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課時跟蹤訓練(十七) 落實雙基 [基礎鞏固] 1．關于行星運動定律和萬有引力定律的建立過程，下列說法正確的是(　　) A．第谷通過整理大量的天文觀測數(shù)據(jù)得到行星運動規(guī)律 B．開普勒指出，地球繞太陽運動是因為受到來自太陽的引力 C．牛頓通過比較月球公轉(zhuǎn)的向心加速度和地球赤道上物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度，對萬有引力定律進行了“月地檢驗” D．卡文迪許在實驗室里通過幾個鉛球之間萬有引力的測量，得出了引力常量的數(shù)值 [解析]　開普勒對天體的運行做了多年的研究，最終得出了行星運行三大定律，故A錯誤；牛頓認為行星繞太陽運動是因為受到太陽的引力作用，引力大小與行星到太陽的距離的二次方成反比，故B錯誤；牛頓通過比較月球公轉(zhuǎn)的向心加速度和地面附近的自由落體加速度，對萬有引力定律進行了“月地檢驗”，故C錯誤；牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律之后，第一次通過實驗準確地測出引力常量的科學家是卡文迪許，故D正確． [答案]　D 2．如圖所示，有一個質(zhì)量為M，半徑為R，密度均勻的大球體．從中挖去一個半徑為的小球體，并在空腔中心放置一質(zhì)量為m的質(zhì)點，則大球體的剩余部分對該質(zhì)點的萬有引力大小為(已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零)(　　) A．G B．0 C．4G D．G [解析]　若將挖去的小球體用原材料補回，可知剩余部分對m的吸引力等于完整大球體對m的吸引力與挖去小球體對m的吸引力之差，挖去的小球體球心與m重合，對m的萬有引力為零，則剩余部分對m的萬有引力等于完整大球體對m的萬有引力；以大球體球心為中心分離出半徑為的球，易知其質(zhì)量為M，則剩余均勻球殼對m的萬有引力為零，故剩余部分對m的萬有引力等于分離出的球?qū)ζ涞娜f有引力，根據(jù)萬有引力定律，F(xiàn)＝G＝G，故D正確． [答案]　D 3．(多選)宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時間t小球落回原地．若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過時間5t小球落回原處．已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度為g，設該星球表面附近的重力加速度為g′，空氣阻力不計．則(　　) A．g′∶g＝1∶5 B．g′∶g＝5∶2 C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶80 [解析]　由速度對稱性知豎直上拋的小球在空中運動時間t＝，因此得＝＝，A正確，B錯誤；由G＝mg得M＝，因而＝＝2＝，C錯誤，D正確． [答案]　AD 4．(2017銅陵質(zhì)檢)有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面處的重力加速度是地球表面處重力加速度的4倍，則該星球的質(zhì)量是地球質(zhì)量的(忽略其自轉(zhuǎn)影響)(　　) A. B．4倍 C．16倍 D．64倍 [解析]　天體表面的物體所受重力mg＝，又知ρ＝，所以M＝，故＝3＝64.D正確． [答案]　D 5．(多選)(2017全國卷Ⅱ)如圖，海王星繞太陽沿橢圓軌道運動，P為近日點，Q為遠日點，M、N為軌道短軸的兩個端點，運行的周期為T0.若只考慮海王星和太陽之間的相互作用，則海王星在從P經(jīng)M、Q到N的運動過程中(　　) A．從P到M所用的時間等于T0/4 B．從Q到N階段，機械能逐漸變大 C．從P到Q階段，速率逐漸變小 D．從M到N階段，萬有引力對它先做負功后做正功 [解析]　海王星從P到Q的過程中，引力與速度的夾角大于90，因此引力做負功，根據(jù)動能定理可知，速度越來越小，C正確．由開普勒第二定律知，海王星從P到M的時間小于，A錯誤．由于海王星運動過程中只受到太陽引力作用，引力做功不改變機械能，從Q到N的過程中機械能守恒，B錯誤．從M到Q的過程中引力與速度的夾角大于90，因此引力做負功，從Q到N的過程中，引力與速度的夾角小于90，因此引力做正功，D正確． [答案]　CD 6．(多選)一宇宙飛船繞地心做半徑為r的勻速圓周運動，飛船艙內(nèi)有一質(zhì)量為m的人站在可稱體重的臺秤上．用R表示地球的半徑，g表示地球表面處的重力加速度，g′表示宇宙飛船所在處的地球引力加速度，F(xiàn)N表示人對秤的壓力，下列說法中正確的是(　　) A．g′＝0 B．g′＝g C．FN＝mg D．FN＝0 [解析]　在地球的表面萬有引力近似等于物體的重力，可得：＝mg?g＝，宇宙飛船繞地心做半徑為r的勻速圓周運動時，該處的萬有引力等于重力，可得：＝mg′?g′＝，聯(lián)立解得：g′＝g；由于宇宙飛船圍繞地球做勻速圓周運動，萬有引力完全充當向心力，飛船內(nèi)的人處于完全失重狀態(tài)，故人對秤的壓力FN＝0. [答案]　BD 7．據(jù)報道，天文學家新發(fā)現(xiàn)了太陽系外的一顆行星．這顆行星的體積是地球的a倍，質(zhì)量是地球的b倍．已知近地衛(wèi)星繞地球運動的周期約為T，引力常量為G.則該行星的平均密度為(　　) A. B. C. D. [解析]　萬有引力提供近地衛(wèi)星繞地球運動的向心力G＝m，且ρ地＝，由以上兩式得ρ地＝.而＝＝，因而ρ星＝. [答案]　C 8．(1)開普勒行星運動第三定律指出：行星繞太陽運動的橢圓軌道的半長軸a的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方成正比，即＝k，k是一個對所有行星都相同的常量．將行星繞太陽的運動按圓周運動處理，請你推導出太陽系中該常量k的表達式．已知引力常量為G，太陽的質(zhì)量為M太． (2)開普勒定律不僅適用于太陽系，它對一切具有中心天體的引力系統(tǒng)(如地月系統(tǒng))都成立．經(jīng)測定月地距離為3.84108 m，月球繞地球運動的周期為2.36106 s，試計算地球的質(zhì)量M地．(G＝6.6710－11 Nm2/kg2，結(jié)果保留一位有效數(shù)字) [解析]　(1)因行星繞太陽做勻速圓周運動，于是軌道半長軸a即為軌道半徑r，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有 G＝m行2r① 于是有＝M太② 即k＝M太 (2)在地月系統(tǒng)中，設月球繞地球運動的軌道半徑為R，周期為T，由②式可得 ＝M地 解得M地＝61024 kg (M地＝51024 kg也算對) [答案]　(1)k＝M太　(2)61024 kg(M地＝51024 kg也算對) [素能培養(yǎng)] 9．一衛(wèi)星繞某一行星表面附近做勻速圓周運動，其線速度大小為v.假設宇航員在該行星表面上用彈簧測力計測量一質(zhì)量為m的物體重力，物體靜止時，彈簧測力計的示數(shù)為N.已知引力常量為G，則這顆行星的質(zhì)量為(　　) A. B. C. D. [解析]　設衛(wèi)星的質(zhì)量為m′，由萬有引力提供向心力，得G＝m′① m′＝m′g② 由已知條件N＝mg得g＝ 代入②得R＝ 代入①得M＝，故B正確． [答案]　B 10．(多選)為了實現(xiàn)人類登陸火星的夢想，我國宇航員王躍曾與俄羅斯宇航員一起進行“模擬登火星”實驗活動．已知火星半徑是地球半徑的，質(zhì)量是地球質(zhì)量的，自轉(zhuǎn)周期也基本相同．地球表面重力加速度是g，若王躍在地面上能向上跳起的最大高度是h，在忽略自轉(zhuǎn)影響的條件下，下述分析正確的是(　　) A．王躍在火星表面受到的萬有引力是在地球表面受到的萬有引力的 B．火星表面的重力加速度是g C．王躍以相同的初速度在火星上起跳時，在空中的時間為在地球上的倍 D．王躍以相同的初速度在火星上起跳時，可跳的最大高度是h [解析]　當宇航員在地球表面時，根據(jù)萬有引力定律可得F萬＝G＝mg，同理可得宇航員在火星表面時F萬′＝G＝mg′，所以其在火星表面受的萬有引力是在地球表面所受萬有引力的，A項正確；火星表面的重力加速度g′＝g，B項錯誤；由t火＝和t地＝可知，t火＝t地，C正確；由0－v2＝－2gh可得以相同的初速度在火星上起跳時，可跳的最大高度h′＝h＝h，D項錯誤． [答案]　AC 11．假設地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體．一礦井深度為d.已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零．礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為(　　) A．1－ B．1＋ C.2 D.2 [解析]　如圖所示，根據(jù)題意，地面與礦井底部之間的環(huán)形部分對處于礦井底部的物體引力為零．設地面處的重力加速度為g，地球質(zhì)量為M，地球表面的物體m受到的重力近似等于萬有引力，故mg＝G；設礦井底部處的重力加速度為g′，等效“地球”的質(zhì)量為M′，其半徑r＝R－d，則礦井底部處的物體m受到的重力mg′＝G，又M＝ρV＝ρπR3，M′＝ρV′＝ρ π(R－d)3，聯(lián)立解得＝1－，A對． [答案]　A 12．開普勒第三定律指出：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等．該定律對一切具有中心天體的引力系統(tǒng)都成立．如圖，嫦娥三號探月衛(wèi)星在半徑為r的圓形軌道Ⅰ上繞月球運行，周期為T.月球的半徑為R，引力常量為G.某時刻嫦娥三號衛(wèi)星在A點變軌進入橢圓軌道Ⅱ，在月球表面的B點著陸．A、O、B三點在一條直線上．求： (1)月球的密度； (2)在軌道Ⅱ上運行的時間． [解析]　(1)設月球的質(zhì)量為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，由萬有引力充當向心力得：＝m2r 解得：M＝ 月球的密度：ρ＝ 解得：ρ＝ (2)橢圓軌道的半長軸：a＝ 設橢圓軌道上運行周期為T1，由開普勒第三定律得：＝ 在軌道Ⅱ上運行的時間：t＝ 解得：t＝ [答案]　(1)　(2)