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第二講解題的指導思想——化歸尋舊 在數學習題的解答過程中，除了第一講中對信息加工的實踐操作活動外，更重要的是大腦加工信息的思維活動，它的規(guī)律就是化歸尋舊思想．“尋”即“尋找”“聯系”之意；“舊”指現有的知識經驗．也就是說信息加工的思維活動規(guī)律就是尋找問題的信息與現有的知識經驗之間的聯系，為加工信息的實踐操作活動指明方向，即為化歸活動確定方向．常見的化歸尋舊方法有以下幾種： 一、求同求異，尋舊之規(guī)律 (一)求同尋舊 求同尋舊就是習題解答過程中人的思維活動總是表現為尋找習題信息與已知的某項知識經驗的共性．特別是尋找問題信息與已知的某個公式、某個定理或某個曾經解決過的問題等在表達形式上或內容上的共同點． 解題者在感知問題的信息時，眼睛如照相機一樣將習題所呈現的信息符號拍攝下來，這些符號通過視覺神經傳輸到大腦，大腦對信息符號進行識別、分類，然后尋找信息符號在認知結構中的聯絡點，聯絡點一經找到，就說明習題信息與認知結構中的某項知識經驗存在一定的聯系． [例1]　已知＝＝，求證：sin θ＝. [求同尋舊]　由于條件和結論都是三角等式，而結論信息是不含角2φ的三角等式，根據認知經驗“條件中含有2φ的三角函數，而結論是不含2φ的三角函數，說明應當對條件信息進行加工處理，消去2φ”．為了消去2φ的三角函數，聯系到熟悉結構的經驗sin22φ＋cos22φ＝1，就會產生“先解出sin 2φ，cos 2φ，然后平方消去參數2φ”這一化歸方案． [證明]　因為＝， 所以2asin 2φ＝.① 因為＝， 所以2acos 2φ＝－(1＋a2)．② 由①2＋②2再化簡得2(a2＋1)(a2－1)sin θ＝2(a2－1)2. 因為a2－1≠0，所以sin θ＝. [反思歸納]　此題通過求同尋舊提出了消去角2φ的解題思路，顯然，解題的假設方案和化歸方案都是尋舊思想對大腦作用的產物． (二)求異尋舊 求異尋舊就是習題解答過程中人的思維活動總是表現為尋找問題信息與認知結構中的某項知識經驗的特征差異，以便化異為同，促使習題信息與認知結構的“網點”順利“鏈接”． 求同尋舊與求異尋舊在解題過程中總是結伴而行．一般來說，兩個事物總是存在著區(qū)別和聯系，相同之外有不同，不同之中有相同，沒有完全相同和完全不同的兩件事物．尋舊就是尋找習題信息與認知結構中知識經驗的聯系和區(qū)別，特別要善于在不同之中找到一點共性，在相似之間發(fā)現其中的差異．求同尋舊旨在尋找聯系，從而為處理信息或問題解決提出假設方案；求異尋舊旨在發(fā)現差異，從而為信息加工指明方向，所以求同求異是不可分的． [例2]　如果方程組只有一組解，則實數k的值為________． [求同尋舊]　由于我們認知結構中有這樣一項經驗——一元二次方程根的存在及判定，而這個問題不是一元二次方程，它是求方程組的一組解．二者存在的共性都是與求解相關的問題． [求異尋舊]　認知經驗是“一元二次方程”，而此問題是“二元二次對數方程組”，二者在元的個數和方程的個數上存在著差異，這就要求我們對原方程組進行“消元”處理，化異為同，即??2(log3x)2－2log3klog3x＋(log3k)2－2＝0.① [求異尋舊]　認知經驗中的熟悉結構是“一元二次方程”，而方程①是“對數方程”，二者在方程形式上存在著差異，這就要求我們對方程①進行“換元”處理，化異為同． [解析]　因為log3x∈R，設log3x＝t(t∈R)， 方程①化為2t2－2tlog3k＋(log3k)2－2＝0.② 要使原方程組只有一組解， 只需方程②只有一個根即可． 所以Δ＝4(log3k)2－8(log3k)2＋16＝0 ?k＝9或k＝. [答案]　9或 [反思領悟]　此題通過求異尋舊找到了“二元二次對數方程組只有一組解”與“一元二次方程只有一個根”的差異，提出了“消元”的解題思路，得到了①.又通過求異尋舊找到了“對數方程”與“一元二次方程”的差異，提出了“換元”的解題思路，得到了熟悉的方程②.顯然，解題的假設方案和化歸方案都是尋舊思想對大腦作用的產物． 二、上游下游，尋舊之方向 對于兩項信息A，B，如果A是B的充分條件，我們稱A是B的上游信息，B是A的下游信息．我們稱從上游信息向下游信息聯想的思維活動為順推尋舊，從下游信息向上游信息聯想的思維活動為逆推尋舊． (一)下游順推信息法 就是針對一項信息A，沿著熟悉結構中的某條線進行順推，順推得到的新信息是上一步信息的必要條件(或充要條件)，我們稱這種尋舊為下游順推信息法，如圖所示． ―→―→―→ [例3]　已知函數f(x)＝x2＋2x，若存在實數t，使不等式f(x＋t)≤x－1對任意的x∈[1，m](m>1)恒成立，求實數m的取值范圍． [解]　這個習題呈現的信息有2項：①存在實數t，使不等式f(x＋t)≤x－1對任意的x∈[1，m](m>1)恒成立；②求實數m的取值范圍． 此題信息②很清晰，而信息①雖然是一個不等式恒成立問題，但不等式的結構是隱性的，不直觀、不清晰，根據熟悉結構的解題經驗(即尋舊)，首先對信息①進行加工處理，使信息①清晰，這樣便于尋找與熟悉結構的聯系． 將信息①進行下游順推轉化為①1：“存在實數t，使不等式(x＋t＋1)2≤x對任意的x∈[1，m](m>1)恒成立”，即轉化為信息①的充要條件； 將信息①1進行下游順推轉化為①2：“存在實數t，使不等式|x＋t＋1|≤對任意的x∈[1，m](m>1)恒成立”，即轉化為信息①1的充要條件； 將信息①2進行下游順推轉化為①3：“存在實數t，使不等式對任意的x∈[1，m](m>1)恒成立”，即轉化為信息①2的充要條件； 將信息①3進行下游順推轉化為①4：“存在實數t，使不等式成立”，即轉化為信息①3的充要條件； 將信息①4進行下游順推轉化為①5：“不等式m－＋1≤3”，即轉化為信息①4的必要條件； 將信息①5進行下游順推轉化為①6：“1＜m≤4”，即轉化為信息①5的充要條件． 由此可見，此題的解答過程就是信息①的下游順推轉化過程，一次次將信息①向下游轉化為它的充要條件，建立一條從信息①到信息②的解題通道． [例4]　已知a>0，b>0，a＋＝4，求＋的最小值． [解]　這個習題呈現的信息有3項：①a>0，b>0；②a，b之間的關系式為a＋＝4；③求＋的最小值． 此題兩個變量之間存在聯系，根據熟悉結構的解題經驗(即尋舊)，一個自變量的問題是函數問題，求函數最小值有導數這個通法．此題如果能消去一個自變量，就可以轉化為求函數最小值問題．于是可以采取以下兩種消元處理信息的方法． 轉化為信息②的充要條件；將信息③轉化為求＋的最小值，這也是下游順推信息法，即轉化為信息③的充要條件；此時，問題結論信息轉化為“已知0＜b＜2，求F(b)＝＋的最小值”，這也是下游順推信息法，即轉化為結論信息的充要條件． 由題意知a＝4－(0＜b＜2)， 令F(b)＝＋＝＋. 因為F′(b)＝－ ＝. 顯然，f(b)＝4－和g(b)＝在(0,2)上單調遞減且恒正． 所以u(b)＝3b2－(4－)2在(0,2)上單調遞增． 列表如下： b (0,1) 1 (1,2) u(b) － 0 ＋ F′(b) － 0 ＋ 所以F(b)min＝F(1)＝4，即＋的最小值為4. (二)上游逆推信息法 就是針對一項信息A，沿著熟悉結構的某條線進行逆推，即要得到信息A，只需要信息B.逆推得到的新信息都是上一步信息的充分條件(或充要條件)，我們稱這種尋舊為上游逆推信息法，如圖所示． ―→―→―→ [例5]　已知an＝2n－1，求證：＋＋…＋>－. [證明]　這個習題呈現的信息有2項：①an＝2n－1；②求證＋＋…＋>－. 信息②是一個不等式，根據熟悉結構的解題經驗(即尋舊)，由于兩邊都是關于n的代數式，兩邊都是遞增的，容易想到放縮法．于是可以采取以下信息處理法． 由＝＝－，將信息②進行下游順推轉化為信息②1：求證＜，即轉化為信息②的充要條件； 聯想一個公比為的等比數列，即＝＜，將信息②1進行上游逆推轉化為②2：求證≤，即轉化為信息②1的充分條件； 將信息②2進行上游逆推轉化為②3：求證≤，即轉化為信息②2的充分條件； 將信息②3向下順推轉化為②4：求證2n≥2(顯然成立)，即轉化為信息②3的充要條件． [反思領悟]　顯然，此題的解答過程就是對信息②進行下游順推信息和上游逆推信息相結合的過程，特別是將信息②1向上逆推轉化為②2是解答此題的關鍵，這就是常說的“加強命題證明不等式”． 數學習題解答過程的思維規(guī)律是尋舊，究竟如何尋舊？就是尋找問題信息和熟悉結構之間的聯系．就是將問題的某項信息進行下游順推或上游逆推，以此尋找新信息．顯然，下游順推信息法和上游逆推信息法既是尋舊思維活動的兩種方向，也是數學習題解答的基本方法． 值得一提的是：對問題的某些信息進行尋舊時，不是一次或幾次進行下游順推信息或上游逆推信息，可能是下游順推信息和上游逆推信息多次交互結合進行．一次次得到的新信息可能就是認知結構中某一條線上的知識點，特別是難度較大的數學習題，也可能是多條線上的公共知識點．