對(duì)的邊，，則角的取值范圍是 . 【答案】（0，] 【例9】（最值問題）中，角所對(duì)的邊分別為， ． （1）求的大小； （2）若的面積為，求的最小值． 【解析】（1）∵， ∴，即， ∴， 由正弦定理得，， 由余弦定理得，， ∵， ∴. （2）由（1）知，==， ∴=2， ∴=≥==2，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)， ∴（舍）或， ∴=. 備考指南 求最值或范圍時(shí),注意公式的選擇. 1．求取值范圍時(shí),用正弦定理轉(zhuǎn)化為解三角函數(shù)值域. 2．求最大或最小值時(shí),用余弦定理和均值不等式.注意均值不等式只能求一端的最值,有時(shí)由兩邊之和大于第三邊求另一個(gè). 能力突破 1．已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，若，則角的大小為 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由正弦定理得，化簡(jiǎn)得，故. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，考查利用正弦定理進(jìn)行邊角互化的方法.由于題目所給已知條件一邊是角的形式，另一邊是邊的形式，由此我們考慮將兩邊同時(shí)化為邊或者同時(shí)轉(zhuǎn)化為角的形式，考慮到正弦定理，故將角轉(zhuǎn)化為邊，然后利用余弦定理將式子轉(zhuǎn)化為余弦值，由此求得的大小. 2．已知中，角的對(duì)邊分別為，若，則 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得，，由余弦定理可得. 所以. 3．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則的面積為 A． B． C． D． 【答案】A 4．在中，角所對(duì)的邊分別為.若. （1）求角的大??； （2）若的面積為，且，求的值. 【解析】（1）由題意知， 因?yàn)?，所以? 所以， 則. 因?yàn)?，所? （2）因?yàn)?，所? 由余弦定理得，則， 所以，解得. 5．如圖所示，在四邊形中，，且，，． （1）求的面積； （2）若，求的長(zhǎng)． 【解析】（1）因?yàn)椋? 所以， 又， 所以， 所以． （2）由余弦定理可得， 因?yàn)椋? 所以，解得． 高考通關(guān) 1．（2017山東理）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為，，．若為銳角三角形，且滿足，則下列等式成立的是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由題意知， 所以，選A. 【名師點(diǎn)睛】本題較為容易，關(guān)鍵是要利用兩角和與差的三角函數(shù)公式進(jìn)行恒等變形. 首先用兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為含有A，B，C的式子，再用正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，得到.解答三角形中的問題時(shí)，三角形內(nèi)角和定理是經(jīng)常用到的一個(gè)隱含條件，不容忽視. 2．（2018新課標(biāo)Ⅱ理）在中，，，，則 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因?yàn)樗?，選A. 【名師點(diǎn)睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理，結(jié)合已知條件，靈活轉(zhuǎn)化為邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的. 3．（2018新課標(biāo)Ⅲ理）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，若的面積為，則 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題可知，所以，由余弦定理，得，因?yàn)?，所以，故選C. 4．（2017新課標(biāo)Ⅰ理）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知的面積為. （1）求sin Bsin C; （2）若6cos Bcos C=1，a=3，求的周長(zhǎng). 【解析】（1）由題設(shè)得，即. 由正弦定理得. 故. （2）由題設(shè)及（1）得，即. 所以， 故. 由題設(shè)得，即. 由余弦定理得，即，得. 故的周長(zhǎng)為. 【名師點(diǎn)睛】在處理解三角形問題時(shí)，要注意抓住題目所給的條件，當(dāng)題設(shè)中給定三角形的面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，有時(shí)需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長(zhǎng)度和它所對(duì)的角，求面積或周長(zhǎng)的取值范圍”或者“已知一條邊的長(zhǎng)度和它所對(duì)的角，再有另外一個(gè)條件，求面積或周長(zhǎng)的值”，這類問題的通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，如，從而求出范圍，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可. 5．（2017新課標(biāo)Ⅱ理）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知． （1）求； （2）若，的面積為，求． 【解析】（1）由題設(shè)及，可得，故． 上式兩邊平方，整理得，解得(舍去)，． 【名師點(diǎn)睛】解三角形問題是高考的高頻考點(diǎn)，命題大多放在解答題的第一題，主要利用三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理，三角形的面積公式等知識(shí)進(jìn)行求解．解題時(shí)要靈活利用三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”“角轉(zhuǎn)邊”，另外要注意三者之間的關(guān)系，這樣的題目小而活，備受命題者的青睞． 你都掌握了嗎？ 有哪些問題？整理一下！