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14個填空題專項強化練(八) 不 等 式
A組——題型分類練
題型一 一元二次不等式
1.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若不等式f(x)<0的解集為,則f(ex)>0(e是自然對數(shù)的底數(shù))的解集是________________.
解析:法一:依題意可得f(x)=a(x-3)(a<0),則f(ex)=a(ex-3)(a<0),由f(ex)=a(ex-3)>0可得
0的解集為,
令3的解集為________________.
解析:當(dāng)x>0時,2x-1>3,解得x>2,當(dāng)x≤0時,-x2-4x>3,即x2+4x+3<0,解得-32或-32或-3f(2-x)的解集是________________.
解析:由x2≥0,得f(x2)=-x2+1,
所以原不等式可轉(zhuǎn)化為f(2-x)<-x2+1,
則當(dāng)2-x≥0,即x≤2時,
由-(2-x)+1<-x2+1,得-22時,
由-(2-x)2+1<-x2+1,得x∈?.
綜上得,關(guān)于x的不等式f(x2)>f(2-x)的解集是{x|-20(a1,則x+的最小值為________.
解析:由x>1,得x-1>0,則x+=x-1++1≥4+1=5.當(dāng)且僅當(dāng)x-1=,即x=3時等號成立.故x+的最小值為5.
答案:5
2.已知00,
則x(3-3x)=3x(3-3x)≤=,
當(dāng)且僅當(dāng)3x=3-3x,即x=時等號成立.
答案:
3.已知正數(shù)a,b滿足+=-5,則ab的最小值為________.
解析:因為正數(shù)a,b滿足+=-5,
所以-5≥2,可化為()2-5-6≥0,
解得≥6,即ab≥36,當(dāng)且僅當(dāng)=,
即a=2,b=18時取等號.即ab的最小值為36.
答案:36
4.已知正數(shù)x,y滿足x2+4y2+x+2y≤2-4xy,則+的最小值為________.
解析:由題意得(x+2y)2+(x+2y)-2≤0,且x>0,y>0,所以00,n>0,則a=,c=,故+==≥,當(dāng)且僅當(dāng)m=n時取等號,故+的最小值為.
答案:
[臨門一腳]
1.利用基本不等式≥時,要注意“正、定、等”三要素,“正”,即x,y都是正數(shù);“定”,即不等式另一邊為定值;“等”,即當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時取等號.
2.利用基本不等式≥時,要注意“積定和最大,和定積最小”這一口訣,并且適當(dāng)運用拆、拼、湊等技巧,但應(yīng)該注意,一般不要出現(xiàn)兩次不等號,若出現(xiàn),則要看兩次等號成立的條件是否同時成立.
3.利用基本不等式解決二元多項式之間的大小關(guān)系,符合極值定理時,才能夠求最值.
4.求一元函數(shù)最值時如等號取不到時,要借助函數(shù)圖象,利用函數(shù)單調(diào)性求解最值.
題型三 簡單的線性規(guī)劃問題
1.已知實數(shù)x,y滿足則目標(biāo)函數(shù)z=x-y的最小值為________.
解析:根據(jù)題意,畫出可行域如圖所示,易知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=x-y經(jīng)過點A(1,4)時,取得最小值-3.
答案:-3
2.(2018南京高三模擬)若實數(shù)x,y滿足則的取值范圍為________.
解析:作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,其中點A(1,2),B(5,2),C.表示可行域內(nèi)的點(x,y)與原點O連線的斜率.連接OA,OC,則kOA=2,kOC=,結(jié)合圖形可知的取值范圍是.
答案:
3.設(shè)不等式表示的平面區(qū)域為M,若直線l:y=kx-2上存在M內(nèi)的點,則實數(shù)k的取值范圍是________.
解析:作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示.
因為直線l:y=kx-2的圖象過定點A(0,-2),且斜率為k,
由圖知,當(dāng)直線l過點B(1,3)時,k取最大值=5,
當(dāng)直線l過點C(2,2)時,k取最小值=2,
故實數(shù)k的取值范圍是[2,5].
答案:[2,5]
4.已知約束條件表示的平面區(qū)域為D,若區(qū)域D內(nèi)至少有一個點在函數(shù)y=ex的圖象上,那么實數(shù)a的取值范圍為________.
解析:由題意作出約束條件表示的平面區(qū)域及函數(shù)y=ex的圖象,結(jié)合函數(shù)圖象知,當(dāng)x=1時,y=e,把點(1,e)代入ax-y≥0,則a≥e.故實數(shù)a的取值范圍為[e,+∞).
答案:[e,+∞)
[臨門一腳]
1.簡單的線性規(guī)劃問題解題步驟:一畫二移三算四答,充分挖掘目標(biāo)對象的幾何意義,通常與直線的縱截距、斜率,圓的半徑或半徑的平方有關(guān).
2.畫可行域要特別注意邊界能否取到,當(dāng)區(qū)域不包含邊界時,取值范圍中等號取不到,如果忽視這一點,容易在等號上出錯.
B組——高考提速練
1.不等式<2的解集為______________.
解析:∵<2,∴-2<0,
即=<0,
∴<0等價于x(x-1)>0,解得x<0或x>1,
∴不等式<2的解集為{x|x<0或x>1}.
答案:{x|x<0或x>1}
2.若實數(shù)x,y滿足則z=3x+2y的最大值為________.
解析:作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示.
由z=3x+2y得y=-x+z,平移直線y=-x+z,
由圖象可知當(dāng)直線y=-x+z經(jīng)過點A時,直線y=-x+z的截距最大,此時z最大.
由解得A(1,2),代入目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y,得z=31+22=7.
即目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y的最大值為7.
答案:7
3.已知函數(shù)f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=2時取得最小值,則實數(shù)a=________.
解析:當(dāng)x=2時,函數(shù)f(x)=4x+有最小值,由基本不等式知取等號的條件為4x=,即42=,得a=16.
答案:16
4.函數(shù)f(x)= 的定義域為________.
解析:由題意得-2≥0,即≥0,從而01,b>1,所以lg a>0,lg b>0.
lg alg b≤==1.
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=10時取等號,
故lg alg b的最大值為1.
答案:1
6.不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,則實數(shù)a的取值范圍是________________.
解析:因為不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,
所以Δ=a2-44>0,即a2>16.
所以a>4或a<-4.
答案:(-∞,-4)∪(4,+∞)
7.若關(guān)于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集是(1,m),則m的值為________.
解析:根據(jù)不等式與方程之間的關(guān)系知1為方程ax2-6x+a2=0的一個根,即a2+a-6=0,解得a=2或a=-3,當(dāng)a=2時,不等式ax2-6x+a2<0的解集是(1,2),符合要求;當(dāng)a=-3時,不等式ax2-6x+a2<0的解集是(-∞,-3)∪(1,+∞),不符合要求,舍去.故m=2.
答案:2
8.已知正數(shù)x,y滿足x2+2xy-3=0,則2x+y的最小值是________.
解析:因為x2+2xy-3=0,所以y=,所以2x+y=2x+==+≥2 =3.當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=1時取等號,故2x+y的最小值為3.
答案:3
9.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=1-log2x,則不等式f(x)<0的解集是________.
解析:當(dāng)x<0時,f(x)=-f(-x)=log2(-x)-1,f(x)<0,即log2(-x)-1<0,得-20時,f(x)=1-log2x,f(x)<0,即1-log2x<0,解得x>2.綜上所述,不等式f(x)<0的解集是(-2,0)∪(2,+∞).
答案:(-2,0)∪(2,+∞)
10.已知點P是△ABC內(nèi)一點(不包括邊界),且=m+n,m,n∈R,則(m-2)2+(n-2)2 的取值范圍是________.
解析:因為點P是△ABC內(nèi)一點(不包括邊界),且=m+n,所以m,n滿足條件作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示.因為(m-2)2+(n-2)2表示的是區(qū)域內(nèi)的動點(m,n)到點A(2,2)的距離的平方.因為點A到直線m+n=1的距離為=,故2<(m-2)2+(n-2)2<OA2,即(m-2)2+(n-2)2的取值范圍是.
答案:
11.若關(guān)于x的不等式(ax-1)(ln x+ax)≥0在(0,+∞)上恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是________.
解析:(ax-1)(ln x+ax)≥0?≥0?或
設(shè)函數(shù)f(x)=,g(x)=-,在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出它們的圖象如圖所示,
由圖象可得實數(shù)a的取值范圍是∪{e}.
答案:∪{e}
12.已知正項等比數(shù)列{an}滿足:a7=a6+2a5,若存在兩項am,an使得 =4a1,則+的最小值為________.
解析:設(shè)正項等比數(shù)列{an}的公比為q,由a7=a6+2a5,得q2-q-2=0,解得q=2(q=-1,舍去)
由=4a1,即2=4,得2m+n-2=24,
即m+n=6.
故+=(m+n)
=+≥+=,
當(dāng)且僅當(dāng)=即m=2,n=4時等號成立,
即+的最小值為.
答案:
13.已知A,B,C是平面上任意三點,BC=a,CA=b,AB=c,則y=+的最小值是________.
解析:y要取最小值,則a要最大,而a的最大值是b+c,所以y=+≥+=+-≥ -,當(dāng)且僅當(dāng)=+時取等號,即y的最小值是-.
答案:-
14.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a不是最大邊,已知a2-b2=2bcsin A,則tan A-9tan B的最小值為________.
解析:由余弦定理,a2=b2+c2-2bccos A及a2-b2=2bcsin A,得c2-2bccos A=2bcsin A,
即c-2bcos A=2bsin A,再由正弦定理,
得sin C-2sin Bcos A=2sin Bsin A,
即sin(A+B)-2sin Bcos A=2sin Bsin A,
即sin Acos B-cos Asin B=2sin Asin B,
所以tan A-tan B=2tan Atan B.
所以tan B=,
由題意知tan A>0,所以2tan A+1>0,
所以tan A-9tan B=tan A-
=(2tan A+1)+-5
≥2-5=-2.
當(dāng)且僅當(dāng)(2tan A+1)=,即tan A=1時取“=”.
故tan A-9tan B的最小值為-2.
答案:-2
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