《（通用版）2020高考數(shù)學一輪復習 2.9 函數(shù)模型及其應用講義 理.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（通用版）2020高考數(shù)學一輪復習 2.9 函數(shù)模型及其應用講義 理.doc（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

第九節(jié)函數(shù)模型及其應用 1．幾類函數(shù)模型 函數(shù)模型 函數(shù)解析式 一次函數(shù)模型 f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0) 反比例函數(shù)模型 f(x)＝＋b(k，b為常數(shù)且k≠0) 二次函數(shù)模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0) 指數(shù)函數(shù)模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a＞0且a≠1) 對數(shù)函數(shù)模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a＞0且a≠1) 冪函數(shù)模型 f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0) “對勾”函數(shù)模型 f(x)＝x＋(a＞0)? 2．三種函數(shù)模型的性質(zhì) 函數(shù)性質(zhì) y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞)上的增減性 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 增長速度? 越來越快 越來越慢 相對平穩(wěn) 圖象的變化 隨x的增大，逐漸表現(xiàn)為與y軸平行 隨x的增大，逐漸表現(xiàn)為與x軸平行 隨n值變化而各有不同 值的比較 存在一個x0，當x＞x0時，有l(wèi)ogax＜xn＜ax ?對勾函數(shù)y＝x＋(a＞0)在(－∞，－]和[，＋∞)上單調(diào)遞增，在[－，0)和(0，]上單調(diào)遞減. 當x＞0時，x＝時取最小值2；當 x＜0時，x＝－時取最大值－2. (1)當描述增長速度變化很快時，選用指數(shù)函數(shù)模型． (2)當要求不斷增長，但又不會增長過快，也不會增長到很大時，選用對數(shù)函數(shù)模型． (3)冪函數(shù)模型y＝xn(n＞0)可以描述增長幅度不同的變化，當n值較小(n≤1)時，增長較慢；當n值較大(n＞1)時，增長較快. [小題查驗基礎(chǔ)] 一、判斷題(對的打“√”，錯的打“”) (1)某種商品進價為每件100元，按進價增加10%出售，后因庫存積壓降價，若按九折出售，則每件還能獲利．(　　) (2)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大．(　　) (3)不存在x0，使ax0＜x＜logax0.(　　) (4)在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax(a＞1)的增長速度會超過并遠遠大于y＝xa(a＞0)的增長速度．(　　) (5)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y＝abx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)增長速度越來越快的形象比喻．(　　) 答案：(1)　(2)　(3)　(4)√　(5) 二、選填題 1．下表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，它最可能的函數(shù)模型是(　　) x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 A．一次函數(shù)模型　　　　 B．冪函數(shù)模型 C．指數(shù)函數(shù)模型 D．對數(shù)函數(shù)模型 解析：選A　根據(jù)已知數(shù)據(jù)可知，自變量每增加1，函數(shù)值增加2，因此函數(shù)值的增量是均勻的，故為一次函數(shù)模型． 2．小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間，后為了趕時間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是(　　) 解析：選C　小明勻速行駛時，圖象為一條直線，且距離學校越來越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段時間，與學校的距離不變，故排除D.后來為了趕時間加快速度行駛，故排除B.故選C. 3．某種細菌在培養(yǎng)過程中，每15分鐘分裂一次(由一個分裂成兩個)，這種細菌由1個繁殖成4 096個需經(jīng)過________小時． 解析：設(shè)需經(jīng)過t小時，由題意知24t＝4 096，即16t＝4 096，解得t＝3. 答案：3 4．某城市客運公司確定客票價格的方法是：如果行程不超過100 km，票價是0.5元/km；如果超過100 km，超過100 km的部分按0.4元/km定價，則客運票價y(元)與行程千米數(shù)x(km)之間的函數(shù)關(guān)系式是____________． 解析：由題意可得y＝ 答案：y＝ 5．生產(chǎn)一定數(shù)量商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為C(x)＝x2＋2x＋20(萬元)．一萬件售價是20萬元，為獲取最大利潤，該企業(yè)一個月應生產(chǎn)該商品數(shù)量為________萬件． 解析：設(shè)利潤為L(x)，則利潤L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，當x＝18時，L(x)有最大值． 答案：18 [典例精析] 加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數(shù))，如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)．根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為________分鐘． [解析]　根據(jù)圖表，把(t，p)的三組數(shù)據(jù)(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分別代入函數(shù)關(guān)系式， 聯(lián)立方程組得 消去c化簡得解得 所以p＝－0.2t2＋1.5t－2 ＝－＋－2 ＝－2＋， 所以當t＝＝3.75時，p取得最大值，即最佳加工時間為3.75分鐘． [答案]　3.75 [解題技法] 求解所給函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)注點 (1)認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)． (2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)． (3)利用該模型求解實際問題． [過關(guān)訓練] 1．某市家庭煤氣的使用量x(m3)和煤氣費f(x)(元)滿足關(guān)系f(x)＝已知某家庭2018年前三個月的煤氣費如表： 月份 用氣量 煤氣費 一月份 4 m3 4元 二月份 25 m3 14元 三月份 35 m3 19元 若四月份該家庭使用了20 m3的煤氣，則其煤氣費為(　　) A．11.5元　　　　　　　 B．11元 C．10.5元 D．10元 解析：選A　根據(jù)題意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝，C＝4，所以f(x)＝所以f(20)＝4＋(20－5)＝11.5. 2．某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元的價格購進一批商品，若該商品零售價定為p元，銷售量為Q件，則銷售量Q(單位：件)與零售價p(單位：元)有如下關(guān)系：Q＝8 300－170p－p2，則最大毛利潤為(毛利潤＝銷售收入－進貨支出)(　　) A．30元　　　　　　　 B．60元 C．28 000元 D．23 000元 解析：選D　設(shè)毛利潤為L(p)元， 則由題意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20) ＝(8 300－170p－p2)(p－20) ＝－p3－150p2＋11 700p－166 000， 所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700. 令L′(p)＝0， 解得p＝30或p＝－130(舍去)． 當p∈(0,30)時，L′(p)＞0，當p∈(30，＋∞)時，L′(p)＜0，故L(p)在p＝30時取得極大值，即最大值，且最大值為L(30)＝23 000. [分類例析] 類型(一)　構(gòu)建一、二次函數(shù)模型 [例1]　某企業(yè)為打入國際市場，決定從A，B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進行投資生產(chǎn)，已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表(單位：萬美元)： 項目 類別　　 年固定成本 每件產(chǎn)品成本 每件產(chǎn)品銷售價 每年最多可生產(chǎn)的件數(shù) A產(chǎn)品 20 m 10 200 B產(chǎn)品 40 8 18 120 其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān)，m為待定常數(shù)，其值由生產(chǎn)A產(chǎn)品的原料價格決定，預計m∈[6,8]，另外，年銷售x件B產(chǎn)品時需上交0.05x2萬美元的特別關(guān)稅，假設(shè)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品都能在當年銷售出去． (1)寫出該廠分別投資生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品的年利潤y1，y2與生產(chǎn)相應產(chǎn)品的件數(shù)x1，x2之間的函數(shù)關(guān)系式，并指明定義域； (2)如何投資才可獲得最大年利潤？請你做出規(guī)劃． [解]　(1)由題意得y1＝10x1－(20＋mx1)＝(10－m)x1－20(0≤x1≤200且x1∈N)， y2＝18x2－(40＋8x2)－0.05x＝－0.05x＋10x2－40 ＝－0.05(x2－100)2＋460(0≤x2≤120且x2∈N)． (2)∵6≤m≤8，∴10－m＞0， ∴y1＝(10－m)x1－20為增函數(shù)． 又0≤x1≤200，x1∈N， ∴當x1＝200時，生產(chǎn)A產(chǎn)品的最大利潤為(10－m)200－20＝1 980－200m(萬美元)． ∵y2＝－0.05(x2－100)2＋460(0≤x2≤120，且x2∈N)， ∴當x2＝100時，生產(chǎn)B產(chǎn)品的最大利潤為460萬美元． (y1)max－(y2)max＝(1 980－200m)－460＝1 520－200m. 易知當6≤m＜7.6時，(y1)max＞(y2)max. 即當6≤m＜7.6時，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件可獲得最大年利潤； 當m＝7.6時，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件或投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件，均可獲得最大年利潤； 當7.6＜m≤8時，投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件可獲得最大年利潤． 解決一、二次函數(shù)模型問題的3個注意點 (1)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯； (2)確定一次函數(shù)模型時，一般是借助兩個點來確定，常用待定系數(shù)法； (3)解決函數(shù)應用問題時，最后要還原到實際問題．　　　　 類型(二)　構(gòu)建指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型 [例2]　(1)某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2016年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(　　) (參考數(shù)據(jù)：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A．2018年　　　　　　　 B．2019年 C．2020年 D．2021年 (2)某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))．若該食品在0 ℃的保鮮時間是192小時，在22 ℃的保鮮時間是48小時，則該食品在33 ℃的保鮮時間是(　　) A．16小時 B．20小時 C．24小時 D．28小時 [解析]　(1)設(shè)第n(n∈N*)年該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元． 根據(jù)題意得130(1＋12%)n－1＞200， 則lg[130(1＋12%)n－1]＞lg 200， ∴l(xiāng)g 130＋(n－1)lg 1.12＞lg 2＋2， ∴2＋lg 1.3＋(n－1)lg 1.12＞lg 2＋2， ∴0.11＋(n－1)0.05＞0.30，解得n＞， 又∵n∈N*，∴n≥5，∴該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是2020年．故選C. (2)由已知得192＝eb，① 48＝e22k＋b＝e22keb，② 將①代入②得e22k＝，則e11k＝， 當x＝33時，y＝e33k＋b＝e33keb＝3192＝24，所以該食品在33 ℃的保鮮時間是24小時．故選C. [答案]　(1)C　(2)C 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型的應用技巧 (1)要先學會合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型． (2)在解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型問題時，一般先需要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖象求解最值問題．　　　　 類型(三)　構(gòu)建y＝ax＋的函數(shù)模型 [例3]　某養(yǎng)殖場需定期購買飼料，已知該場每天需要飼料200千克，每千克飼料的價格為1.8元，飼料的保管費與其他費用平均每千克每天0.03元，購買飼料每次支付運費300元．求該場多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最少． [解]　設(shè)該場x(x∈N*)天購買一次飼料可使平均每天支付的總費用最少，平均每天支付的總費用為y元． 因為飼料的保管費與其他費用每天比前一天少2000.03＝6(元)，所以x天飼料的保管費與其他費用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝(3x2－3x)(元)． 從而有y＝(3x2－3x＋300)＋2001.8＝＋3x＋357≥417，當且僅當＝3x，即x＝10時，y有最小值．故該場10天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最少． 應用函數(shù)f(x)＝ax＋模型的關(guān)鍵點 (1)明確對勾函數(shù)是正比例函數(shù)f(x)＝ax與反比例函數(shù)f(x)＝疊加而成的． (2)解決實際問題時一般可以直接建立f(x)＝ax＋的模型，有時可以將所列函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為f(x)＝ax＋的形式． (3)利用模型f(x)＝ax＋求解最值時，要注意自變量的取值范圍，及取得最值時等號成立的條件．　　　　 類型(四)　構(gòu)建分段函數(shù)模型 [例4]　某景區(qū)提供自行車出租，該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元．根據(jù)經(jīng)驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超出6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛．為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金x(元)只取整數(shù)，并且要求租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費用后得到的部分)． (1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式； (2)試問當每輛自行車的日租金為多少元時，才能使一日的凈收入最多？ [解]　(1)當x≤6時，y＝50x－115， 令50x－115＞0，解得x＞2.3， ∵x為整數(shù)，∴3≤x≤6，x∈Z. 當x＞6時，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115. 令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，結(jié)合x為整數(shù)得6＜x≤20，x∈Z. ∴f(x)＝ (2)對于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)， 顯然當x＝6時，ymax＝185； 對于y＝－3x2＋68x－115 ＝－32＋(6＜x≤20，x∈Z)， 當x＝11時，ymax＝270. ∵270＞185，∴當每輛自行車的日租金定為11元時，才能使一日的凈收入最多． 解決分段函數(shù)模型問題的3個注意點 (1)實際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個關(guān)系式給出，而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車票價與路程之間的關(guān)系，應構(gòu)建分段函數(shù)模型求解； (2)構(gòu)造分段函數(shù)時，要力求準確、簡捷，做到分段合理、不重不漏； (3)分段函數(shù)的最值是各段的最大(最小)值的最大(最小)者. 　　　　 [共性歸納] 建立函數(shù)模型解應用題的4步驟 審題 弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型 建模 將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型 求模 求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結(jié)論 還原 將利用數(shù)學知識和方法得出的結(jié)論，還原到實際問題中 [過關(guān)訓練] 1.某電信公司推出兩種手機收費方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元．一個月的本地網(wǎng)內(nèi)打出電話時間t(分鐘)與打出電話費s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖，當通話150分鐘時，這兩種方式電話費相差(　　) A．10元 B．20元 C．30元 D.元 解析：選A　設(shè)A種方式對應的函數(shù)解析式為s＝k1t＋20，B種方式對應的函數(shù)解析式為s＝k2t， 當t＝100時，100k1＋20＝100k2， 化簡得k2－k1＝. 當t＝150時，150k2－150k1－20＝150－20＝10(元)． 2．某新型企業(yè)為獲得更大利潤，須不斷加大投資，若預計年利潤低于10%時，則該企業(yè)就考慮轉(zhuǎn)型，下表顯示的是某企業(yè)幾年來利潤y(百萬元)與年投資成本x(百萬元)變化的一組數(shù)據(jù)： 年份 2015 2016 2017 2018 投資成本x 3 5 9 17 … 年利潤y 1 2 3 4 … 給出以下3個函數(shù)模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)． (1)選擇一個恰當?shù)暮瘮?shù)模型來描述x，y之間的關(guān)系； (2)試判斷該企業(yè)年利潤超過6百萬元時，該企業(yè)是否要考慮轉(zhuǎn)型． 解：(1)將(3,1)，(5,2)代入y＝kx＋b(k≠0)， 得解得∴y＝x－. 當x＝9時，y＝4，不符合題意； 將(3,1)，(5,2)代入y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)， 得解得 ∴y＝x＝2. 當x＝9時，y＝2＝8，不符合題意； 將(3,1)，(5,2)代入y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)， 得解得∴y＝log2(x－1)． 當x＝9時，y＝log28＝3； 當x＝17時，y＝log216＝4. 故可用③來描述x，y之間的關(guān)系． (2)令log2(x－1)≥6，則x≥65. ∵年利潤＜10%，∴該企業(yè)要考慮轉(zhuǎn)型． 1．某品牌電視新品投放市場后第一個月銷售100臺，第二個月銷售200臺，第三個月銷售400臺，第四個月銷售790臺，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷售y(單位：臺)與投放市場的月數(shù)x之間關(guān)系的是(　　) A．y＝100x　　　　　　　 B．y＝50x2－50x＋100 C．y＝502x D．y＝100log2x＋100 解析：選C　根據(jù)函數(shù)模型的增長差異和題目中的數(shù)據(jù)可知，應為指數(shù)型函數(shù)模型，代入數(shù)據(jù)驗證即可，故選C. 2．某家具的標價為132元，若降價以九折出售(即優(yōu)惠10%)，仍可獲利10%(相對于進價)，則該家具的進價是(　　) A．118元 B．105元 C．106元 D．108元 解析：選D　設(shè)進價為a元，由題意知132(1－10%)－a＝10%a，解得a＝108.故選D. 3．(2018北京石景山聯(lián)考)小明在如圖1所示的跑道上勻速跑步，他從點A出發(fā)，沿箭頭方向經(jīng)過點B跑到點C，共用時30 s，他的教練選擇了一個固定的位置觀察小明跑步的過程，設(shè)小明跑步的時間為t(s)，他與教練間的距離為y(m)，表示y與t的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示，則這個固定位置可能是圖1中的(　　) A．點M B．點N C．點P D．點Q 解析：選D　假設(shè)這個位置在點M，則從A至B這段時間，y不隨時間的變化改變，與函數(shù)圖象不符，故A選項錯誤；假設(shè)這個位置在點N，則從A至C這段時間，A點與C點對應y的大小應該相同，與函數(shù)圖象不符，故B選項錯誤；假設(shè)這個位置在點P，則由函數(shù)圖象可得，從A到C的過程中，會有一個時刻，教練到小明的距離等于經(jīng)過30 s時教練到小明的距離，而點P不符合這個條件，故C選項錯誤；經(jīng)判斷點Q符合函數(shù)圖象，故D選項正確，選D. 4．(2019洛陽模擬)某校為了規(guī)范教職工績效考核制度，現(xiàn)準備擬定一函數(shù)用于根據(jù)當月評價分數(shù)x(正常情況下0≤x≤100，且教職工平均月評價分數(shù)在50分左右，若有突出貢獻可以高于100分)計算當月績效工資y(元)．要求績效工資不低于500元，不設(shè)上限，且讓大部分教職工績效工資在600元左右，另外績效工資越低或越高時，人數(shù)要越少．則下列函數(shù)最符合要求的是(　　) A．y＝(x－50)2＋500 B．y＝10＋500 C．y＝(x－50)3＋625 D．y＝50[10＋lg(2x＋1)] 解析：選C　由題意知，擬定函數(shù)應滿足：①是單調(diào)遞增函數(shù)，且增長速度先快后慢再快；②在x＝50左右增長速度較慢，最小值為500.A中，函數(shù)y＝(x－50)2＋500先減后增，不符合要求；B中，函數(shù)y＝10＋500是指數(shù)型函數(shù)，增長速度是越來越快，不符合要求；D中，函數(shù)y＝50[10＋lg(2x＋1)]是對數(shù)型函數(shù)，增長速度是越來越慢，不符合要求；而C中，函數(shù)y＝(x－50)3＋625是由函數(shù)y＝x3經(jīng)過平移和伸縮變換得到的，符合要求．故選C. 5．(2019邯鄲名校聯(lián)考)某企業(yè)準備投入適當?shù)膹V告費對甲產(chǎn)品進行促銷宣傳，在一年內(nèi)預計銷售量y(萬件)與廣告費x(萬元)之間的函數(shù)關(guān)系為y＝1＋(x≥0)．已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為4萬元，每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需再投入30萬元，且能全部售完. 若每件甲產(chǎn)品售價(元)定為“平均每件甲產(chǎn)品所占生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件甲產(chǎn)品所占廣告費的50%”之和，則當廣告費為1萬元時，該企業(yè)甲產(chǎn)品的年利潤為(　　) A．30.5萬元 B．31.5萬元 C．32.5萬元 D．33.5萬元 解析：選B　由題意，產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為(30y＋4)萬元，銷售單價為150%＋50%，故年銷售收入為z＝y(tǒng)＝45y＋6＋x.∴年利潤W＝z－(30y＋4)－x＝15y＋2－＝17＋－(萬元)．∴當廣告費為1萬元時，即x＝1，該企業(yè)甲產(chǎn)品的年利潤為17＋－＝31.5(萬元)．故選B. 6．擬定甲、乙兩地通話m分鐘的電話費(單位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)給出，其中m＞0，[m]是不超過m的最大整數(shù)(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，則甲、乙兩地通話6.5分鐘的電話費為________元． 解析：∵m＝6.5，∴[m]＝6，則f(m)＝1.06(0.56＋1)＝4.24. 答案：4.24 7．(2019唐山模擬)某人計劃購買一輛A型轎車，售價為14.4萬元，購買后轎車每年的保險費、汽油費、車檢費、停車費等約需2.4萬元，同時汽車年折舊率約為10%(即這輛車每年減少它的價值的10%)，試問，大約使用________年后，用在該車上的費用(含折舊費)達到14.4萬元． 解析：設(shè)使用x年后花費在該車上的費用達到14.4萬元，依題意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4. 化簡得x－60.9x＝0. 令f(x)＝x－60.9x， 易得f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，又f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.063 4＞0，所以函數(shù)f(x)在(3,4)上有一個零點． 故大約使用4年后，用在該車上的費用達到14.4萬元． 答案：4 8.某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形ABCD，腰與底邊夾角為60(如圖)，考慮防洪堤堅固性及石塊用料等因素，設(shè)計其橫斷面面積為9平方米，且高度不低于米．記防洪堤橫斷面的腰長為x米，外周長(梯形的上底線段BC與兩腰長的和)為y米．要使防洪堤橫斷面的外周長不超過10.5米，則其腰長x的取值范圍為________． 解析：根據(jù)題意知，9＝(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2＝BC＋x，h＝x， 所以9＝(2BC＋x)x，得BC＝－， 由得2≤x＜6. 所以y＝BC＋2x＝＋(2≤x＜6)， 由y＝＋≤10.5，解得3≤x≤4. 因為[3,4] ?[2,6)，所以腰長x的取值范圍為[3,4]． 答案：[3,4] 9.如圖，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角被銹蝕，其中AE＝4米，CD＝6米．為了合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個矩形BNPM，使點P在邊DE上． (1)設(shè)MP＝x米，PN＝y(tǒng)米，將y表示成x的函數(shù)，并求該函數(shù)的解析式及定義域； (2)求矩形BNPM面積的最大值． 解：(1)如圖，作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4， 在△EDF中，＝， 所以＝， 所以y＝－x＋10， 定義域為{x|4≤x≤8}． (2)設(shè)矩形BNPM的面積為S， 則S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50， 所以S(x)是關(guān)于x的二次函數(shù)，且其圖象開口向下，對稱軸為直線x＝10，所以當x∈[4,8]時，S(x)單調(diào)遞增， 所以當x＝8時，矩形BNPM的面積取得最大值，最大值為48平方米． 10．近年來，某企業(yè)平均每年繳納的電費約24萬元，為了節(jié)能減排，決定安裝一個可使用15年的太陽能供電設(shè)備接入本企業(yè)電網(wǎng)，安裝這種供電設(shè)備的費用(單位：萬元)與太陽能電池板的面積(單位：平方米)成正比，比例系數(shù)約為0.5.為了保證正常用電，安裝后采用太陽能和電能互補供電的模式．假設(shè)在此模式下，安裝后該企業(yè)平均每年繳納的電費C(單位：萬元)與安裝的這種太陽能電池板的面積x(單位：平方米)之間的函數(shù)關(guān)系是C(x)＝(x≥0，k為常數(shù)) .記y為該企業(yè)安裝這種太陽能供電設(shè)備的費用與該企業(yè)今后15年共將繳納的電費之和． (1)試解釋C(0)的實際意義，并建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； (2)當x為多少時，y取得最小值？最小值是多少萬元？ 解：(1)C(0)的實際意義是安裝這種太陽能電池板的面積為0時該企業(yè)平均每年繳納的電費，即未安裝太陽能供電設(shè)備時，該企業(yè)平均每年繳納的電費．由C(0)＝＝24，得k＝2 400， 所以y＝15＋0.5x＝＋0.5x(x≥0)． (2)因為y＝＋0.5(x＋5)－2.5≥2－2.5＝57.5， 當且僅當＝0.5(x＋5)，即x＝55時取等號， 所以當x為55時，y取得最小值，最小值為57.5萬元． 11．[選做題]某快遞公司在某市的貨物轉(zhuǎn)運中心，擬引進智能機器人分揀系統(tǒng)，以提高分揀效率和降低物流成本，已知購買x臺機器人的總成本p(x)＝萬元． (1)若使每臺機器人的平均成本最低，問應買多少臺？ (2)現(xiàn)按(1)中的數(shù)量購買機器人，需要安排m人將郵件放在機器人上，機器人將郵件送達指定落袋格口完成分揀，經(jīng)實驗知，每臺機器人的日平均分揀量q(m)＝(單位：件)，已知傳統(tǒng)人工分揀每人每日的平均分揀量為1 200件，問引進機器人后，日平均分揀量達最大值時，用人數(shù)量比引進機器人前的用人數(shù)量最多可減少百分之幾？ 解：(1)由總成本p(x)＝萬元，可得每臺機器人的平均成本y＝＝＝x＋＋1≥2＋1＝2.當且僅當x＝，即x＝300時，上式等號成立．∴若使每臺機器人的平均成本最低，應買300臺． (2)引進機器人后，每臺機器人的日平均分揀量 q(m)＝當1≤m≤30時，300臺機器人的日平均分揀量為160m(60－m)＝－160m2＋9 600m，∴當m＝30時，日平均分揀量有最大值144 000件．當m＞30時，日平均分揀量為480300＝144 000(件)．∴300臺機器人的日平均分揀量的最大值為144 000件．若傳統(tǒng)人工分揀144 000件，則需要人數(shù)為＝120(人)．∴日平均分揀量達最大值時，用人數(shù)量比引進機器人前的用人數(shù)量最多可減少100%＝75%.