2020屆高考數(shù)學一輪復習 單元檢測四 三角函數(shù)（提升卷）單元檢測 文（含解析） 新人教A版.docx
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單元檢測四 三角函數(shù)、解三角形(提升卷) 考生注意： 1．本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共4頁． 2．答卷前，考生務必用藍、黑色字跡的鋼筆或圓珠筆將自己的姓名、班級、學號填寫在相應位置上． 3．本次考試時間100分鐘，滿分130分． 4．請在密封線內(nèi)作答，保持試卷清潔完整． 第Ⅰ卷(選擇題 共60分) 一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．下列命題中正確的是( ) A．終邊在x軸正半軸上的角是零角 B．三角形的內(nèi)角必是第一、二象限內(nèi)的角 C．不相等的角的終邊一定不相同 D．若β＝α＋k360(k∈Z)，則角α與β的終邊相同 答案 D 解析 對于A，因為終邊在x軸正半軸上的角可以表示為α＝2kπ(k∈Z)，A錯誤；對于B，直角也可為三角形的內(nèi)角，但不在第一、二象限內(nèi)，B錯誤；對于C，例如30≠－330，但其終邊相同，C錯誤，故選D. 2．若角α的終邊經(jīng)過點P，則cosαtanα的值是( ) A．－B.C．－D. 答案 A 解析 因為角α的終邊經(jīng)過點P， 所以cosα＝，tanα＝－，所以cosαtanα＝＝－，故選A. 3．(2019四川成都龍泉驛區(qū)第一中學模擬)已知sin＝，則sin等于( ) A.B．－C．D．－ 答案 B 解析 ∵sin＝cos ＝cos＝， ∴sin＝cos ＝cos＝2cos2－1 ＝2－1＝－. 4．(2018南充模擬)設f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零實數(shù)，若f(2017)＝－1，則f(2020)等于( ) A．1B．2C．0D．－1 答案 A 解析 由題知，f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零實數(shù)，若f(2017)＝asin(2017π＋α)＋bcos(2017π＋β)＝－asinα－bcosβ＝－1，則asinα＋bcosβ＝1，所以f(2020)＝asin(2020π＋α)＋bcos(2020π＋β)＝asinα＋bcosβ＝1，故選A. 5．函數(shù)y＝cos2－sin2的最小正周期為( ) A.B.C．πD．2π 答案 C 解析 函數(shù)y＝cos2－sin2 ＝cos＝－sin2x， 所以函數(shù)的最小正周期是T＝＝π，故選C. 6．設a＝tan35，b＝cos55，c＝sin23，則( ) A．a(chǎn)>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b 答案 A 解析 由題可知b＝cos55＝sin35，因為sin35>sin23，所以b>c，利用三角函數(shù)線比較tan35和sin35，易知tan35>sin35，所以a>b.綜上，a>b>c，故選A. 7．若函數(shù)f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)是偶函數(shù)，則θ的最小正實數(shù)值是( ) A.B.C.D. 答案 B 解析 f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin.因為f(x)為偶函數(shù)，所以當x＝0時，2x＋θ＋＝θ＋＝kπ＋(k∈Z)，解得θ＝kπ＋(k∈Z)．當k＝0時，θ取得最小正實數(shù)值，故選B. 8．若函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f(x)等于( ) A.sin B.sin C.sin D.sin 答案 C 解析 由題圖知，函數(shù)f(x)的最小正周期T＝2＝8π，A＝，所以ω＝＝， f(x)＝sin，由點在函數(shù)f(x)的圖象上，可知sin＝0，又0<|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝sin. 9．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，2bsinB＝(2a＋c)sinA＋(2c＋a)sinC．則角B的大小為( ) A.B.C.D. 答案 C 解析 由正弦定理得2b2＝(2a＋c)a＋(2c＋a)c，化簡得a2＋c2－b2＋ac＝0，所以cosB＝＝＝－，又B∈(0，π)，解得B＝，故選C. 10．已知函數(shù)f(x)＝sin2x－2cos2x，將f(x)的圖象上的所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把所得圖象向上平移1個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x1)g(x2)＝－4，則|x1－x2|的值可能為( ) A.B.C.D．π 答案 C 解析 由題意得f(x)＝sin2x－cos2x－1 ＝2sin－1，則g(x)＝2sin，故函數(shù)g(x)的最小正周期T＝＝.由g(x1)g(x2)＝－4，知g(x1)與g(x2)的值一個為2，另一個為－2，故|x1－x2|＝＝(k∈Z)．當k＝1時，|x1－x2|＝，故選C. 11．在△ABC中，角A，B，C，所對的邊分別為a，b，c，c2sinAcosA＋a2sinCcosC＝4sinB，cosB＝，已知D是AC上一點，且S△BCD＝，則等于( ) A.B.C.D. 答案 A 解析 設＝＝＝k，則由c2sinAcosA＋a2sinCcosC＝4sinB，得k2sinAsinC(sinCcosA＋sinAcosC)＝4sinB，即k2sinAsinCsin(C＋A)＝4sinB，所以k2sinAsinC＝4，即ac＝4.又cosB＝，所以sinB＝，所以S△ABC＝acsinB＝，所以＝＝1－＝，故選A. 12．已知f(x)＝2sinωxcos2－sin2ωx(ω>0)在區(qū)間上是增函數(shù)，且在區(qū)間[0，π]上恰好取得一次最大值，則ω的取值范圍是( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 f(x)＝sinωx(1＋sinωx)－sin2ωx＝sinωx，所以是含原點的單調(diào)遞增區(qū)間，因為函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以?，所以解得ω≤.又ω>0，所以0<ω≤.因為函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，π]上恰好取得一次最大值，所以≤π<，解得≤ω<.綜上ω的取值范圍為，故選B. 第Ⅱ卷(非選擇題 共70分) 二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上) 13．已知銳角α滿足cos＝cos2α，則sinαcosα＝________. 答案 解析 由cos＝cos2α，得(cosα＋sinα)＝cos2α－sin2α，因為cosα＋sinα≠0，所以可化簡得cosα－sinα＝，即(cosα－sinα)2＝1－2cosαsinα＝，解得sinαcosα＝. 14．工藝扇面是中國書畫的一種常見表現(xiàn)形式．高一某班級想用布料制作一面如圖所示的扇面，參加元旦晚會．已知此扇面的中心角為，外圓半徑為60cm，內(nèi)圓半徑為30cm，則制作這樣一面扇面需要的布料為________cm2. 答案 450π 解析 由扇形的面積公式，知制作這樣一面扇面需要的布料為6060－3030＝450π(cm2)． 15．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，c＝，△ABC的面積為，且tanA＋tanB＝(tanAtanB－1)，則a＋b＝________. 答案 解析 由tanA＋tanB＝(tanAtanB－1)， 得tan(A＋B)＝＝－，又A，B，C為△ABC的內(nèi)角，所以A＋B＝，所以C＝.由S△ABC＝absinC＝，得ab＝6.又cosC＝＝＝，解得a＋b＝. 16．函數(shù)y＝sin(πx＋φ)(φ>0)的部分圖象如圖所示，設P是圖象的最高點，A，B是圖象與x軸的交點，記∠APB＝θ，則sin2θ＝________. 答案 解析 由題意知函數(shù)y＝sin(πx＋φ)的最小正周期為T＝＝2，過點P作PQ垂直x軸于點Q(圖略)， 則tan∠APQ＝＝，tan∠BPQ＝＝， tanθ＝tan(∠APQ＋∠BPQ)＝8， 故sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝. 三、解答題(本題共4小題，共50分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(12分)已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<. (1)求tan2α的值； (2)求β. 解 (1)由cosα＝，0<α<，得sin α＝＝＝， ∴tan α＝＝＝4， ∴tan 2α＝＝＝－. (2)由0<β<α<，得0<α－β<， 又cos(α－β)＝， ∴sin(α－β)＝＝＝. 由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝＋＝，∴β＝. 18．(12分)已知函數(shù)f(x)＝sin＋sin2x. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)若對任意x∈R，有g(x)＝f，求函數(shù)g(x)在上的值域． 解 (1)f(x)＝sin＋sin2x ＝＋sin2x ＝sin 2x＋cos 2x＋sin2x ＝sin 2x＋cos2x－＋sin2x ＝sin 2x＋1－＝sin 2x＋， 故函數(shù)f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋. ∵對任意x∈R，有g(x)＝f， ∴g(x)＝sin 2＋＝sin＋， 當x∈時，2x＋∈， 則－≤sin≤1， ∴－＋≤g(x)≤＋，即≤g(x)≤1. 故函數(shù)g(x)在上的值域為. 19．(13分)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足cos2A－cos2B＝2coscos. (1)求角B的值； (2)若b＝，且b≤a，求a－的取值范圍． 解 (1)由cos 2A－cos 2B＝2coscos，得2sin2B－2sin2A＝2， 則sin B＝， 所以B＝或. (2)因為b≤a，所以B＝， 由正弦定理＝＝＝＝2， 得a＝2sin A，c＝2sin C. 所以a－＝2sin A－sin C＝2sin A－sin ＝sin A－cosA＝sin. 又b≤a，所以≤A<，則≤A－<， 所以≤sin<， 所以a－∈. 20．(13分)已知在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a2＋b2＝6abcosC，且sin2C＝2sinAsinB. (1)求角C的值； (2)設函數(shù)f(x)＝sin＋cosωx(ω>0)，且f(x)的圖象上兩相鄰的最高點之間的距離為π，求f(A)的取值范圍． 解 (1)因為a2＋b2＝6abcos C， 由余弦定理知a2＋b2＝c2＋2abcos C， 所以cosC＝. 又sin2C＝2sin AsinB，由正弦定理得c2＝2ab， 所以cosC＝＝＝， 又C∈(0，π)，所以C＝. (2)f(x)＝sin＋cosωx＝sin， 則最小正周期T＝＝π，解得ω＝2， 所以f(x)＝sin. 因為C＝，B＝－A， 則解得
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