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回扣驗收特訓（二） 數(shù)列 1．設等差數(shù)列{an}的公差為d.若數(shù)列{2a1an}為遞減數(shù)列，則(　　) A．d>0　　　　　　　 　B．d<0 C．a(chǎn)1d>0 D．a(chǎn)1d<0 解析：選D　∵{2a1an}為遞減數(shù)列，∴＝2a1an＋1－a1an＝2a1d<1＝20，∴a1d<0，故選D. 2．在等差數(shù)列{an}中，a9＝a12＋6，則數(shù)列{an}的前11項和S11＝(　　) A．24 B．48 C．66 D．132 解析：選D　由a9＝a12＋6得，2a9－a12＝12， 由等差數(shù)列的性質得，2a9－a12＝a6＋a12－a12＝12，則a6＝12，所以S11＝＝＝132，故選D. 3．已知數(shù)列{an}對任意的p，q∈N*滿足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于(　　) A．－165 B．－33 C．－30 D．－21 解析：選C　由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6， ∴a1＝－3. ∴a10＝2a5＝2(a2＋a3)＝2a2＋2(a1＋a2)＝4a2＋2a1 ＝4(－6)＋2(－3)＝－30. 4．設Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝2a8－3a4，則＝(　　) A. B. C. D. 解析：選A　由題意可得，a1＝2a1＋14d－3a1－9d， ∴a1＝d，又＝＝＝＝，故選A. 5．已知數(shù)列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…這個數(shù)列的特點是從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和，則這個數(shù)列的前2 016項之和S2 016等于(　　) A．1 B．2 010 C．4 018 D．0 解析：選D　由已知得an＝an－1＋an＋1(n≥2)，∴an＋1＝an－an－1. 故數(shù)列的前n項依次為2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1,2 008,2 009，….由此可知數(shù)列為周期數(shù)列，周期為6，且S6＝0.∵2 016＝6336，∴S2 016＝S6＝0. 6．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，則＝(　　) A．4n－1 B．4n－1 C．2n－1 D．2n－1 解析：選D　設等比數(shù)列{an}的公比為q， ∵∴ 由①②可得＝2， ∴q＝，代入①解得a1＝2， ∴an＝2n－1＝， ∴Sn＝＝4， ∴＝＝2n－1. 7．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－30，Sn是{|an|}的前n項和，則S10＝________. 解析：由an＝2n－30，令an<0，得n<15，即在數(shù)列{an}中，前14項均為負數(shù)， 所以S10＝－(a1＋a2＋a3＋…＋a10) ＝－(a1＋a10)＝－5[(－28)＋(－10)]＝190. 答案：190 8．設公比為q(q>0)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，則q＝________. 解析：由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2相減可得a3＋a4＝3a4－3a2，同除以a2可得2q2－q－3＝0，解得q＝或q＝－1.因為q>0，所以q＝. 答案： 9．數(shù)列{an}滿足a1＝1，an－an－1＝(n≥2且n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝________. 解析：an－an－1＝(n≥2)，a1＝1， ∴a2－a1＝＝1－， a3－a2＝＝－， a4－a3＝＝－，…， an－an－1＝＝－. 以上各式累加，得 an－a1＝＋＋…＋ ＝1－. ∴an＝a1＋1－＝2－，當n＝1時，2－＝1＝a1， ∴an＝2－，故數(shù)列{an}的通項公式為an＝2－. 答案：2－ 10．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an，數(shù)列{bn}滿足b1＝3，b2＝6，且{bn－an}為等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式； (2)求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解：(1)由題意知數(shù)列{an}是首項a1＝1，公比q＝2的等比數(shù)列， 所以an＝2n－1. 因為b1－a1＝2，b2－a2＝4， 所以數(shù)列{bn－an}的公差d＝2， 所以bn－an＝(b1－a1)＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n， 所以bn＝2n＋2n－1. (2)Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋(1＋2＋4＋…＋2n－1) ＝＋ ＝n(n＋1)＋2n－1. 11．已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，前n項和為Sn，且Sn＝(n∈N*)． (1)求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列； (2)設bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn. 解：(1)證明：Sn＝(n∈N*)，① Sn－1＝(n≥2)．② ①－②得an＝(n≥2)， 整理得(an＋an－1)(an－an－1)＝an＋an－1(n≥2)． ∵數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)， ∴an＋an－1≠0，∴an－an－1＝1(n≥2)． 當n＝1時，a1＝1，∴數(shù)列{an}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列． (2)由(1)得Sn＝， ∴bn＝＝＝2， ∴Tn＝2＋＋＋…＋＝2＝. 12．設數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1－an＝322n－1. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)令bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 解：(1)由已知， an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1 ＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1. 而a1＝2，符合上式， 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝22n－1. (2)由bn＝nan＝n22n－1知 Sn＝12＋223＋325＋…＋n22n－1，① 從而22Sn＝123＋225＋327＋…＋n22n＋1.② ①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n22n＋1， 即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．