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3個附加題綜合仿真練(三)(理科) 1．本題包括A、B、C三個小題，請任選二個作答 A．[選修4－2：矩陣與變換] 設a，b∈R.若直線l：ax＋y－7＝0在矩陣A＝對應的變換作用下，得到的直線為l′：9x＋y－91＝0.求實數a，b的值． 解：法一：在直線l：ax＋y－7＝0上取點M(0,7)，N(1，7－a)， 由＝，＝，可知點M(0,7)，N(1,7－a)在矩陣A對應的變換作用下分別得到點M′(0,7b)，N′(3，b(7－a)－1)， 由題意可知：M′，N′在直線9x＋y－91＝0上， ∴解得 ∴實數a，b的值分別為2,13. 法二：設直線l上任意一點P(x，y)，點P在矩陣A對應的變換作用下得到Q(x′，y′)， 則＝， ∴ 由Q(x′，y′)在直線l′：9x＋y－91＝0上， ∴27x＋(－x＋by)－91＝0， 即26x＋by－91＝0， ∵點P在ax＋y－7＝0上， ∴＝＝， 解得a＝2，b＝13. ∴實數a，b的值分別為2,13. B．[選修4－4：坐標系與參數方程] 以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標系中取相同的長度單位，建立極坐標系，判斷直線l：(t為參數)與圓C：ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0的位置關系． 解：把直線l的參數方程化為普通方程為x＋y＝2. 將圓C的極坐標方程ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0化為直角坐標方程為x2＋2x＋y2－2y＝0， 即(x＋1)2＋(y－1)2＝2. 所以圓心C(－1,1)到直線l的距離d＝＝， 所以直線l與圓C相切． C．[選修4－5：不等式選講] 已知a，b∈R，a>b>e(其中e是自然對數的底數)，求證：ba>ab. 證明：∵ba>0，ab>0，∴要證ba>ab， 只要證aln b>bln a, 只要證>， 構造函數f(x)＝，x∈(e，＋∞)． 則f′(x)＝，x∈(e，＋∞)，f′(x)<0在區(qū)間(e，＋∞)上恒成立， 所以函數f(x)在x∈(e，＋∞)上是單調遞減的， 所以當a>b>e時，有f(b)>f(a)， 即>，故ba>ab得證． 2．從0,1,2,3,4這五個數中任選三個不同的數組成一個三位數，記X為所組成三位數的各位數字之和． (1)求X是奇數的概率； (2)求X的概率分布及數學期望． 解：(1)記“X是奇數”為事件A， 能組成的三位數的個數是443＝48. X是奇數的個數是CCA－CCA＝28， 所以P(A)＝＝. 故X是奇數的概率為. (2)X的可能取值為3,4,5,6,7,8,9. 當X＝3時，組成的三位數是由0,1,2三個數字組成， 所以P(X＝3)＝＝； 當X＝4時，組成的三位數是由0,1,3三個數字組成， 所以P(X＝4)＝＝； 當X＝5時，組成的三位數是由0,1,4或0,2,3組成， 所以P(X＝5)＝＝； 當X＝6時，組成的三位數是由0,2,4或1,2,3組成， 所以P(X＝6)＝＝； 當X＝7時，組成的三位數是由0,3,4或1,2,4組成， 所以P(X＝7)＝＝； 當X＝8時，組成的三位數是由1,3,4三個數字組成， 所以P(X＝8)＝＝； 當X＝9時，組成的三位數是由2,3,4三個數字組成， 所以P(X＝9)＝＝. 所以X的概率分布為： X 3 4 5 6 7 8 9 P 故E(X)＝3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝. 3．設P(n，m)＝(－1)kC，Q(n，m)＝C，其中m，n∈N*. (1)當m＝1時，求P(n,1)Q(n,1)的值； (2)對?m∈N*，證明：P(n，m)Q(n，m)恒為定值． 解：(1)當m＝1時，P(n,1)＝(－1)kC＝(－1)kC＝， 又Q(n,1)＝C＝n＋1，顯然P(n,1)Q(n,1)＝1. (2)證明：P(n，m)＝(－1)kC ＝1＋(－1)k(C＋C)＋(－1)n ＝1＋(－1)kC＋(－1)kC ＝P(n－1，m)＋(－1)kC ＝P(n－1，m)－(－1)kC ＝P(n－1，m)－P(n，m) 即P(n，m)＝P(n－1，m)， 由累乘，易求得P(n，m)＝P(0，m)＝， 又Q(n，m)＝C， 所以P(n，m)Q(n，m)＝1.