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第四節(jié) 導數(shù)的綜合問題
課時作業(yè)練
1.電動自行車的耗電量y與速度x之間的關系為y=13x3-392x2-40x(x>0),為使耗電量最小,則速度應定為 .
答案 40
解析 易知y=x2-39x-40(x>0).
令y=x2-39x-40=0,得x=-1(舍去)或x=40,
當0
40時,y>0,函數(shù)單調遞增,
所以當x=40時,y有最小值.
2.若關于x的不等式x3-3x2-9x+2≥m對任意x∈[-2,2]恒成立,則m的取值范圍是 .
答案 (-∞,-20]
解析 由題意知m≤(x3-3x2-9x+2)min,x∈[-2,2],
令f(x)=x3-3x2-9x+2,則f (x)=3x2-6x-9,令f (x)=0,得x=-1或x=3(舍去).
因為f(-1)=7, f(-2)=0, f(2)=-20.
所以f(x)的最小值為f(2)=-20,故m≤-20.
3.函數(shù)f(x)=ln x+12x2-2x的零點個數(shù)是 .
答案 1
解析 f (x)=1x+x-2=x2-2x+1x=(x-1)2x≥0,則函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調遞增,且f(1)=-32<0, f(4)=ln 4>0 ,∴函數(shù) f(x)在(0,+∞)上有且僅有1個零點.
4.若存在x∈(0,+∞),使得不等式2xln x≤-x2+ax-3成立,則實數(shù)a的取值范圍是 .
答案 [4,+∞)
解析 由題意可得a≥2ln x+x+3x,x∈(0,+∞)有解,則
a≥2lnx+x+3xmin,x∈(0,+∞),令f(x)=2ln x+x+3x,x∈(0,+∞),則f (x)=2x+1-3x2=x2+2x-3x2=(x+3)(x-1)x2,x∈(0,+∞),當x∈(0,1)時, f (x)<0, f(x)遞減,
當x∈(1,+∞)時, f (x)>0, f(x)遞增,則f(x)min=f(1)=4,故a≥4.
5.(2018江蘇揚州中學高三第一學期期中)已知函數(shù)f(x)=ex-2x+a有零點,則a的取值范圍是 .
答案 (-∞,2ln 2-2]
解析 令ex-2x+a=0,則a=2x-ex,令g(x)=2x-ex,則由題意可知a的范圍即為函數(shù)g(x)的值域.g(x)=2-ex,由g(x)=0,得x=ln 2,且x∈(-∞,ln 2)時,g(x)>0,g(x)遞增,x∈(ln 2,+∞)時,g(x)<0,g(x)遞減,所以g(x)max=g(ln 2)=2ln 2-2,則實數(shù)a的取值范圍是(-∞,2ln 2-2].
6.(2018南京第三次模擬)已知a,b∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù).若存在b∈[-3e,-e2],使得函數(shù)f(x)=ex-ax-b在[1,3]上存在零點,則a的取值范圍是 .
答案 [e2,4e]
解析 原命題等價于存在b∈[-3e,-e2],使得函數(shù)y=ex,x∈[1,3]的圖象與y=ax+b,x∈[1,3]的圖象有交點,畫出圖象如下,則求斜率a的取值范圍即可.結合圖象可得l1的斜率最大,為4e.過點A作曲線y=ex,x∈[1,3]的切線l2,則其斜率最小,設切點坐標為(x0,ex0),則切線方程為y-ex0=ex0(x-x0),代入點(0,-e2),得e2=ex0(x0-1),函數(shù)y=ex0(x0-1)在[1,3]上單調遞增,所以存在唯一的x0=2使等式成立,此時a=e2,故a的取值范圍是[e2,4e].
7.(2018蘇錫常鎮(zhèn)四市高三調研)已知函數(shù)f(x)=12(|x+3|+1),x≤0,lnx,x>0,若存在實數(shù)a0,所以存在c0∈(e,e2),使得g(c0)=0,且c∈(e,c0)時,g(c)<0,g(c)遞減,c∈(c0,e2)時,g(c)>0,g(c)遞增,且g(e)=12(e-6)<0,g(e2)=2(e2-6)>0,由分析知g(c)的最大值即為af(a)+bf(b)+cf(c)的最大值,所以af(a)+bf(b)+cf(c)的最大值是2e2-12.
8.(2019江蘇三校模擬)某食品廠進行蘑菇的深加工,每千克蘑菇的采購成本為20元,并且每千克蘑菇的加工費為t元(t為常數(shù),且2≤t≤5).設該食品廠每千克蘑菇的出廠價為x元(25≤x≤40),根據(jù)市場調查,日銷售量q千克與ex成反比,當每千克蘑菇的出廠價為30元時,日銷售量為100千克.
(1)求該工廠的日利潤y元與每千克蘑菇的出廠價x元的函數(shù)關系式;
(2)若t=5,問當每千克蘑菇的出廠價為多少時,該工廠的日利潤y最大?并求出最大日利潤.
解析 (1)設q=kex(k≠0),則ke30=100,所以k=100e30,
所以q=100e30ex,
所以y=100e30(x-20-t)ex(25≤x≤40).
(2)當t=5時,y=100e30(x-25)ex,則y=100e30(26-x)ex.
由y≥0得x≤26,由y≤0得x≥26,
所以y=100e30(x-25)ex在區(qū)間[25,26]上單調遞增,在區(qū)間[26,40]上單調遞減.
所以當x=26時,ymax=100e4,
即當每千克蘑菇的出廠價為26元時,該工廠的日利潤最大,最大日利潤為100e4元.
9.(2019江蘇三校模擬)已知函數(shù)f(x)=xln x+ax,a∈R,函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線與直線x+2y-1=0垂直.
(1)求a的值和函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;
(2)求證:ex>f (x).
解析 (1)f (x)=ln x+1+a,x>0,
由題易知f(x)的圖象在x=1處的切線的斜率k=2,
所以f (1)=ln 1+1+a=2,所以a=1.
所以f (x)=ln x+2,
當x>e-2時, f (x)>0,
當00,
因為g(x)=ex-1x在(0,+∞)上單調遞增,
且g(1)=e-1>0,g12=e12-2<0,
所以g(x)在12,1上存在唯一的零點t,
使得g(t)=et-1t=0,
即et=1t12t時,g(x)>g(t)=0,
所以g(x)在(0,t)上單調遞減,在(t,+∞)上單調遞增,
所以x>0時,g(x)≥g(t)=et-ln t-2=1t-ln 1et-2=t+1t-2≥2-2=0,
又120,即ex>f (x).
基礎滾動練
(滾動循環(huán) 夯實基礎)
1.(2019江蘇揚州高三模擬)已知集合A={0,1,2},B={x|x=2n-1,n∈Z},則A∩B= .
答案 {1}
2.函數(shù)f(x)=ln x+1-x的定義域為 .
答案 (0,1]
解析 要使函數(shù)f(x)=ln x+1-x有意義,則有x>0,1-x≥0,解得00,所以實數(shù)a的取值范圍是(0,1].
4.函數(shù)f(x)=ex-x,x∈(0,e]的最大值為 .
答案 ee-e
解析 f (x)=ex-1>0,x∈(0,e],則f(x)=ex-x在x∈(0,e]上單調遞增,故f(x)max=f(e)=ee-e.
5.函數(shù)f(x)=13x-1+a(x≠0),則“f(1)=1”是“函數(shù)f(x)為奇函數(shù)”的 條件.(選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
答案 充要
解析 若函數(shù)f(x)=13x-1+a(x≠0)為奇函數(shù),則a=12,所以f(1)=13-1+12=1;反之,若f(1)=1,則a=12,此時函數(shù)f(x)為奇函數(shù),所以“f(1)=1”是“函數(shù)f(x)為奇函數(shù)”的充要條件.
6.若x∈[-1,1]時, f(x)=x2-x+1的圖象恒在y=2x+m的圖象的上方,則實數(shù)m的取值范圍是 .
答案 m<-1
解析 由題意得x2-x+1>2x+m在x∈[-1,1]時恒成立,即x2-3x+1-m>0在x∈[-1,1]時恒成立.設g(x)=x2-3x+1-m,其圖象的對稱軸為直線x=32,所以g(x)在[-1,1]上遞減.故只需g(1)>0即可,即12-31+1-m>0,解得m<-1.
7.已知奇函數(shù)f(x)=5x+sin x+c,x∈(-1,1),若f(1-x)+f(1-x2)<0,則實數(shù)x的取值范圍是 .
答案 (1,2)
解析 由題意可得f(0)=c=0,則f(x)=5x+sin x,且f(x)在x∈(-1,1)上遞增,所以由f(1-x)<-f(1-x2)=f(x2-1),得-1<1-x0,令y=1,解得x=1,則點P(1,1)到直線y=x-2的距離最小,最小值為22=2.
9.若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的圖象與x軸相切于一點A(m,0)(m≠0),且f(x)的極大值為12,則m的值為 .
答案 32
解析 由題意可得f(m)=m3+am2+bm=0,m≠0,則m2+am+b=0①,且f (m)=3m2+2am+b=0②,①-②化簡得m=-a2,從而b=a24, f (x)=3x2+2ax+b,則3x2+2ax+b=0的兩根為-a2和-a6,由題意知f-a6=12,從而a=-3,m=32.
10.設函數(shù)f(x)=13mx3+(4+m)x2,g(x)=aln(x-1),a≠0.
(1)若函數(shù)y=g(x)的圖象恒過定點P,且點P關于直線x=32對稱的點在y=f(x)的圖象上,求m的值;
(2)當a=8時,設F(x)=f (x)+g(x+1),討論F(x)的單調性.
解析 (1)函數(shù)y=g(x)的圖象恒過定點P(2,0),且點P關于直線x=32對稱的點(1,0)在y=f(x)的圖象上,則13m+4+m=0,m=-3.
(2)F(x)=mx2+2(4+m)x+8ln x,x>0,則
F(x)=2mx+2(4+m)+8x=2mx2+2(4+m)x+8x=(2mx+8)(x+1)x,x>0,
當m≥0時,F(x)>0,F(x)在(0,+∞)上為增函數(shù);
當m<0時,由F(x)>0得0-4m,
∴F(x)在0,-4m上單調遞增,在-4m,+∞上單調遞減.
綜上可得,當m≥0時,F(x)在(0,+∞)上單調遞增;
當m<0時,F(x)在0,-4m上單調遞增,在-4m,+∞上單調遞減.
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