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考點規(guī)范練37　空間點、直線、平面之間的位置關系 基礎鞏固組 1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是線段BC,CD1的中點,則直線A1B與直線EF的位置關系是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.相交 B.異面 C.平行 D.垂直 答案A 解析如圖所示,直線A1B與直線外一點E確定的平面為A1BCD1,EF?平面A1BCD1,且兩直線不平行,故兩直線相交. 2.若空間中四條兩兩不同的直線l1,l2,l3,l4,滿足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,則下列結論一定正確的是(　　) A.l1⊥l4 B.l1∥l4 C.l1與l4既不垂直也不平行 D.l1與l4的位置關系不確定 答案D 解析如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1,取l1為BB1,l2為BC,l3為AD,l4為CC1,則l1∥l4,可知選項A錯誤;取l1為BB1,l2為BC,l3為AD,l4為C1D1,則l1⊥l4,故B錯誤,則C也錯誤,故選D. 3.(2018浙江高三模擬)給定下列兩個關于異面直線的命題: 命題(1):若平面α上的直線a與平面β上的直線b為異面直線,直線c是α與β的交線,則c至多與a,b中的一條相交;命題(2):不存在這樣的無窮多條直線,它們中的任意兩條都是異面直線. 那么(　　) A.命題(1)正確,命題(2)不正確 B.命題(2)正確,命題(1)不正確 C.兩個命題都正確 D.兩個命題都不正確 答案D 解析如圖所示,當c可以與a,b都相交,但交點不是同一個點時,平面α上的直線a與平面β上的直線b為異面直線,因此(1)是假命題;對于(2),可以取無窮多個平行平面,在每個平面上取一條直線,且使這些直線兩兩不同向,則這些直線中任意兩條是異面直線,從而(2)是假命題;故選D. 4.已知直線a,b分別在兩個不同的平面α,β內.則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案A 解析若直線a,b相交,設交點為P,則P∈a,P∈b. 又因為a?α,b?β,所以P∈α,P∈β.故α,β相交. 反之,若α,β相交,設交線為l,當a,b都與直線l不相交時,則有a∥b. 顯然a,b可能相交,也可能異面或平行. 綜上,“直線a,b相交”是“平面α,β相交”的充分不必要條件. 5.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為BB1,CC1的中點,那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為(　　) A.45 B.35 C.23 D.57 答案B 解析連接DF,則AE∥DF, ∴∠D1FD為異面直線AE與D1F所成的角.設正方體棱長為a,則D1D=a,DF=52a,D1F=52a,∴cos∠D1FD= 52a2+52a2-a2252a52a=35. 6.正方體ABCD-A1B1C1D1的12條棱中,與棱AA1是異面直線且互相垂直的棱有　　　　　條. 答案4 解析與AA1異面且垂直的有B1C1,BC,CD,C1D1. 7.如圖所示,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,點E,F分別是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心,則EF和CD所成的角是　. 答案60 解析連接A1D,AD1,則F恰好是它們的交點,同理E是A1C1,B1D1的交點. 連接EF,AB1, ∵正方體ABCD-A1B1C1D1中,B1B∥D1D,且B1B=D1D, ∴四邊形BB1D1D是平行四邊形,可得BD∥B1D1.因此,∠FED1(或其補角)就是EF和BD所成的角.設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則△FED1中,D1E=D1F=EF=22, ∴△FED1是等邊三角形,可得∠FED1=60.由此可得EF和BD所成的角等于60. 8. 如圖,在四面體ABCD中,E,F分別為AB,CD的中點,過EF任作一個平面α分別與直線BC,AD相交于點G,H,則下列結論正確的是　　　　　. ①對于任意的平面α,都有直線GF,EH,BD相交于同一點; ②存在一個平面α0,使得GF∥EH∥BD; ③存在一個平面α0,使得點G在線段BC上,點H在線段AD的延長線上; ④對于任意的平面α,都有S△EFG=S△EFH. 答案②④ 解析逐一判斷.當點G,H分別是BC和AD的中點時,直線GF,EH,BD兩兩相互平行,所以①錯誤,②正確; 點G在BC上時,GF與BD的延長線的交點I一定在BD延長線上,連接EI,與AD的交點H一定在線段AD上,所以③錯誤; 過點D作DP∥AB交EI于點P, 因為IDIB=DPBE=DPAE(相似), 所以線段GCBC=DHAD,S△GCFS△BCD=S△DFHS△ACD, 所以四面體EFGC與ECFH的體積相等. 所以△EFG與△EFH的面積相等,④正確. 故正確結論的序號是②④. 能力提升組 9.給出下列四個命題: ①分別與兩條異面直線都相交的兩條直線一定是異面直線; ②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線,則這兩個平面相互垂直; ③垂直于同一直線的兩條直線相互平行; ④若兩個平面垂直,則一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直. 其中為真命題的是(　　) A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④ 答案D 解析分別與兩條異面直線都相交的兩條直線,可能相交也可能異面,故①錯誤;根據(jù)面面垂直的判定定理,當一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線,那么這兩個平面一定相互垂直,故②正確;垂直于同一直線的兩條直線可能平行,也可能相交,也可能異面,故③錯誤;由面面垂直的性質定理,當兩個平面垂直,那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直,故④正確.故選D. 10.如圖,在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點,G,H分別在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2,則下列說法正確的是(　　) A.EG,FH,AC交于一點 B.EF,GH,BD交于一點 C.EFGH為平行四邊形 D.AC∥平面EFGH 答案A 解析∵G,H不是BC,CD的中點,∴EF≠GH. 又EF∥GH,∴EG與FH必相交,設其交點為M, ∵EG?平面ABC,HF?平面ACD, ∴M∈平面ABC,且M∈平面ACD. ∴M在平面ABC與平面ACD的交線上. 又平面ABC∩平面ACD=AC, ∴M∈AC. 故EG與HF的交點在直線AC上. 11.在空間直角坐標系Oxyz中,正三角形ABC的頂點A,B分別在xOy平面和z軸上移動.若AB=2,則點C到原點O的最遠距離為(　　) A.3-1 B.2 C.3+1 D.3 答案C 解析連接OA,取AB的中點E,連接OE,CE,根據(jù)題意可得: ∵Rt△AOB中,斜邊AB=2, ∴OE=12AB=1. 又∵正三角形ABC的邊長為2, ∴CE=32AB=3, 對圖形加以觀察,當點A,B分別在xOy平面和z軸上移動時,可得當O,E,C三點共線時,點C到原點O的距離最遠,且最遠距離等于3+1.故選C. 12. 如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,AB∥CD,∠DCB=90,AB=AD=AA1=2DC,Q為棱CC1上一動點,過直線AQ的平面分別與棱BB1,DD1交于點P,R,則下列結論錯誤的是(　　) A.對于任意的點Q,都有AP∥QR B.對于任意的點Q,四邊形APQR不可能為平行四邊形 C.存在點Q,使得△ARP為等腰直角三角形 D.存在點Q,使得直線BC∥平面APQR 答案C 解析∵AB∥CD,AA1∥DD1,∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1, ∵平面APQR∩平面ABB1A1=AP,平面APQR∩平面CDD1C1=RQ,∴AP∥QR,故A正確. ∵四邊形ABCD是直角梯形,AB∥CD,∴平面BCC1B1與平面ADD1A1不平行, ∵平面APQR∩平面BCC1B1=PQ,平面APQR∩平面ADD1A1=AR,∴PQ與AR不平行,故四邊形APQR不可能為平行四邊形,故B正確. 延長CD至M,使得DM=CM,則四邊形ABCM是矩形, ∴BC∥AM. 當R,Q,M三點共線時,AM?平面APQR, ∴BC∥平面APQR,故D正確.故選C. 13. (2017浙江溫州模擬)如圖,在四邊形ABCD中,AB=BD=DA=2,BC=CD=2.現(xiàn)將△ABD沿BD折起,當二面角A-BD-C處于π6,5π6過程中,直線AB與CD所成角的余弦值取值范圍是(　　) A.-528,28 B.28,528 C.0,28 D.0,528 答案D 解析如圖所示,取BD中點E,連接AE,CE,∴∠AEC即為二面角A-BD-C的平面角,而AC2=AE2+CE2-2AECEcos∠AEC=4-23cos∠AEC,∠AEC∈π6,5π6,∴AC∈[1,7], ∴ABCD=22cos=AB(BD-BC)=-2+ABBCAB2+BC2-AC22ABBC=1-AC22∈-52,12,設異面直線AB,CD所成的角為θ, ∴0≤cosθ≤12252=528,故選D. 14.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點,則直線BN與MB1是　　　　　直線(填“相交”或“平行”或“異面”);直線MN與AC所成的角的大小為　　　　　. 答案異面　60 解析(1)M,B,B1三點共面,且在平面MBB1中,點N?平面MBB1,B?MB1,因此直線BN與MB1是異面直線;(2)連接D1C,因為D1C∥MN,所以直線MN與AC所成的角就是D1C與AC所成的角,且角為60. 15.如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1的底面是邊長為1的正方形,點E在側棱AA1上,滿足∠C1EB=90,則異面直線BE與C1B1所成的角為　　　　　,側棱AA1的長的最小值為　　　　　. 答案90　2 解析連接BC1,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,CB⊥平面ABB1A1,∴∠CBE=90.又C1B1∥BC,∴異面直線BE與C1B1所成的角為90.設AA1=x,AE=m(m≥0),所以BE2=1+m2,EC12=(x-m)2+2,BC12=1+x2,因為∠C1EB=90,所以BC12=EC12+BE2,即1+x2=(x-m)2+2+1+m2,即m2-mx+1=0,所以x=m+1m≥2當且僅當m=1m,即m=1時等號成立. 16.(2018浙江桐鄉(xiāng)一中)在三棱錐A-BCD中,AD⊥BC,AD=BC=2,AB=CD=4,則直線AB與CD所成角的大小為　　　　　. 答案45 解析取BD的中點G,連接EG,FG, ∵△ABD中,E,G分別為AB,BD的中點,∴EG∥AD且EG=12AD.同理可得FG∥BC,且FG=12BC, ∴EF與FG所成的直角或銳角就是異面直線EF與BC所成的角.∵AD⊥BC且AD=BC, ∴△EFG中,EG⊥GF且EG=GF.∴∠EGF=45, 即異面直線EF與BC所成角等于45.故答案為45. 17. 已知正方形ABCD和矩形ADEF,DE⊥平面ABCD,G是AF的中點. (1)求證:EB⊥AC; (2)若直線BE與平面ABCD成45角,求異面直線GE與AC所成角的余弦值. (1)證明在矩形ADEF中,ED⊥AD. ∵平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,∴ED⊥平面ABCD.∴ED⊥AC. (2)解由(1)知:ED⊥平面ABCD, ∴∠EBD是直線BE與平面ABCD所成的角, 即∠EBD=45. 設AB=a,則DE=BD=2a,取DE的中點M,連接AM. ∵G是AF的中點,∴AM∥GE. ∴∠MAC是異面直線GE與AC所成角或其補角. 連接BD交AC于點O. ∵AM=CM=a2+22a2=62a,O是AC的中點, ∴MO⊥AC.∴cos∠MAC=AOAM=22a62a=33. ∴異面直線GE與AC所成角的余弦值為33. 18. (2018北京高考)如圖,△ABC是等腰直角三角形∠CAB=90,AC=2a,E,F分別為AC,BC的中點,沿EF將△CEF折起,得到如圖所示的四棱錐C-ABFE. (1)求證:AB⊥平面AEC; (2)當四棱錐C-ABFE體積取最大值時,若G為BC中點,求異面直線GF與AC所成角. (1)證明因為△ABC是等腰直角三角形,∠CAB=90,E,F分別為AC,BC的中點,所以EF⊥AE,EF⊥CE. 又因為AE∩CE=E, 所以EF⊥平面AEC. 由于EF∥AB,所以有AB⊥平面AEC. (2)解取AC中點D,連接DE,EF,FG,GD,由于GD為△ABC中位線,以及EF為△ABC中位線,所以四邊形DEFG為平行四邊形.直線GF與AC所成角就是DE與AC所成角. 所以四棱錐C-ABFE體積取最大值時,CE垂直于底面ABFE.此時△AEC為等腰直角三角形,ED為中線,所以直線ED⊥AC.所以異面直線GF與AC所成角為90.