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拓展題型數(shù)學(xué)思想 歷史背景及材料閱讀 山西專用 通過分析山西近幾年中考試題不難發(fā)現(xiàn) 山西對于數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)史的考查非常重視 其中數(shù)學(xué)思想通常在選擇題中考查 而數(shù)學(xué)史常在解答題中考查 且2016年在解答題中增加了科普閱讀題這種題型 增加了整篇試卷的閱讀量 進(jìn)而考查學(xué)生的認(rèn)知和學(xué)習(xí)能力 例1 2016 山西適應(yīng)性訓(xùn)練 在求解一元二次方程 2x2 4x 1 0的兩個根x1和x2時 某同學(xué)使用電腦軟件繪制了如圖所示的二次函數(shù)y 2x2 4x 1的圖象 然后通過觀察拋物線與x軸的交點(diǎn) 該同學(xué)得出 1 x1 0 2 x2 3的結(jié)論 該同學(xué)采用的方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是 A 類比B 演繹C 數(shù)形結(jié)合D 公理化 分析 分析題干可知 該題是為了求解一元二次方程的根 根據(jù)一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系 利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)情況進(jìn)行求解 即本題中采用的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合法 C 例2 2016 山西 請閱讀下列材料 并完成相應(yīng)的任務(wù) 阿基米德折弦定理 阿基米德 Archimedes 公元前287 公元前212年 古希臘 是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一 他與牛頓 高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子 阿拉伯Al Biruni 973年 1050年 的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容 蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al Biruni譯本出版了俄文版 阿基米德全集 第一題就是阿基米德折弦定理 圖3 解 1 A C MBA MGC SAS MB MG 在 MBG中 MD BG BD GD CD CG GD AB BD 對應(yīng)訓(xùn)練 1 2015 山西 我們解一元二次方程3x2 6x 0時 可以運(yùn)用因式分解法 將此方程化為3x x 2 0 從而得到兩個一元一次方程 3x 0或x 2 0 進(jìn)而得到原方程的解為x1 0 x2 2 這種解法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是 A 轉(zhuǎn)化思想B 函數(shù)思想C 數(shù)形結(jié)合思想D 公理化思想 A D D 4 2015 山西 我國古代秦漢時期有一部數(shù)學(xué)著作 堪稱是世界數(shù)學(xué)經(jīng)典名著 它的出現(xiàn) 標(biāo)志著我國古代數(shù)學(xué)體系的正式確立 它采用按類分章的問題集的形式進(jìn)行編排 其中方程的解法和正負(fù)數(shù)加減運(yùn)算法則在世界上遙遙領(lǐng)先 這部著作的名稱是 A 九章算術(shù) B 海島算經(jīng) C 孫子算經(jīng) D 五經(jīng)算術(shù) 5 三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽 他創(chuàng)制了一幅 勾股圓方圖 用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細(xì)證明 這部著作的名稱是 A 勾股圓方圖 B 幾何原本 C 海島算經(jīng) D 算學(xué)啟蒙 A A 6 在同一平面直角坐標(biāo)系中 已知兩點(diǎn)坐標(biāo) 求在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)使得以三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形 則應(yīng)分已知兩點(diǎn)的連線是直角邊和斜邊兩種情況討論 這種解決問題的方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是 7 數(shù)學(xué)很多的知識都是以發(fā)明者的名字命名的 如韋達(dá)定理 楊輝三角 費(fèi)馬點(diǎn)等 你知道平面直角坐標(biāo)系是由數(shù)學(xué)家 創(chuàng)立并以他的名字命名的 分類討論 笛卡爾 9 2016 黔西南州 求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)是常見的數(shù)學(xué)問題 中國古代數(shù)學(xué)專著 九章算術(shù) 中便記載了求兩個正整數(shù)最大公約數(shù)的一種方法 更相減損術(shù) 術(shù)曰 可半者半之 不可半者 副置分母 子之?dāng)?shù) 以少成多 更相減損 求其等也 以等數(shù)約之 意思是說 要求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù) 先用較大的數(shù)減去較小的數(shù) 得到差 然后用減數(shù)與差中的較大數(shù)減去較小數(shù) 以此類推 當(dāng)減數(shù)與差相等時 此時的差 或減數(shù) 即為這兩個正整數(shù)的最大公約數(shù) 例如 求91與56的最大公約數(shù)解 91 56 3556 35 2135 21 1421 14 714 7 7所以 91與56的最大公約數(shù)是7 請用以上方法解決下列問題 1 求108與45的最大公約數(shù) 2 求三個數(shù)78 104 143的最大公約數(shù) 導(dǎo)學(xué)號02052676 解 1 108 45 63 63 45 18 45 18 27 27 18 9 18 9 9 所以 108與45的最大公約數(shù)是9 2 先求104與78的最大公約數(shù) 104 78 26 78 26 52 52 26 26 所以 104與78的最大公約數(shù)是26 再求26與143的最大公約數(shù) 143 26 117 117 26 91 91 26 65 65 26 39 39 26 13 26 13 13 所以 26與143的最大公約數(shù)是13 綜上所述 78 104 143的最大公約數(shù)是13 11 閱讀與計算 閱讀以下材料 并完成相應(yīng)的任務(wù) 歐拉 瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家 近代數(shù)學(xué)先驅(qū)之一 小時候放學(xué)回家常幫父親放羊 一邊放羊 一邊讀書 有一天 他發(fā)現(xiàn)羊的數(shù)量越來越多 達(dá)到了100只 羊圈很擁擠 后來 歐拉的父親就規(guī)劃出了面積剛好為600平方米的土地修建新羊圈 平均每只羊剛好占地6平方米 即將動工時發(fā)現(xiàn)用來作圍欄的籬笆只有100米長 若按原計劃建羊圈 就要再添10米長的材料 要是縮小面積 每只羊的占地面積將會小于6平方米 此時 見父親一臉無奈 小歐拉卻對父親說 不用增加材料 也不用縮小羊圈 我還能使羊圈的面積達(dá)到最大 任務(wù) 你能用二次函數(shù)的知識解釋歐拉是如何修建羊圈 并使羊圈的面積增大的 導(dǎo)學(xué)號02052678 解 設(shè)羊圈的長為x米 則寬為 50 x 米 S x 50 x x2 50 x x 25 2 625 即x 25時 S取得最大值 此時 S 625 即歐拉設(shè)計的羊圈的長和寬都為25米 則材料不用增加 面積達(dá)到了最大值625且大于600 a b 2 四個全等直角三角形的面積 正方形AEDB的面積 a2 b2 c2 解 2 設(shè)BE x 則EC 8 x 由折疊的性質(zhì)可知 AE EC 8 x 在Rt ABE中 AE2 AB2 BE2 則 8 x 2 42 x2 解得 x 3 則BE的長為3