（浙江專用）2019高考數(shù)學二輪復習精準提分 第二篇 重點專題分層練中高檔題得高分 第11練 三角函數(shù)與解三角形試題.docx
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第11練 三角函數(shù)與解三角形 [明晰考情] 1.命題角度：常與三角恒等變換相結(jié)合，考查三角函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、周期性、最值等；常與三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，考查解三角形及三角形的面積等問題.2.題目難度：一般在解答題的第一題的位置，中低檔難度． 考點一 三角函數(shù)的單調(diào)性、最值問題 方法技巧 類比y＝sinx的性質(zhì)，將y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看作一個整體t，可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意ω的符號；利用函數(shù)y＝Asint的圖象可求得函數(shù)的最值(值域)． 1．(2017浙江)已知函數(shù)f(x)＝sin2x－cos2x－2sinxcosx(x∈R)． (1)求f的值； (2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間． 解 (1)由sin＝，cos＝－，得 f＝2－2－2＝2. (2)由cos2x＝cos2x－sin2x與sin2x＝2sinxcosx得， f(x)＝－cos2x－sin2x＝－2sin. 所以f(x)的最小正周期是π. 由正弦函數(shù)的性質(zhì)得， ＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)． 2．(2018北京)已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋sinxcosx. (1)求f(x)的最小正周期； (2)若f(x)在區(qū)間上的最大值為，求m的最小值． 解 (1)f(x)＝sin2x＋sinxcosx ＝－cos2x＋sin2x ＝sin＋， 所以f(x)的最小正周期為T＝＝π. (2)由(1)知，f(x)＝sin＋. 由題意知－≤x≤m， 所以－≤2x－≤2m－. 要使得f(x)在區(qū)間上的最大值為， 即sin在區(qū)間上的最大值為1， 所以2m－≥，即m≥. 所以m的最小值為. 3．已知a＞0，函數(shù)f(x)＝－2asin＋2a＋b，當x∈時，－5≤f(x)≤1. (1)求常數(shù)a，b的值； (2)當x∈時，求f(x)的最大值和最小值及相應的x的值． 解 (1)∵當x∈時，≤2x＋≤， ∴－≤sin≤1， 又∵a＞0，－5≤f(x)≤1， ∴ 解得 (2)由a＝2，b＝－5知，f(x)＝－4sin－1， ∴當x∈時，≤2x＋≤， 當2x＋＝，即x＝時，f(x)取得最小值－5； 當2x＋＝，即x＝0時，f(x)取得最大值－3. 考點二 利用正弦、余弦定理解三角形 方法技巧 (1)公式法解三角形：直接利用正弦定理或余弦定理，其實質(zhì)是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，適用于求三角形的邊或角． (2)邊角互化法解三角形：合理轉(zhuǎn)化已知條件中的邊角關系，適用于已知條件是邊角混和式的解三角形問題． 4．(2018天津)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bsinA＝acos. (1)求角B的大??； (2)設a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值． 解 (1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得 bsinA＝asinB. 又由bsinA＝acos， 得asinB＝acos， 即sinB＝cos， 所以tanB＝. 又因為B∈(0，π)，所以B＝. (2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝， 得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝. 由bsinA＝acos，可得sinA＝. 因為a＜c，所以cosA＝. 因此sin2A＝2sinAcosA＝，cos2A＝2cos2A－1＝. 所以sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝－＝. 5.如圖，在平面四邊形ABCD中，AB＝BD＝DA＝2，∠ACB＝30. (1)求證：BC＝4cos∠CBD； (2)點C移動時，判斷CD是否為定長，并說明理由． (1)證明 在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝30， 由正弦定理可知，＝， 所以BC＝4sin∠BAC. 又∠ABD＝60，∠ACB＝30， 則∠BAC＋∠CBD＝90， 則sin∠BAC＝cos∠CBD， 所以BC＝4cos∠CBD. (2)解 CD為定長，因為在△BCD中，由(1)及余弦定理可知， CD2＝BC2＋BD2－2BCBDcos∠CBD， ＝BC2＋4－4BCcos∠CBD ＝BC2＋4－BC2＝4， 所以CD＝2. 6．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且＋＝. (1)求角A的大小； (2)若＝＋，a＝，求b的值． 解 (1)由題意，可得＋＝3， 即＋＝1， 整理得b2＋c2－a2＝bc， 由余弦定理知，cosA＝＝， 因為0＜A＜π，所以A＝. (2)根據(jù)正弦定理，得＝＝ ＝ ＝＋cosA＝＋＝＋， 解得tanB＝，所以sinB＝. 由正弦定理得，b＝＝＝2. 考點三 三角形的面積 方法技巧 三角形面積的求解策略 (1)若所求面積的圖形為不規(guī)則圖形，可通過作輔助線或其他途徑構(gòu)造三角形，轉(zhuǎn)化為三角形的面積． (2)若所給條件為邊角關系，則運用正弦、余弦定理求出其兩邊及其夾角，再利用三角形面積公式求解． 7．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為. (1)求sinBsinC； (2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周長． 解 (1)由題設得acsinB＝， 即csinB＝. 由正弦定理，得sinCsinB＝， 故sinBsinC＝. (2)由題設及(1)，得cosBcosC－sinBsinC＝－， 即cos(B＋C)＝－. 所以B＋C＝，故A＝. 由題意得bcsinA＝，a＝3，所以bc＝8. 由余弦定理，得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9. 由bc＝8，得b＋c＝. 故△ABC的周長為3＋. 8.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足2asin CsinB＝asinA＋bsinB－csinC. (1)求角C的大小； (2)若acos＝bcos(2kπ＋A)(k∈Z)且a＝2，求△ABC的面積． 解 (1)由2asinCsinB＝asinA＋bsinB－csinC得， 2absinC＝a2＋b2－c2， ∴sinC＝， ∴sinC＝cosC，∴tanC＝， ∵C∈(0，π)，∴C＝. (2)由acos＝bcos(2kπ＋A)(k∈Z)， 得asinB＝bcosA， 由正弦定理得sinA＝cosA，且A∈(0，π)，∴A＝. 根據(jù)正弦定理可得＝，解得c＝， ∴S△ABC＝acsinB＝2sin(π－A－C) ＝sin＝. 9．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C滿足：＝. (1)求角A； (2)若△ABC的外接圓半徑為1，求△ABC的面積S的最大值． 解 (1)設內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c， 根據(jù)＝， 可得＝， 化簡得a2＝b2＋c2－bc， 所以cosA＝＝＝， 又因為0
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