《（浙江專(zhuān)版）2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 1.3 函數(shù)的基本性質(zhì)學(xué)案 新人教A版必修1.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專(zhuān)版）2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 1.3 函數(shù)的基本性質(zhì)學(xué)案 新人教A版必修1.doc（36頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1.3
1．3.1 單調(diào)性與最大(小)值
第一課時(shí) 函數(shù)的單調(diào)性
預(yù)習(xí)課本P27～29，思考并完成以下問(wèn)題
(1)增函數(shù)、減函數(shù)的概念是什么？
(2)如何表示函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？
(3)函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間有什么關(guān)系？
1．定義域?yàn)镮的函數(shù)f(x)的增減性
[點(diǎn)睛] 定義中的x1，x2有以下3個(gè)特征
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字絕不能去掉，證明時(shí)不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常規(guī)定x1
f(x2)的是( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝2x＋1
答案：B
4．函數(shù)f(x)＝－x2－2x的單調(diào)遞增區(qū)間是________．
答案：(－∞，－1]
函數(shù)單調(diào)性的判定與證明
[例1] 求證：函數(shù)f(x)＝在(0，＋∞)上是減函數(shù)，在(－∞，0)上是增函數(shù)．
[證明] 對(duì)于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x10，x1＋x2<0，xx>0.
∴f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)0，x2＋x1>0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴函數(shù)f(x)＝在(0，＋∞)上是減函數(shù)．
利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的4個(gè)步驟
[活學(xué)活用]
1．證明函數(shù)f(x)＝x＋在(0,1)上是減函數(shù)．
證明：設(shè)x1，x2是區(qū)間(0,1)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x10，即f(x1)>f(x2)，
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
∴f(x)＝x＋在(0,1)上是減函數(shù).
[例2] 畫(huà)出函數(shù)y＝－x2＋2|x|＋1的圖象并寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
[解] y＝
即y＝
函數(shù)的大致圖象如圖所示，單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－1]，[0,1]，單調(diào)減區(qū)間為(－1,0)，(1，＋∞)．
求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的2種方法
法一：定義法．即先求出定義域，再利用定義法進(jìn)行判斷求解．
法二：圖象法．即先畫(huà)出圖象，根據(jù)圖象求單調(diào)區(qū)間．
[活學(xué)活用]
2．如圖所示為函數(shù)y＝f(x)，x∈[－4,7]的圖象，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．
解析：由圖象知單調(diào)遞增區(qū)間為[－1.5,3]和[5,6]．
答案：[－1.5,3]和[5,6]
3．求函數(shù)f(x)＝的單調(diào)減區(qū)間．
解：函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)?－∞，1)∪(1，＋∞)，
設(shè)x1，x2∈(－∞，1)，且x10，x1－1<0，x2－1<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函數(shù)f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，同理函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．
綜上，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，1)，(1，＋∞).
函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
題點(diǎn)一：利用單調(diào)性比較大小
1．若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，則下列關(guān)系式一定成立的是( )
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)a2，所以f(a2＋1)f(5x＋6)，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．
解：∵函數(shù)y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，且f(2x－3)>f(5x＋6)，∴2x－3>5x＋6，解得x<－3.∴x的取值范圍為(－∞，－3)．
題點(diǎn)三：已知單調(diào)性求參數(shù)范圍
3．已知函數(shù)f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：設(shè)11.
∵函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)，
∴f(x1)－f(x2)＝x1－＋－
＝(x1－x2)<0.
∵x1－x2<0，∴1＋>0，即a>－x1x2.
∵11，∴－x1x2<－1，∴a≥－1.
∴a的取值范圍是[－1，＋∞)．
函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
(1)函數(shù)單調(diào)性定義的“雙向性”：利用定義可以判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性，反過(guò)來(lái)，若已知函數(shù)的單調(diào)性可以確定函數(shù)中參數(shù)的取值范圍．
(2)若一個(gè)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則此函數(shù)在這一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的任意子集上也是單調(diào)的．
層級(jí)一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1．如圖是函數(shù)y＝f(x)的圖象，則此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間的個(gè)數(shù)是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：選B 由圖象，可知函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間有2個(gè)．故選B.
2．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)的是( )
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋4
解析：選A 因?yàn)椋?<0，所以一次函數(shù)y＝－x＋3在R上遞減，反比例函數(shù)y＝在(0，＋∞)上遞減，二次函數(shù)y＝－x2＋4在(0，＋∞)上遞減．故選A.
3．函數(shù)y＝的單調(diào)遞減區(qū)間是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
解析：選C 函數(shù)y＝的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．由函數(shù)的圖象可知y＝在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上分別是減函數(shù)．
4．若函數(shù)f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是單調(diào)減函數(shù)，則有( )
A．a(chǎn)≥ B．a(chǎn)≤
C．a(chǎn)> D．a(chǎn)<
解析：選D 函數(shù)f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是單調(diào)減函數(shù)，則2a－1<0，即a<.故選D.
5．函數(shù)f(x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的遞增區(qū)間依次是( )
A．(－∞，0]，(－∞，1] B．(－∞，0]，(1，＋∞)
C．[0，＋∞)，(－∞，1] D．[0，＋∞)，[1，＋∞)
解析：選C 分別作出f(x) 與g(x)的圖象得：f(x)在[0，＋∞)上遞增，g(x)在(－∞，1]上遞增，選C.
6．若f(x)在R上是減函數(shù)，則f(－1)________f(a2＋1)(填“>”或“<”或“≥”或“≤”)．
解析：∵f(x)在R上是減函數(shù)，∴對(duì)任意x1，x2，若x1f(x2)．又∵－1f(a2＋1)．
答案：>
7．已知函數(shù)f(x)為定義在區(qū)間[－1,1]上的增函數(shù)，則滿足f(x)0，
又由x12>1，則f(3)0.
∵00，
∴b<0.
答案：(－∞，0)
6．函數(shù)y＝－(x－3)|x|的單調(diào)遞增區(qū)間是________．
解析：y＝－(x－3)|x|＝作出其圖象如圖，觀察圖象知單調(diào)遞增區(qū)間為.
答案：
7．已知y＝f(x)在定義域(－1,1)上是減函數(shù)，且f(1－a)2a－1，即a<，②
由①②可知，a的取值范圍是.
8．設(shè)函數(shù)f(x)＝(a>b>0)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間，并說(shuō)明f(x)在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性．
解：在定義域內(nèi)任取x1，x2，且使x1b>0，x10.
只有當(dāng)x1x1>1，∴x1－x2<0，
又∵x1x2>1，∴x1x2－1>0，
故(x1－x2)<0，即f(x1)0，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函數(shù)f(x)＝是區(qū)間[2,6]上的減函數(shù)．
實(shí)際應(yīng)用中的最值
因此，函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[2,6]的兩個(gè)端點(diǎn)處分別取得最大值與最小值，即在x＝2時(shí)取得最大值，最大值是2，在x＝6時(shí)取得最小值，最小值是0.4.
[例3] 某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)：
R(x)＝其中x是儀器的月產(chǎn)量．
(1)將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量的函數(shù)f(x)；
(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？(總收益＝總成本＋利潤(rùn))
[解] (1)設(shè)月產(chǎn)量為x臺(tái)，則總成本為20 000＋100x，從而
f(x)＝
(2)當(dāng)0≤x≤400時(shí)，
f(x)＝－(x－300)2＋25 000，
∴當(dāng)x＝300時(shí)，[f(x)]max＝25 000.
當(dāng)x>400時(shí)，
f(x)＝60 000－100x是減函數(shù)，
f(x)<60 000－100400<25 000.
∴當(dāng)x＝300時(shí)，[f(x)]max＝25 000.
即每月生產(chǎn)300臺(tái)儀器時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為25 000元．
解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的5個(gè)步驟
(1)審：審清題意，讀懂題，找出各量之間的關(guān)系．
(2)設(shè)：從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型，恰當(dāng)設(shè)出未知數(shù)．
(3)列：根據(jù)已知條件列出正確的數(shù)量關(guān)系．
(4)解：轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或解方程或解不等式．
(5)答：回歸實(shí)際，明確答案，得出結(jié)論．
[活學(xué)活用]
3．將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元一個(gè)出售時(shí)，能賣(mài)出500個(gè)，已知這種商品每漲價(jià)1元，其銷(xiāo)售量就減少10個(gè)，為得到最大利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)為多少元？最大利潤(rùn)為多少？
解：設(shè)售價(jià)為x元，利潤(rùn)為y元，單個(gè)漲價(jià)(x－50)元，銷(xiāo)量減少10(x－50)個(gè)，銷(xiāo)量為500－10(x－50)＝(1 000－10x)個(gè)，則y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000≤9 000.
故當(dāng)x＝70時(shí)，ymax＝9 000.
即售價(jià)為70元時(shí)，利潤(rùn)最大值為9 000元.
二次函數(shù)的最大值，最小值
[例4] 求二次函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．
[解] ∵函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是x＝a，
∴當(dāng)a<2時(shí)，f(x)在[2,4]上是增函數(shù)，
∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.
當(dāng)a>4時(shí)，f(x)在[2,4]上是減函數(shù)，
∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.
當(dāng)2≤a≤4時(shí)，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
∴f(x)min＝
[一題多變]
1．[變?cè)O(shè)問(wèn)]在本例條件下，求f(x)的最大值．
解：∵函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是x＝a，
∴當(dāng)a≤3時(shí)，f(x)max＝f(4)＝18－8a，
當(dāng)a>3時(shí)，f(x)max＝f(2)＝6－4a.
∴f(x)max＝
2．[變?cè)O(shè)問(wèn)]在本例條件下，若f(x)的最小值為2，求a的值．
解：由本例解析知f(x)min＝
當(dāng)a＜2時(shí)，6－4a＝2，a＝1；
當(dāng)2≤a≤4時(shí)，2－a2＝2，a＝0(舍去)；
當(dāng)a＞4時(shí)，若18－8a＝4，a＝(舍去)．
∴a的值為1.
3．[變條件，變?cè)O(shè)問(wèn)]本例條件變?yōu)?，若f(x)＝x2－2ax＋2，當(dāng)x∈[2,4]時(shí)，f(x)≤a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：在[2,4]內(nèi)，f(x)≤a恒成立，
即a≥x2－2ax＋2在[2,4]內(nèi)恒成立，
即a≥f(x)max，x∈[2,4]．
由本例探究1知f(x)max＝
(1)當(dāng)a≤3時(shí)，a≥18－8a，解得a≥2，此時(shí)有2≤a≤3.
(2)當(dāng)a＞3時(shí)，a≥6－4a，解得a≥，此時(shí)有a＞3.
綜上有實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，＋∞)．
求解二次函數(shù)最值問(wèn)題的順序
(1)確定對(duì)稱(chēng)軸與拋物線的開(kāi)口方向、作圖．
(2)在圖象上標(biāo)出定義域的位置．
(3)觀察單調(diào)性寫(xiě)出最值．
層級(jí)一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1.函數(shù)y＝f(x)(－2≤x≤2)的圖象如下圖所示，則函數(shù)的最大值、最小值分別為( )
A．f(2)，f(－2)
B．f，f(－1)
C．f，f
D．f，f(0)
解析：選C 根據(jù)函數(shù)最值定義，結(jié)合函數(shù)圖象可知，當(dāng)x＝－時(shí)，有最小值f；當(dāng)x＝時(shí)，有最大值f.
2．函數(shù)y＝x2－2x＋2在區(qū)間[－2,3]上的最大值、最小值分別是( )
A．10,5 B．10,1
C．5,1 D．以上都不對(duì)
解析：選B 因?yàn)閥＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2,3]，所以當(dāng)x＝1時(shí)，ymin＝1，當(dāng)x＝－2時(shí)，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.故選B.
3．函數(shù)y＝(x≠－2)在區(qū)間[0,5]上的最大值、最小值分別是( )
A.，0 B.，0
C.， D．最小值為－，無(wú)最大值
解析：選C 因?yàn)楹瘮?shù)y＝在區(qū)間[0,5]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝0時(shí)，ymax＝，當(dāng)x＝5時(shí)，ymin＝.故選C.
4．若函數(shù)y＝ax＋1在[1,2]上的最大值與最小值的差為2，則實(shí)數(shù)a的值是( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．0
解析：選C 由題意知a≠0，當(dāng)a>0時(shí)，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；當(dāng)a<0時(shí)，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.綜上知a＝2.
5．當(dāng)0≤x≤2時(shí)，a＜－x2＋2x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
解析：選C 令f(x)＝－x2＋2x，
則f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.
又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.
∴a＜0.
6．函數(shù)y＝－，x∈[－3，－1]的最大值與最小值的差是________．
解析：易證函數(shù)y＝－在[－3，－1]上為增函數(shù)，所以ymin＝，ymax＝1，
所以ymax－ymin＝1－＝.
答案：
7．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，則f(x)的最大值為_(kāi)_______．
解析：函數(shù)f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0,1]，且函數(shù)有最小值－2.
故當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)有最小值，
當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)有最大值．
∵當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝a＝－2，∴f(x)＝－x2＋4x－2，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)max＝f(1)＝－12＋41－2＝1.
答案：1
8．函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)閇－4,6]，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－4，－2]上單調(diào)遞減，在區(qū)間(－2,6]上單調(diào)遞增，且f(－4)0，x1－1>0.
所以f(x2)－f(x1)<0.
所以f(x2)2時(shí)，f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減，在[2，a]上單調(diào)遞增，因此其最大值為f(0)和f(a)中的較大者，而f(a)－f(0)＝3a2－12a.
∴①當(dāng)24時(shí)，f(x)max＝f(a)＝3a2－12a＋5，
f(x)min＝f(2)＝－7.
1．3.2 奇偶性
預(yù)習(xí)課本P33～36，思考并完成以下問(wèn)題
(1)偶函數(shù)與奇函數(shù)的定義分別是什么？
(2)奇、偶函數(shù)的定義域有什么特點(diǎn)？
(3)奇、偶函數(shù)的圖象分別有什么特征？
函數(shù)奇偶性的概念
偶函數(shù)
奇函數(shù)
定
義
條件
對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
結(jié)論
函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)
函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù)
圖象特征
圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)
圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
[點(diǎn)睛] 奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，反之，若定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)一定不具有奇偶性．
1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”)
(1)偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交．( )
(2)奇函數(shù)的圖象一定通過(guò)原點(diǎn)．( )
(3)函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函數(shù)．( )
(4)若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(－x)＋f(x)＝0.( )
答案：(1) (2) (3) (4)√
2．函數(shù)y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函數(shù)，則a等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．無(wú)法確定
答案：C
3．下列函數(shù)是偶函數(shù)的是( )
A．y＝x B．y＝2x2－3
C．y＝ D．y＝x2，x∈[0,1]
答案：B
4．已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，若f(2)＝4，則f(－2)＝____________.
答案：4
判斷函數(shù)的奇偶性
[例1] 判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)f(x)＝2－|x|；
(2)f(x)＝ ＋ ；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
[解] (1)∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，
∴f(x)為偶函數(shù)．
(2)∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧－1,1}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．
(3)∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠1}，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
∴f(x)是非奇非偶函數(shù)．
(4)f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，
f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
綜上可知，對(duì)于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)為偶函數(shù)．
判斷函數(shù)奇偶性的方法
(1)定義法：
根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷．步驟如下：
①判斷函數(shù)f(x)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．若不對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù)，若對(duì)稱(chēng)，則進(jìn)行下一步．
②驗(yàn)證．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)．
③下結(jié)論．若f(－x)＝－f(x)，則f(x)為奇函數(shù)；
若f(－x)＝f(x)，則f(x)為偶函數(shù)；
若f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，則f(x)為非奇非偶函數(shù)．
(2)圖象法：
①若f(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則f(x)是奇函數(shù)．
②若f(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則f(x)是偶函數(shù)．
③若f(x)圖象既關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)．
④若f(x)的圖象既不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
(3)性質(zhì)法：
①偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù)；
②奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù)；
③奇(偶)數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù)；
④一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積為奇函數(shù)．
[活學(xué)活用]
1．判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)f(x)＝x2(x2＋2)；
(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(3)f(x)＝.
解：(1)∵x∈R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，
∴f(x)為偶函數(shù)．
(2)∵x∈R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|
＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)
＝－f(x)，
∴f(x)為奇函數(shù)．
(3)f(x)的定義域?yàn)閇－1,0)∪(0,1]，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)．
利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)
∴f(x)為奇函數(shù).
[例2] (1)若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，定義域?yàn)閇a－1,2a]，則a＝________，b＝________；
(2)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2x是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________.
[解析] (1)因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以a－1＝－2a，解得a＝.
又函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋b＋1為二次函數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)圖象的特點(diǎn)，易得b＝0.
(2)由奇函數(shù)定義有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.
[答案] (1) 0 (2)0
利用奇偶性求參數(shù)的常見(jiàn)類(lèi)型
(1)定義域含參數(shù)：奇偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，根據(jù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，利用a＋b＝0求參數(shù)．
(2)解析式含參數(shù)：根據(jù)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比較系數(shù)利用待定系數(shù)法求解．
[活學(xué)活用]
2．設(shè)函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則a＝________.
解析：∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－.
顯然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，
故a＋1＝0，得a＝－1.
答案：－1
利用函數(shù)的奇偶性求解析式
[例3] 若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．
[解] 當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于f(x)是奇函數(shù)，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－x2－2x－3.
即當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝－x2－2x－3.
故f(x)＝
[一題多變]
1．[變?cè)O(shè)問(wèn)]本例條件不變，求f(－2)的值．
解：因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－2)＝－f(2)＝－(22－22＋3)＝－3.
2．[變條件]若把本例中的奇函數(shù)改為偶函數(shù)，其他條件不變，求當(dāng)x<0時(shí)，f(x)的解析式．
解：當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于f(x)是偶函數(shù)，故f(x)＝f(－x)，所以f(x)＝x2＋2x＋3，
即當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x2＋2x＋3.
利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式3個(gè)步驟
(1)“求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)”，即在哪個(gè)區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在哪個(gè)區(qū)間上設(shè)；
(2)轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，代入已知的解析式；
(3)利用f(x)的奇偶性寫(xiě)出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x)．
函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合
題點(diǎn)一：比較大小問(wèn)題
1．已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，則f(1)和f(－10)的大小關(guān)系為( )
A．f(1)>f(－10) B．f(1)f(10)，即f(1)>f(－10)．
題點(diǎn)二：區(qū)間內(nèi)的最值問(wèn)題
2．若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,5]上的最小值是6，那么f(x)在區(qū)間[－5，－2]上有( )
A．最小值6 B．最小值－6
C．最大值－6 D．最大值6
解：選C 因?yàn)槠婧瘮?shù)f(x)在[2,5]上有最小值6，所以可設(shè)a∈[2,5]，有f(a)＝6.由奇函數(shù)的性質(zhì)，f(x)在[－5，－2]上必有最大值，且最大值為f(－a)＝－f(a)＝－6.
題點(diǎn)三：解不等式問(wèn)題
3．設(shè)定義在[－2,2]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上是減函數(shù)，若f(1－m)f(x2)或f(x1)f(3)>f(－2)
B．f(－π)>f(－2)>f(3)
C．f(3)>f(－2)>f(－π)
D．f(3)>f(－π)>f(－2)
解析：選A ∵f(x)是R上的偶函數(shù)，
∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，
又f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，且2<3<π，
∴f(π)>f(3)f(3)>f(－2)．
6．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2＋1，則f(－2)＋f(0)＝________.
解析：由題意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.
答案：－5
7．已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x＋1，則x>0時(shí)，f(x)＝________.
解析：當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(x)為偶函數(shù)，∴f(x)＝－x＋1.
答案：－x＋1
8．已知y＝f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，則a的值為_(kāi)_______．
解析：因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a(－3)＝－6，解得a＝5.
答案：5
9．已知函數(shù)f(x)＝x＋，且f(1)＝3.
(1)求m的值；
(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性．
解：(1)由題意知，f(1)＝1＋m＝3，
∴m＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝x＋，x≠0.
∵f(－x)＝(－x)＋＝－＝－f(x)，
∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．
10．(1)如圖①，給出奇函數(shù)y＝f(x)的局部圖象，試作出y軸右側(cè)的圖象并求出f(3)的值．
(2)如圖②，給出偶函數(shù)y＝f(x)的局部圖象，試作出y軸右側(cè)的圖象并比較f(1)與f(3)的大小．
解：(1)奇函數(shù)y＝f(x)在y軸左側(cè)圖象上任一點(diǎn)P(－x，－f(－x))關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P′(x，f(x))，圖③為圖①補(bǔ)充后的圖象，易知f(3)＝－2.
(2)偶函數(shù)y＝f(x)在y軸左側(cè)圖象上任一點(diǎn)P(－x，f(－x))關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P′(x，f(x))，圖④為圖②補(bǔ)充后的圖象，易知f(1)>f(3)．
層級(jí)二 應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的函數(shù)為( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝x2 D．y＝x
解析：選A 易判斷A、C為偶函數(shù)，B、D為奇函數(shù)，但函數(shù)y＝x2在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以選A.
2．若f(x)＝(x－a)(x＋3)為R上的偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為( )
A．－3 B．3 C．－6 D．6
解析：選B 因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，即(－x－a)(－x＋3)＝(x－a)(x＋3)，化簡(jiǎn)得(6－2a)x＝0.因?yàn)閤∈R，所以6－2a＝0，即a＝3.
3．若函數(shù)f(x)(f(x)≠0)為奇函數(shù)，則必有( )
A．f(x)f(－x)>0 B．f(x)f(－x)<0
C．f(x)f(－x)
解析：選B ∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，
又f(x)≠0，
∴f(x)f(－x)＝－[f(x)]2<0.
4．已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x－1)2m－3，所以m<2.
又f(x)的定義域?yàn)?－1,1)，
所以－1
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浙江專(zhuān)版2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)
第一章
集合與函數(shù)概念
1.3
函數(shù)的基本性質(zhì)學(xué)案
新人教A版必修1
浙江
專(zhuān)版
2017
2018
學(xué)年
高中數(shù)學(xué)
集合
函數(shù)
概念
基本
性質(zhì)
新人
必修
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