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第四講解題的化歸原則——清晰熟悉 一、清晰原則，淘盡泥沙見真金 問(wèn)題是呈現(xiàn)給解題者的感性材料，可能是一種粗糙的、模糊的信息材料，這些材料在表達(dá)上具有非直觀形象化、非數(shù)學(xué)語(yǔ)言化，在內(nèi)容上具有隱蔽性、復(fù)雜性的特點(diǎn)，容易給解題者感知和思維活動(dòng)造成障礙．解題者面對(duì)這些粗糙的、模糊的信息材料，需要利用自己的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)對(duì)信息的表現(xiàn)形式和內(nèi)容進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使信息呈現(xiàn)出清晰的感性材料，這種加工處理信息的原則我們稱為清晰原則．信息材料通過(guò)清晰后，更適合解題者認(rèn)知活動(dòng)的心理需求，可以加速神經(jīng)系統(tǒng)的傳導(dǎo)，有利于新信息與認(rèn)知結(jié)構(gòu)的鏈接． 常見的清晰手段有：①數(shù)學(xué)語(yǔ)言化：將問(wèn)題信息用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)，便于運(yùn)用數(shù)學(xué)方法來(lái)解決；②數(shù)形結(jié)合：將問(wèn)題的信息用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行描述，使信息表述得更詳盡、更直觀；③形變化歸：將復(fù)雜的信息進(jìn)行形變化歸，使復(fù)雜信息的內(nèi)涵得到徹底挖掘和展示． [例1]　調(diào)查某個(gè)高中畢業(yè)班學(xué)生的升學(xué)報(bào)考志愿情況，得到如下結(jié)果： (1)報(bào)考A大學(xué)的學(xué)生不報(bào)考B大學(xué)； (2)報(bào)考B大學(xué)的學(xué)生也報(bào)考D大學(xué)； (3)報(bào)考C大學(xué)的學(xué)生不報(bào)考D大學(xué)； (4)不報(bào)考C大學(xué)的學(xué)生報(bào)考B大學(xué)． 根據(jù)上述結(jié)果，某人得出下述結(jié)論： ①報(bào)考D大學(xué)的學(xué)生也報(bào)考A大學(xué)． ②沒(méi)有既報(bào)考B大學(xué)又報(bào)考C大學(xué)的學(xué)生． ③有既報(bào)考C大學(xué)又報(bào)考D大學(xué)的學(xué)生． ④報(bào)考B大學(xué)的學(xué)生數(shù)和報(bào)考D大學(xué)的學(xué)生數(shù)相同． ⑤報(bào)考A大學(xué)的學(xué)生也報(bào)考C大學(xué)． 這些結(jié)論中正確的是(　　) A．①②③　　　　　　 B．②④⑤ C．①②④ D．③④⑤ [解析]　此題信息繁多，讓人感到有點(diǎn)云里霧里，雖然每項(xiàng)信息的含義簡(jiǎn)單明白，毫不隱蔽，人人都會(huì)用邏輯推理的方法去探求解答方案，但推理過(guò)程容易混亂且不便于表述，對(duì)問(wèn)題產(chǎn)生排斥心理．對(duì)此，我們先將各項(xiàng)信息進(jìn)行數(shù)學(xué)語(yǔ)言易化處理，使問(wèn)題的信息清晰直白，以觀其變． 用x表示高中畢業(yè)班學(xué)生，“∈”表示報(bào)考，“?”表示不報(bào)考．此時(shí)調(diào)查結(jié)果可以改寫為： (1)x∈A?x?B，再由原命題與逆否命題等價(jià)可知x∈B?x?A. (2)x∈B?x∈D等價(jià)轉(zhuǎn)化為x?D?x?B. (3)x∈C?x?D等價(jià)轉(zhuǎn)化為x∈D?x?C. (4)x?C?x∈B等價(jià)轉(zhuǎn)化為x?B?x∈C. 這樣處理后，問(wèn)題的各項(xiàng)信息已經(jīng)簡(jiǎn)潔明了．我們對(duì)問(wèn)題新信息感到親切、熟悉． 下面對(duì)5條結(jié)論信息也進(jìn)行數(shù)學(xué)語(yǔ)言化處理，再結(jié)合條件信息進(jìn)行推理： 考查①：x∈D?x?C?x∈B?x?A，則①不正確． 考查②：x∈B?x∈D?x?C，則②正確． 考查③：x∈C?x?D，則③不正確． 考查④：x∈B?x∈D，x∈D?x?C?x∈B，則④正確． 考查⑤：x∈A?x?B?x∈C，則⑤正確． 所以，答案B正確． [答案]　B [反思領(lǐng)悟]　從此題的解答過(guò)程可以看出，對(duì)信息的數(shù)學(xué)語(yǔ)言化處理，使信息清晰明了，是成功解答此題的關(guān)鍵． [例2]　設(shè)0＜b＜1＋a，若關(guān)于x的不等式(x－b)2>(ax)2的解集中恰有3個(gè)整數(shù)，求a的取值范圍． [解]　此題中的(x－b)2>(ax)2是一個(gè)熟悉的二次不等式，但這個(gè)不等式的解集中恰有3個(gè)整數(shù)的條件是什么含義？我們首先對(duì)這一信息進(jìn)行清晰化——形變化歸． 因?yàn)?x－b)2>(ax)2，所以[(a－1)x＋b]＜0. ①當(dāng)a≤1時(shí)，不等式的解集中有無(wú)窮多個(gè)整數(shù)，不合題意． ②當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解為＜x＜. 因?yàn)?＜b＜1＋a，所以0＜＜1. 要使解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則－3≤＜－2?3(a－1)≥b>2(a－1)． 通過(guò)信息清晰后，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 已知求a的取值范圍． 如圖，作出不等式組表示的可行域，容易得到1＜a＜3. 綜上，a的取值范圍為(1,3)． [反思領(lǐng)悟]　此題本是一個(gè)二次不等式問(wèn)題，很多學(xué)生都考慮用不等式放縮法進(jìn)行解答，又擔(dān)心擴(kuò)大了a的范圍，即使得到1＜a＜3，也不敢堅(jiān)信一定正確．我們對(duì)“(x－b)2>(ax)2的解集中恰有3個(gè)整數(shù)”這一信息進(jìn)行清晰，得到新信息“a>1且3(a－1)≥b>2(a－1)”，不僅順利地將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題，而且還可以堅(jiān)信答案是正確的． 二、熟悉原則，尋找曾經(jīng)走過(guò)的路 在加工處理信息的過(guò)程中，利用我們的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)對(duì)問(wèn)題信息的表述形式或內(nèi)容進(jìn)行處理，轉(zhuǎn)化為我們認(rèn)知結(jié)構(gòu)中熟悉的信息材料，這種處理信息的原則就是熟悉原則． 熟悉原則可分為兩種：第一種是熟悉知識(shí)原則，就是把不熟悉的知識(shí)和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為教材上或大家熟知的知識(shí)和問(wèn)題．第二種是熟悉經(jīng)驗(yàn)原則，就是把不熟悉的知識(shí)和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解題者曾經(jīng)解答過(guò)的問(wèn)題． [例3]　設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2，若對(duì)任意x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥f(x＋1)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． [解]　由于f(x)是定義在R上的函數(shù)，現(xiàn)在只知道x≥0時(shí)的函數(shù)表達(dá)式．首先對(duì)問(wèn)題信息進(jìn)行清晰，利用奇函數(shù)求出x＜0時(shí)的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)一步得到f(x)在R上的函數(shù)表達(dá)式f(x)＝ 利用數(shù)形結(jié)合再對(duì)函數(shù)進(jìn)行信息清晰，可以發(fā)現(xiàn)f(x)在R上單調(diào)遞增，如圖所示． 我們知道當(dāng)f(x)在R上單調(diào)遞增，f(m)≥f(n)的充分必要條件是m≥n.現(xiàn)在問(wèn)題信息f(x＋a)≥f(x＋1)與認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)f(m)≥f(n)在形式上存在差異，如果能把去掉，將不等式f(x＋a)≥f(x＋1)化為f(m)≥f(n)的形式，問(wèn)題有可能得到解決，這是熟悉經(jīng)驗(yàn)原則． 觀察f(x)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)，容易發(fā)現(xiàn)f(x)＝f，于是原問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為：已知f(x)在R上單調(diào)遞增，對(duì)任意x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥f恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 于是可得對(duì)任意x∈[a，a＋2]， 不等式x＋a≥恒成立． 即對(duì)x∈[a，a＋2]，不等式x≥1－2a恒成立． 所以a≥1－2a，所以a≥. 即實(shí)數(shù)a的取值范圍為. [反思領(lǐng)悟]　上述解答最關(guān)鍵的一步是熟悉經(jīng)驗(yàn)的運(yùn)用，將f(x＋a)≥f(x＋1)化為f(x＋a)≥f，進(jìn)一步化為“對(duì)x∈[a，a＋2]，不等式x≥1－2a恒成立”，使問(wèn)題化難為易，化陌生為熟悉，就可以順利地用熟悉性知識(shí)解答． [例4]　在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)集M＝，點(diǎn)P是點(diǎn)集M內(nèi)的點(diǎn)，設(shè)A(－2，1)，B(8，－9)，則|PA|2＋|PB|2的最小值為________． [解析]　由于問(wèn)題中點(diǎn)集M的元素是坐標(biāo)形式，而結(jié)論信息不是坐標(biāo)形式，我們將結(jié)論信息用坐標(biāo)表示，這樣，條件和結(jié)論信息的表達(dá)形式保持一致，這就是熟悉知識(shí)原則的應(yīng)用． 令P(x，y)，可得|PA|2＋|PB|2＝2x2＋2y2＋16y－12x＋150.① 式①類似我們熟悉的圓方程的左邊，運(yùn)用熟悉知識(shí)原則，可以將上述式子進(jìn)行配方，可得|PA|2＋|PB|2＝22＋100.② 觀察式②的結(jié)構(gòu)，用熟悉知識(shí)原則，表示點(diǎn)P到N(3，－4)的距離．所以，問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求|PN|的最小值．再用熟悉經(jīng)驗(yàn)原則，要求|PN|的最小值，只需求出點(diǎn)集M表示的幾何圖形，然后利用數(shù)形結(jié)合就可以順利解答． 又用熟悉經(jīng)驗(yàn)原則，要求點(diǎn)集M表示的幾何圖形，只需消去參數(shù)即可． 于是：x2＋y2＝169＋120sin(α＋β)?49≤x2＋y2≤289. 所以，點(diǎn)集M表示的幾何圖形是以O(shè)為圓心，半徑由7變到17的一個(gè)圓環(huán)，如圖所示． 因?yàn)閨PN|min＝7－＝2， 所以|PA|2＋|PB|2＝2|PN|2＋100≥108. 所以|PA|2＋|PB|2的最小值為108. [答案]　108